Условный экстремум

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

Таким образом, в обш,ем случае критерий (111,10) сводит общую задачу обработки экспериментальных данных к задаче на условный экстремум. [c.132]

В дальнейшем мы будем иметь дело только с этой так называемой канонической формой (IV, 1), (IV,3), (IV,5) задачи на условный экстремум. [c.145]

Задача А (на условный экстремум). Найти решение задачи (IV,1), (IV,3), (IV,4). [c.154]

Решение задачи оптимизации. Задача оптимизации, сформулированная как задача определения условного экстремума функции девяти переменных, сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью метода уровней (см. гл. IV). Целевая функция в данном случае будет иметь вид [c.174]

Результаты решения задачи на безусловный экстремум хорошо согласуются с решением задачи на условный экстремум (выполнение ограничений, значения технологических затрат). [c.174]

Применяя один из способов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум, соотношения связи (1,17) выносят в критерий. [c.228]

ОБЩАЯ СХЕМА СВЕДЕНИЯ ЗАДАЧ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ [c.89]

В отличие от предыдущих разделов, где задача на условный экстремум сводилась к задаче на безусловный экстремум, в данном случае мы поставим задачу несколько иначе. Пусть имеется такая ситуация, когда решить задачу поиска минимума или стационарной точки какой-либо функции / при наличии одних только ограничений типа неравенств (1,3) более или менее просто, а добавление ограничений типа равенств (1,2) существенно усложняет задачу. [c.96]

При постановке любой задачи оптимизации часть переменных (I, 61) (в частном случае все) принимаются в качестве поисковых (независимых), а часть — в качестве зависимых. Поисковыми, или независимыми, называются переменные, в пространстве которых ведется поиск минимального значения критерия (I, 15). Зависимыми переменными являются те из переменных (I, 61), которые на каждом шаге процедуры оптимизации, т. е. при каждом вычислении критерия (1, 15), определяются с помощью систем (1, 53), (I, 54), (I, 56) или их частей для заданных значений независимых переменных. При этом та часть системы (I, 53), (I, 54), (I, 56), которая используется для определения зависимых переменных, будет автоматически удовлетворяться на каждом шаге оптимизации, уравнения же оставшейся части системы (I, 53), (I, 54), (I, 56) необходимо считать ограничениями типа равенств и учитывать с помощью методов условной минимизации. Метод решения задачи оптимизации ХТС существенно зависит от того, какие из переменных (I, 61) будут взяты в качестве поисковых, а какие — в качестве зависимых, какие из уравнений (I, 53), (I, 54), (I, 56), (I, 58) будут удовлетворяться автоматически на каждом шаге оптимизации, а какие необходимо считать ограничениями типа равенств в соответствующей задаче на условный экстремум. [c.21]

Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р < п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122]

Для преодоления указанных трудностей при решении задач на условный экстремум и уточнения положения экстремума целесо-образно использовать комбинацию методов уровней и штрафов, первый — в начальной фазе оптимизации, второй — в заключительной. От этих недостатков свободен метод модифицированной функции Лагранжа, который находит в последнее время все более широкое применение. [c.123]

Обычно, > г. Сформируем модифицированный критерий, используя один из методов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум (для определенности — метод штрафа ) [c.172]

Применим к этой системе уравнений метод Лагранжа для нахождения условного экстремума функции нескольких переменных, связанных между собой дополнительными условиями. С этой целью умножим одно из уравнений (например, второе) на произвольную постоянную X и после вычитания его из оставшегося, первого уравнения приравняем к нулю коэффициенты при 8г я 8h в полученной разности. В результате имеем [c.88]

Энтропия и внутренняя энергия системы, находящейся в мета-стабильном состоянии равновесия, имеют относительные условные экстремумы (энтропия — относительный условный максимум, внутренняя энергия — относительный условный минимум). [c.200]

Нахождение условного экстремума функции методом неопределенных множителей Лагранжа приводит к равенствам [c.112]

Задачу на условный экстремум Ф(а) получают и при наличии ограничений на диапазон изменений а, т. е. когда множество А замкнуто. [c.217]

Предположим, что в некоторой точке х 0) (x ,. .., х( функция R (IV, 1) имеет условный экстремум. Это означает, что система ограничивающих условий (IV, 2) в данной точке также выполняется. [c.149]

Системе уравнений (IV, 11) должны удовлетворять как величины Ли ( —1,. -.., т), так и значения переменных Xi (i = == 1,. .., п), при которых функция R имеет условный экстремум. Кроме системы (IV, 11), переменные Xi (i—l,. .., п) должны также удовлетворять системе условий (IV, 2). Таким образом, всего получим т + п уравнений систем (IV,2) и (IV, И) из которых можно найти п значений переменных Xi (i = 1,. . ., я), соответствующих условному экстремуму функции Rum значений множителей Аь (k = 1,. .., m). [c.151]

Итак, для решения задачи отыскания условного экстремума функции R (IV, 1) при ограничениях на переменные (IV, 2) необходимо решить систему уравнений (IV, 13), где функция Ф определяется выражением (IV, 12) совместно с системой, ограничивающих условий (IV, 2). [c.151]

Тогда формально задача нахождения условного экстремума функции R (IV, 1) эквивалентна задаче определения стационарной точки функции Ф (IV, 2), рассматриваемой как функция п -J- т переменных Xi (i = 1,. .., п + т), поскольку при дифференцировании функции Ф по вспомогательным переменным в результате приравнивания нулю получаемых производных находится система уравнений (IV, 2). [c.151]

При решении задачи отыскания условного экстремума оказываются известными как значения переменных я,- (i = 1,. .., п), при которых функция R имеет условный экстремум, так и значения множителей Кь. (k=, . .., m), соответствующие этому экстремуму. Фактически значения множителей Я не нужны в окончательном решении оптимальной задачи, поэтому иногда задача совместного решения систем (IV, 13) и (IV,2) ставится как задача исключения указанных множителей с последующим решением остающейся системы п. уравнений с п неизвестными Хг. Другой спо-получения конечных результатов заключается в том, что из [c.151]

Итак, для решения задачи отыскания условного экстремума функции А (IV, ) при ограничениях на переменные (IV,2) необходимо решить систему уравнении (IV, 13), где функция [c.142]

Д я того чтобы у иать, какой тип условного экстремума и,мест функция 5 в рассматриваемой точке, найдем вторую производную но г нз В1) ражен1 я (IV,30) [c.144]

Выведем теперь соотношения, определяющие оптимальное управление, которые могут быть получены при использовании математического аппарата классического вариационного исчислепня. В этом случае векторное уравнение математического описания процесса может рассматриваться как система неголономных связей (V,121) для задачи отыскания условного экстремума функцпонала (VI 1,545). [c.409]

При т=1 задача не нмеет решения при т> (рис. 3.7) это задача на условный экстремум, которая может быть решена, на зрнмер, методом неопределенных множителей Лагранжа. Так [c.189]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха-ракгеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха-ракгера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Здесь разбираются только локальные методы, позвляющие найти ближайший локальный минимум, в зоне притяжения которого-находится начальная точка поиска. Отсюда мы будем предполагать, что либо функция f в области В одноэкстремальна, либо что известнодостаточно хорошее приближение к глобальному минимуму. Рассмотрим здесь только методы, которые задачу (1,1), (1,2), (1,3) на условный экстремум сводят к задаче на безусловный экстремум. В основе такого подхода лежит следующее соображение. Для решения задач на безусловный экстремум разработан ряд эффективных, быстросходящихся методов [7]. Поэтому, если задача на условный экстремум будет сведена к задаче на безусловный экстремум, можно-воспользоваться упомянутыми методами для решения первоначальной задачи. Отметим, что сведение одной задачи к другой можег оказаться полезным как в прямых, так и в непрямых методах. [c.89]

Обпщй подход к сведению задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум заключается в следующем. Конструируется некоторая функция Р, зависящая от функций /, ф,, и соответствующих настроечных параметров [c.89]

При конструировании функции Р надо, безусловно, стремиться к тому, чтобы поверхность Р в пространстве Р, у ,. . ., у не ухудшалась по сравнению с поверхностью /. Другими словами, если поверхность / в области О не имеет оврагов [13] и одноэкстремальна, желательно, чтобы и поверхность Р была одноэкстремальна и не имела оврагов . К сожалению, как видно из дальнейшего, известные способы конструирования функции Р не обладают свойством не ухудшать вид минимизируемой функции. Да и вообще, трудно себе представитть, что переход от значительно более трудной задачи (задачи на условный экстремум) к более легкой задаче на безусловный экстремум осуществился бы без каких-либо потерь . [c.90]

Общий способ конструирования функций F сводится к следующему. В качестве независимых переменных выбираются управления и входные переменные всех блоков схемы за исключением, конечно, ее фиксированных входных переменных. Соотношения связи (VIII,2) считаются ограничениями типа равенств. Применяя один из способов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум, выражения (VIII,2) выносят в критерий. При этом можно использовать любой способ, для которого функция (V,l) представляется так [c.195]

Эквивалентная задача (впрочем, как и исходная) представляет собой задачу на условный экстремум, для решения которой использовалась условная оптимизация метод уровней и метод модифицированной функции Лагранжа. Для выполнения безусловной минимизации составной функции (нижний уровень оптимизации) применялись методы квазиньютоновского типа — DFP, BFGS, SSVM [см. (III, 81), (111,84)1. Расчет производных минимизируемой функции выполнялся как аналитически — с привлечением сопряженного процесса [3, с. 142], так и методом конечных разностей, что позволило провести сравнение результатов оптимизации по эффективности и точности решения . [c.146]

Другой способ построения декомпозиционных методов основан на использовании алгоритмов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум. Перечисленные подходы были подробно рассмотрены в книгах [3, с. 182 11, с. 242]. Здесь мы коротко опищем только метод закрепления. [c.169]

Соотношение (1.105) означает, что функционал энергии IV достигает минимума (в случае возбужденных состояний - условного) на точной волновой функции. Это справедоиво и в общем случае произвольной квантовой системы ф нкционал энергии достигает условного экстремума (в большинстве практически важных случаев - минимума) на точной волновой функции. В этом и состоит основное содержание квантово-механического вариационного принципа. [c.42]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология