Ограничения типа неравенств

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников , который получил название принципа максимума. [c.320]

В отличие от предыдущих разделов, где задача на условный экстремум сводилась к задаче на безусловный экстремум, в данном случае мы поставим задачу несколько иначе. Пусть имеется такая ситуация, когда решить задачу поиска минимума или стационарной точки какой-либо функции / при наличии одних только ограничений типа неравенств (1,3) более или менее просто, а добавление ограничений типа равенств (1,2) существенно усложняет задачу. [c.96]

Для простоты рассмотрим задачу с ограничениями типа равенств, хотя метод развит и для ограничений типа неравенств. Сформулируем задачу следующим образом [c.215]

Ограничения типа неравенства (IV, 4) могут быть формально представлены как ограничения - типа равенства (IV, 3), для этого [c.107]

Уравнение (VI,257) описывает процесс лишь в той области, где оптимальную температуру можно выбрать при использовании условия ( 1,256), которое позволяет найти выражение ( 1,258). Если же на выбор оптимального значения температуры наложено ограничение типа неравенства [c.317]

Рнс. 1Х-31. Прямой поиск с возвратом для задач с ограничениями типа неравенств. [c.542]

Системные параметры составляют критерий оптимальности технологической схемы и включают помимо отдельных характеристик аппаратов обобщенные параметры схемы. При проектировании отдельных аппаратов или установок значения этих параметров или их составляющих являются ограничениями типа неравенств. На основании критерия оптимальности, включающего системные параметры, производится окончательный выбор способа выделения отдельных продуктов из группы альтернативных по локальным характеристикам способов. [c.79]

В этом случае множество Г является частью некоторой плоскости в Е ". Ограничений типа неравенства (IV,4) могут быть формально представлены как ограничения типа равенства (IV,3) введением соответствующих функций [c.145]

По условиям задачи количества высокооктанового и низкооктанового бензинов на выходе схемы должны быть не меньше соответственно параметров игд, и>х21 а количество печного топлива — меньше заданной величины (= 15 ООО). Эти условия запишутся в виде следуюш,их ограничений типа неравенств [c.177]

Результаты оптимизации. Воспользуемся для оптимизации так называемым параллельным подходом, когда все переменные считаются независимыми, а уравнения блоков рассматриваются как ограничения типа равенств. Итак, мы приходим к следующей задаче требуется максимизировать функцию / [см. (IV,80)1 при наличии ограничений типа равенств (IV,70)—(IV,76) и ограничений типа неравенств (IV,77)—(IV,79). [c.178]

Ограничения типа неравенств, как правило, состоят из групп уравнений, каждая из которых относится только к переменным одного блока. Поэтому представим упомянутые ограничения в виде [c.231]

При решении задачи 2 нижнего уровня варьируемыми переменными V являются независимые переменные блоков схемы. При этом в выражении для Ф/ (к, Vj), очевидно, собраны все переменные, относящиеся к /-му блоку. Учитывая, кроме того, что все ограничения типа неравенств имеют вид (VI, 13), находим соотношение [c.231]

С помощью (1,22) могут быть сведены к ограничениям типа неравенств [c.258]

Как указывалось в главе I, критерии оптимизации подразделяются на простые и сложные, причем сложный критерий характеризуется тем, что требуется найти экстремум одной величины при некоторых условиям на ряд других величин. Эти дополнительные условия можно рассматривать как ограничения на соответствующие параметры реактора. В отличие от ограничений типа неравенств, рассмотренных выше, эти ограничения являются равенствами. [c.56]

В общем случае трудно сказать, какой из этих подходов обладает большими преимуществами. Правда, эффективность второго подхода может существенно понизиться, если на подбираемые параметры накладываются ограничения типа неравенств. Действительно, пусть заданы варьируемые параметры, тогда подбираемые параметры уже определяются жестко необходимостью выполнения условий (П,1)-Отсюда вполне может встретиться такая ситуация, когда один или несколько подбираемых параметров, которые были определены из условия выполнения соотношений (ПД), выйдут из допустимой области. При этом надо менять совокупность подбираемых параметров, что значительно усложняет алгоритм оптимизации. Это особенно касается того случая, когда в число подбираемых параметров входят управления, на которые, как правило, налагаются ограничения типа неравенств. В то же время, если бы управления, которые [c.20]

Если решается задача с ограничениями типа неравенств [c.333]

Таким образом, задача поиска минимума функции / в области D (при наличии ограничений равенств и неравенств) свелась к поиску в области >2 т. е. только при наличии ограничений типа неравенств, либо стационарной точки внутри и на границе упомянутой области, либо точки локального минимума (на границе области D ) функции [c.98]

Величины (У,60) характеризуют чувствительность оптимального решения к малым изменениям параметров Ь . Предположим вначале, что ограничения типа неравенств (1,3) отсутствуют. Тогда в точке у выполняются известные условия [c.102]

Остановимся теперь на фактическом вычислении производных (У,60). Рассмотрим вначале случай, когда ограничения типа неравенств (1,3) отсутствуют. [c.105]

Во время поиска изображающая точка может двигаться в поисковом пространстве внутри некоторого многообразия (< т), может входить на новые гиперплоскости, соответствующие активным ограничениям (увеличение базиса), или наоборот, сходить с некоторой гиперплоскости (уменьшение базиса). В качестве примера на рис. 25 изображена поисковая траектория в трехмерном пространстве при наличии одного ограничения типа неравенства (IV, 99), причем допустимая область находится ниже плоскости 1. Поиск начинается в точке А. Участок траектории АВ лежит в полном пространстве (базис пустой). В точке В поисковая траектория пересекает плоскость 1 и в дальнейшем лежит в этой плоскости. Здесь уже имеется одно активное ограничение (базис состоит из уравнения плоскости 1). В точке С поисковая траектория сходит с плоскости 1 и далее участок траектории СО уже лежит в полном пространстве. Отсюда ясно, что любой алгоритм, осуществляемый в соответствии с формулами (1,39), (1,41), должен содержать следующие основные алгоритмы. [c.150]

В том случае, когда на переменные наложены ограничения типа неравенств [c.205]

При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид функционалов, применяют множители Лагранжа, что дает возможность перейти от условной задачи к безусловной. Наиболее значительные трудности при использовании вариационных методов возникают в случае решения задач с ограничениями типа неравенств. [c.32]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения в данном случае можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого [c.234]

Выше уже были рассмотрены трудности, возникающие при решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной Задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.254]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

В рассмотренном примере У1П-2 число ограничений типа равенств было на единицу меньше числа независимых переменных исходной задачи максимизации линейной формы (VIII,21), что позволило получи ь в конечном итоге одномерную задачу, решение которой очевидно. Разумеется, что в обидем случае исключение части независимглх переменных за счет наличии в системе ограничений условий типа равенств может и не привести к существенному упрощению решении задачи. Однако при этом возможно и некоторое уменьшение чис,ла ограничений отбрасыванием более слабых неравенств из общего числа первоначальных и вновь получаемых при исключении рида переменных. Общие замечания относительно решения задачи линейного программирования с ограничениями типа неравенств. Как показано выше, задача с ограничениями ти[[а неравенств и равенств может быть сведена к задаче с ограничениями только типа неравенств, т. е. можно считать, что оптимальная задача сформулирована как задача максимизации критерия [c.421]

Сведение задачи с ограничениями типа неравенств к задаче с ограничениями типа равенств. Покажем, что все ограничения типа неравенств (УП1,35) могут быть представлены в виде равенств введением т новых переменных, называемых дополнительным и. Для этого в каждом соотношении (УП 1,35а) прибавим к левой части дополнительную переменную которая превращает неравенство в ра) 0нство [c.423]

Заметим, что число ограничений типа неравенств (IX,26) в постановке оптимальной задачи может быть любым, т. е. меньше и бол1,п1е числа независимых переменных. В качестве примера на рис, 1Х-30, а показано ограничение допустимой области изменения независимых переменных X системой пяти линейных неравенств вида [c.541]

В частном случае ограничения типа неравенств (IX,26) могут иметь впд ограипчсп1п"[, обусловленных норкшровкой независимых переменных задачи [c.541]

Если же в качестве варьируемых параметров выбираются некоторые из промежуточных переменных, дело обстоит значительно сложнее. Действительно, рассмотрим схемы на рис. 4, где все входные переменные являются свободными, но на них налагаются ограничения типа неравенств (11,15). Как было показано выше, расчет такой замкнутой схемы сводится к расчету разомкнутой схемы на рис. 6. Однако в данном случае переменные (или в обозначениях рис. 6 переменные оказываются уже выходными переменными схемы. Отсюда ограничения (П,15) становятся ограничениями на выходные переменные схемы учет же таких ограничений всегда значительно осложняет ее оптимизацию. Таким образом, добившись безытерационного расчета схемы, мы суш ественпо усложняем оптимизационную процедуру. [c.27]

Поскольку F (v, [х) О, функция F (v, i) принимает лшнималь-ное значение, равное нулю, в точках, где выполняется условие (V.42). На рис. 47 дана геометрическая интерпретация этого утверждения для случая, когда имеются одно ограничение типа равенства и одно ограничение типа неравенства. На поверхности ф = О ограничение ф (у) 0 определяет допустимую область D (штриховка направлена внутрь данной области). Кривая ЛВС — это линия уровня / (у) = х, (р, > х ) на поверхности ф (у) = 0 при iJ (у) 0. [c.99]

Таким образом, задача поиска максимума функции F нри наличии ограничений (VIII, 2) и (VI 11,3) свелась к итерационной процедуре по величинам в которой на s-ой итерации для фиксированных оптимизируется функция F< > при наличии только ограничений типа неравенств (VIII,3). Итерации по величинам строятся так, чтобы в конце итерационного процесса выполнялись соотношения (VIII,2). [c.175]

Математическая постановка задачи создания как отдельного химико-технологического аппарата (ХТА), так и химико-технологической системы (ХТС) в целом является общей для них и состоит в формулировке задачи многокритериальной оптимизации с заданным набором целевых функций Р, определяющих требования проектировщика к создаваемому объекту, и вектором ограничений двух типов ограничений типа равенств Р(2) = О, соответствуюгцих полной математической модели конструируемого объекта, и ограничений типа неравенств соответствующих [c.44]

Данный алгоритм реализует метод Гаусса — Зейделя нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств на параметры оптимизации. Размерность оптимизируемого вектора Ут равна 2 для аппаратов типа А Ут = (Сх, ) или 1 для ап паратов типа В и С Ут = ((3х). П > решении аадачи статической оптимизации в качестве критерия оптимальности принимаются приведенные годовые затраты (Я), а при решении задачи приближения — разность между значениями длины трубчатки конденсатора, соответствующей набору Ук, УС, Ф, задаваемым технологическим параметрам X, текущему значению вектора Ут и значением нормализованной длины трубчатки,, к которому осуществляется приближение варьированием координат вектора Ут. Таким образом, в данной постановке алгоритм должен минимизировать выбранные критерии оптимизации. [c.136]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология