Оценка характеристик случайных величин

В основе статистических оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = [c.833]

Сопоставим погрешности разной природы с основными метрологическими характеристиками воспроизводимостью и правильностью результатов анализа. Отсутствие в Химическом анализе систематических погрешностей обеспечивает его правильность. Кучность отдельных результатов, степень их. близости к среднему значению характеризует воспроизводимость анализа. Воспроизводимость-характеристика случайных погрешностей химического анализа. Ее численной мерой является абсолютное 3 или относительное Зг стандартное отклонение, вычисляемое из результатов нескольких параллельных определений. Количественной оценкой систематической погрешности анализа или правильности служит разность между средним арифметическим результата многократных анализов и истинным значением определяемой величины [c.31]

Во всех приведенных здесь итеративных формулах для определения характеристик случайных величин находилась, по сути дела, оценка математического ожидания. Эта оценка при правильном выборе последовательности х совпадала с оценками, полученными обычным способом по п измерениям, т. е. она состоятельна и при нормальном законе распределения случайной величины, для которой ищется математическое ожидание, эффективна. [c.200]

При экспериментальном определении характеристик случайных величин число опытов п конечно, поэтому вместо истинных значений моментов закона распределения, математического ожидания и дисперсии, получают их выборочные значения, или оценки, которые сами являются случайными величинами. В связи с этим возникает задача определения достоверности оценок, их близости к истинным значениям характеристик, выбора числа экспериментов п и т. д. Как и любая случайная величина, оценка характеризуется своим законом распределения, который зависит от закона распределения исходной случайной величины X и от числа опытов п. Будем обозначать оценку некоторого неслучайного параметра а через а. [c.119]

Наиболее полной характеристикой случайной величины является, как известно, закон ее распределения. Интегральная функция распределения вероятностей Р (х) показывает, например, вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного значения Р (х ) = Р (х х ). На практике удобно использовать эту характеристику при оценке качества функционирования системы. [c.31]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНОК ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ [c.196]

При статистическом (пассивном) методе используются дан-1ше об изменениях входных - X и выходных - У параметров объекта, которые представляют собой случайные величины. Определение статических характеристик при этом сводится к нахождению связи между случайными величинами и к оценке достоверности этой связи. Статистический метод базируется на принципах теории вероятности. [c.22]

Здесь использован распространенный способ обозначения, при котором есть оценка величины Более подробную характеристику случайных величин можно найти в курсах математической Статистики. [c.153]

Понятие о моментах распределения. Статическая теория полимеризации [7, 8] исходит из предположения о возможност анали-за ММР по особого рода средним молекулярным массам М// и Мг, называемым соответственно среднемассовой, среднечисленной и 2-той. Важной характеристикой ММР являются различные соотношения средних молекулярных масс. Анализируя эти соотношения, можно получить интересные данные о механизме полимеризации и его особенностях. Для анализа вводятся понятия моментов, обычно применяемые в статистике и теории вероятностей для оценки распределения случайных величин. При этом, естественно, могут быть использованы различные моменты распределения — начальные и центральные, нормированные и ненормированные и т. д. [c.18]

Генеральная и выборочная совокупности. Для оценки случайной величины большое значение имеет число измерений (наблюдений). Чтобы установить различие между характеристикой случайной величины, найденной по достаточно большому (в пределе бесконечно большое) и малому числу измерений, введены понятия генеральной и выборочной совокупности. Генеральная совокупность состоит из всех мыслимых в данных условиях измерений, выборочная — из ограниченного числа измерений. Соответственно различают характеристики случайной величины, зависящие от числа измерений, и характеристики генеральной совокупности, не зависящие от числа измерений. [c.6]

Значение р служит точечной оценкой вероятности р появления значения случайной величины. Очевидно, что вероятность р — объективная характеристика случайной величины, а р — ее случайное значение, зависящее от объема выборки, точности средств измерений, условий проведения опытов точности их обработки. При заданной вероятности строится интервал для неизвестного значения р по частоте р таким образом, чтобы [c.305]

На практике при экспериментальном изучении различных явлений исследователи не имеют в своем распоряжении истинных значений характеристик случайных величин. Поэтому им приходится оценивать характеристики на основании опытных данных. Ввиду ограниченности экспериментальных данных такие оценки являются приближенными и их называют выборочными оценками-, выборочная дисперсия 2, выборочное математическое ожидание и т. д. Выборочное математическое ожидание для набора параллельных определений вычисляют как среднее арифметическое ( ). Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, получаемую исследователями из экспериментов, называют выборкой. [c.12]

Известно, что если считать точечную оценку вероятности случайной величиной, то при больших значениях объемов выборок эта случайная величина распределена по нормальному закону со значениями характеристик а и а, вычисляемыми применением формул (21). [c.131]

Намечая на графике случайной функции сечения Д пип и снижая значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу значений случайной функции. Далее определяются оценки для характеристик случайных величин x ti) [c.45]

Оценка средней квадратичной ошибки. Для характеристики случайной ошибки метода анализа используют величину средней квадратичной ошибки в. Обычный прием аналитической химии заключается в исследовании серии проб с различным содержанием определяемого вещества при некотором ограниченном числе параллельных определений. При наличии т проб и некоторого числа Лд параллельных определений для средней квадратичной ошибки получаем следующую формулу [c.23]

Дисперсия, хотя и является удобной мерой рассеяния случайной величины, содержит лишь в неявной форме количественную характеристику рассеяния, поскольку размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений, как квадрат величины с ее первой степенью. Для того чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений (и математического ожидания) результатов анализа с абсолютными значениями отклонений, общепринято использовать величину [c.75]

Выше рассматривались методы определения статических характеристик промышленных объектов, в которых изменения независимых переменных X имели регулярный характер. В этой главе рассматривается задача исследования статических характеристик в том случае, когда входы Xi и выходы уг объекта представляют собой случайные величины. Определение характеристик при этом сводится к нахождению связи между случайными величинами и к оценке достоверности этой связи. [c.116]

При конечном числе п экспериментов характеристики связей между двумя случайными величинами можно получить лишь в виде оценок т] у и [c.128]

Однако практически часто нет необходимости описывать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие наиболее существенные черты распределения. Эти отдельные числовые характеристики носят название моментов функции распределения. В подавляющем большинстве теоретических и экспериментальных исследований для описания распределений используют лишь два первых момента — математическое ожидание (среднее значение) и центральный второй момент (дисперсия). Полагая, что характер движения элементов жидкости в аппарате является статистическим по природе, важнейшей экспериментальной задачей должна быть оценка функций распределения времени пребывания. С учетом предыдущего эта задача сводится к определению двух наиболее важных числовых характеристик распределения среднего времени пребывания и дисперсии, хотя в общем случае могут определяться моменты и более высокого порядка [12]. [c.67]

Оценка характеристик двухмерной совокупности случайных величин хну. Обработка результатов наблюдений осуществляется по следующей схеме [c.472]

При изложении процедуры стягивания окна авторы допускают некоторую неточность Выбирая ширину полосы частот окна Ь в зависимости от имеющейся записи, они тем самым делают Ь случайной величиной Но для такого случайного Ъ, строго говоря, нельзя считать, что устойчивость и степень искажения спектральной оценки будут теми же, что и для неслучайного Ь, точно так же, как нельзя считать, например, что минимум из нескольких одинаково распределенных величин имеет то же распределение, что п каждая из этих величии Учесть точно, как влияет такой случайный выбор Ь на характеристики спектральной оценки, трудно, хотя, возможно, что это влияние и не слишком существенно — Прим перев. [c.31]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Если а — случайная величина, то фазовый портрет представляет собой множество точек. В этом случае наиболее доступной численной характеристикой поведения дисперсной системы является размерность точечного множества [61-63], которую можно определить различными способами. Рассмотрим очень нерегулярный отрезок кривой (недифференцируемой в бесконечно большом числе точек — такие траектории описывает частица, совершающая броуновское движение в жидкости) [64-66]. Требуется вычислить длину некоторой его части, заключенной между точками 4 и б, и размерность отрезка, т. е необходимо узнать полную длину множества, занятого состояниями, и размерность этого множества. С целью определения длины отрезка выби-рем длину мерного стержня, равную в и сосчитаем число сторон (одинаковой длины е) открытого многоугольника, вершины которого расположены на кривой. Если Е — достаточно малая величина, то несущественно, с какого конца — А или В — начинают. В результате получают некоторую оценку длины 1(е), которая сильно зависит от е, и вычисляют (б) при нескольких значениях е, используя функцию вида Цб) Константа й больше или равна единице. Постоянная ё называется фрактальной размерностью исследуемой кривой и может быть нецелым числом. [c.673]

Оценка — характеристика, под которой понимают приближенное численное значение случайной величины, полученное по выборке с определенной доверительной вероятностью. [c.265]

I = lg г, где N — число циклов до разрушения при усталостных испытаниях г — время до разрушения при длительных статических испытаниях. Для оценки дисперсии мех. св-в используют также числовые характеристики, среди которых наибольшее значение имеют а — математическое ожидание (среднее значение) 02 — дисперсия а — среднее квадратическое отклонение у — коэфф. вариации случайной величины X. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения. Перечисленные характеристики носят название генеральных. Экспериментальные оценки генеральных характеристик (характеристик дисперсии мех. св-в) имеют то же наименование и обозначаются соответственно х, 8 , 8 и V. Их подсчитывают по ф-лам [c.374]

Основная задача оценивания статистических характеристик заключается в том, чтобы по ограниченной совокупности случайных значений величины, называемых выборкой, ориентировочно оценить числовые характеристики, закон распределения и интервал возможных значений как случайной величины, так и полученных оценок. [c.40]

Дисперсия, хотя и является удобной марой интенсивности рассеяния случайной величины, содержит лишь в неявной форме количественную характеристику рассеяния, поскольку размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений, как квадрат величины с ее первой степенью. Для того чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений (и математического ожидания) результатов анализа с абсолютными величинами отклонений, удобно иопользовать величину, равную Д 2 = ул ] = 5. Эта величина, получившая название среднего квадратичного отклонения, или стандарта распределения случайной величины, имеет ту же размерность, что сама (Случайная величина х и ее математическое ожидание М(х). Кроме того, она однозначно связана с величинами вероятностей, задаваемых соотношениями [c.63]

Вследствие этого в произвольный момент времени в системе работает случайное число элементов, что сказывается на ее характеристиках и величинах технико-экономических показателей, таких, как доход, критерий эффективности и др. Для оценки показателей важно знать не только общее число работающих в данное время элементов, но и то, какие элементы исправны, а какие находятся в ремонте. [c.323]

Рассчитываемые по результатам выборочных измерений числовые характеристики не совпадают в точности с соответствующими характеристиками генеральной совокупности. Кроме того, они — величины случайные, так как случаен сам отбор измеряемых объектов. Две выборки из одной и той же генеральной совокупности дадут несколько различающиеся значения числовых характеристик. Выборочные характеристики являются не точными значениями, а оценками характеристик генеральной совокупности если источник случайности — ошибки измерений, то считают, что значения выборочных характеристик являются оценками истинных значений. [c.58]

Пусть Х 1) —стационарный случайный процесс. Обозначим через Р действительное значение неизвестного параметра случайного процесса X(t). Эта вероятностная характеристика случайного процесса представляет собой неслучайную величину или неслучайную функцию. Теоретически она определяется усреднением по бесконечно большому числу реализаций случайного процесса или усреднением по времени одной реализации бесконечной длительности (в случае стационарного эргодического процесса). Практически же количество используемых исследователем реализаций и их длительность всегда конечны. Поэтому любая вероятностная характеристика, полученная в результате обработки одной или нескольких реализаций случайного процесса, является случайной величиной или случайной функцией. Эту экспериментальную характеристику случайного процесса называют оценкой соответствующей вероятностной характеристики Р. Оценку параметра Р случайного про- [c.51]

При экспериментальном определении вероятностных характеристик случайного процесса весьма желательно использовать состоятельные оценки, которые позволяют судить об исследуемой вероятностной характеристике по результатам обработки одной реализации. Для стационарного процесса Х 1), эргодического по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции, построение состоятельных оценок среднего, среднего квадрата, дисперсии, корреляционной функции не представляет особых трудностей. В частности, было показано (см. (1-17)1, что случайные величины [c.53]

Для получения состоятельной оценки необходимо видоизменить оценку 5а д(/) в соответствии с ее статистическими свойствами. Исследование вероятностных характеристик случайной функции показывает, что корреляция между случайными величинами хд(Ь) и [c.122]

Оценка гарантируемых значений показателя надежности обычно производится с помощью получаемых в результате расчета или эксперимента выборочных характеристик (выборочного среднего арифметического, среднего квадратического отклонений), которые, в отличие от генеральных характеристик, являются случайными величинами, зависящими от объема выборки [9, 18]. [c.38]

Эмпирическая дисперсия тоже представляет собой эффективную оценку, так как она достигает минимального теоретического предела. Эмпирическая дисперсия меньше дисперсии любых других характеристик рассеяния случайной величины — размаха, среднего арифметического отклонения. Дисперсия эмпирической дисперсии для рассматриваемого случая может быть получена из соотношения в- 8 [c.304]

Доверительный интервал представляет собой точность определенных оценок рассматриваемых параметров, а характеристикой надежности является доверительная вероятность. Если, например, оценивается вероятность появления случайной величины, то, как известно, по опытным данным находят частоту события, равную отношению числа его появления в выборке к числу выполненных экспериментов р = т/тг. [c.305]

Поскольку т является случайной величиной, то для ее оценки используются следующие числовые характеристики [c.20]

Моменты возникновения отказов при эксплуатации восстанавливаемых объектов представляют собой последовательност случайных величин — значений наработки до отказа. В связи с этим для оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов вычисляют либо характеристики потока отказов, либо условные распределения наработки между отказами. Вычисление условных распределений наработки между отказами становится необходимым при наличии в потоке отказов значительного последействия. [c.32]

Правильность анализа характеризуется систематическими погрешностями. Их выявление, учет и устранение осуществляются в рамках конкретных методов на основании детального анализа всех этапов и общей схемы аналитического определения при постановке специальных экспериментов с использованием стандартных образцов. Воспроизводимость результатов анализа — характеристика случайных погрешностей, теория которых (математическая статистика) к настоящему времени разработана достаточно полно. В приложении к задачам аналитической химии, химическим и инструментальным методам анализа систематический и детальный обзор применения методов и идей математической статистики можно найти в монографиях В. В. Налимова и К. Доерфеля, приводимых в перечне рекомендуемой литературы. В книге А. Н. Зайделя, выдержавшей четыре издания, в доступной и одновременно лаконичной форме рассмотрены узловые вопросы статистической оценки погрешностей измерения физических величин. [c.6]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

В результате предварительной статистической обработки матрицы [Я]г формируют матрицы времени восстановления [7в] и времени безотказной работы элемента [Гр] и вычисляют вероятностностатистические и эксплуатационные характеристики надежности элемента БТС, а также верхние и нижние границы их доверительных интервалов. С целью прогнозирования моментов возникновения отказов элементов БТС, являющихся случайными величинами, и для оценки времени, требуемого для восстановления работоспособности элементов после отказа, необходимо знать законы распределения этих случайных величин. Для определения закона распределения можно использовать два способа — аналитический и графический. По аналитическому способу на следующей стадии обработки статистических данных осуществляется расчет оценок коэффициентов вариации и Ра, определяющих вид и параметры закона распределения [c.168]

Оценка характеристик однов1ерной случайной величины. Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных Хь Х2,...,Хп. При обработке этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной случайной величины обычно производят [c.471]

Статистическое моделирование надежности системы включает в себя четыре основных этапа моделирование случайных событий, процессов или случайных величин с заданными законами распределения, построение вероятностных моделей процессов функционирования системы, статистическая оценка результатов моделирования и оиределение характеристик (показателей) надежности. Статистические модели надежности вюиочают в себя, как правило, следующие составные части статистические модели надежности отдельных элементов, логические и математические модели взаимодействия элементов, управляющие алгоритмы, отражающие закономерности протекающих в системе процессов, вычислительные алгоритмы расчета по соответствующим математическим моделям и алгоритмы обработки результатов статистического моделирования. [c.743]

Результаты расчета термодинамических свойств и их статистических характеристик по совокупности термических уравнений состояния, содержащей большое число уравнений, позволяют обоснованно судить о достоверности расчетных значений калорических и акустических свойств. Следует учитывать, что все оценки получены в предположении отсутствия систематических погрешностей в исходньЕх экспериментальных данных. В таком случае величину х можно рассматривать как оценку истинного значения термодинамической функции X по выборке из генеральной совокупности. С другой стороны, оценка х, рассчитываемая по формуле (3.81), является суммой достаточно большого числа N независимых случайных величин, ни одна из которых не доминирует над остальными. Поэтому на основании центральной предельной теоремы Ляпунова оценка х сама представляет собой случайную величину, подчиняющуюся закону нормального распределения, и среднюю квадратическую погрешность для [c.191]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология