Математическая статистика число степеней свободы

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца состава, имеющего государственную аттестацию, с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы / для п параллельных замеров будет равно п, т. е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое х этих же п измерений, то число степеней свободы будет равно п— 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения X. [c.65]

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы к = п — 1 приведены в таблицах по математической статистике. Значение коэффициента Стьюдента при доверительной вероятности Р = = 0,95 и числе степеней свободы к = 9 равно 2,26. [c.42]

Знаменатель в выражении (3.10) представляет собой число степеней свободы. Это понятие играет очень большую роль в современной математической статистике, оно несколько аналогично соответствующему понятию в механике. Число степеней свободы моишо определить как число независимых измерений минус число тех связей, которые наложены на эти измерения при дальнейшей обработке материала. При определении выборочной дисперсии по п независимым наблюдениям мы имеем п — степеней свободы, так как при подсчете среднего значения на результаты измерений была наложена одна связь вида (3,3). В дальнейшем понятие о числе степеней свободы будет уточняться на отдельных примерах. [c.44]

Описанное в разд. 3.1 нормальное распределение годится только для очень большого числа измерений. При малом числе измерений плотность распределения может более или менее отклоняться от нормальной. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется специально приспособленным симметричным -распределением. Абсциссы максимумов частот гауссова и -распределения совпадают. Однако в отличие от нормального распределения высота и ширина кривых нормированного -распределения зависят от степеней свободьЕ / соответствующего стандартного отклонения. Чем меньше число степеней свободы, тем более пологий ход имеет кривая при одном и том же стандартном отклонении (рис. 3.14). При / оо -распределение переходит в нормальное распределение. В соответствии с таким ходом кривой в зависимости от степеней свободы / пределы интегрирования при заданной вероятности Р тем дальше удаляются от среднего, чем меньше число степеней свободы /. Так для Р = 0,95 значение х может больше и не лежать в области (л — 1, 96 . ..// + 1, 96 . Этот интервал становится тем шире, чем меньше измерений было проведено (рис. 3.15). Пределы интегрирования -распределения в зависимости от вероятности Р и степеней свободы / для нормированного при = 1 распределения приведены в табл. А.З (с. 244). [c.60]

Разумеется, если мы заранее знаем, что ошибка опыта мала, можно ограничиться и таким минимальным числом опытов. Но чаще желательно иметь избыток опытов сверх минимально необходимого их числа. Этот избыток носит в математической статистике название число степеней свободы. Наличие степеней свободы позволяет оценить разброс опытных данных относительно расчетных — такая оценка, как правило, бывает необходима. [c.205]

V означает число степеней свободы для у . Если имеется V независимых наблюдений, то число степеней свободы равно V, однако число степеней свободы уменьшается на единицу при наложении каждого ограничения на V наблюдений. Во многих книгах по математической статистике приводятся таблицы как для Р (х ) (интеграл под кривой на рис. 2.5), так и для Р (x /v) и Р >Х Л- [c.36]

Распределение очень широко применяется в различных задачах математической статистики. Во всех случаях квантили распределения практически для любого уровня и числа степеней свободы до 90 могут быть определены по номограмме. [c.336]

Для оценки адекватности следует в соответствии с приемами математической статистики сравнить между собой для каждой из координат остаточную дисперсию модели 5м и дисперсию воспроизводимости эксперимента S (способы их определения приведены ниже, с. 70). Далее строится отношение дисперсий F = Si /5 . Для оценки адекватности используется критерий Фишера если F-заданных степеней свободы при выбранной вероятности), то модель адекватна если — модель неадекватна. [c.68]

Коэффициент распределения Стьюдента для различных уровней значимости (доверительных вероятностей) можно взять из книги В Е Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике , приложение 6, с. 393 Следует учесть, что число степеней свободы к = I — 2 После ввода программы в ячейку О — число измерений, в ячейку 9 — [c.488]

Нормальное распределение, описанное в разд. 3.1, подходит только для случая очень большого числа измерений. При малом числе измерений распределение может более или менее отклоняться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным распределением — -распределением. Максимумы частоты нормального и -распределения лежат при одном и том же значении абсциссы. Однако в отличие от нормального раснределепия высота и ширина кривых нормированного -распределения зависят от степеней свободы / соот-ветствуюш ей средней квадратичной ошибки. Чем меньше число степеней свободы, тем более пологий ход имеет кривая при одной и той же средней квадратичной ошибке (рис. 3.14). При /оо -распределение переходит в нормальное распределение. Соответственно этому для хода кривой, зависимого от /, пределы интегрирования при заданной вероятности Р все больше удаляются от среднего значения с уменьшением числа степеней свободы /. Так, для Р=0,95 измеренные значения х больше не лежат в области [1 — 1,96 8. .. р, -г 1,96 5. Этот интервал становится тем шире, чем меньше измерений было проведено (рис. 3.15). Пределы интегрирования -распределения в зависимости от вероятности Р и степени свободы / для нормированного но 5=1 распределения приведены в табл. 12.3. [c.59]