Математическое ожидание также Среднее значение

В качестве параметров распределения или характеристических величин большое значение имеет математическое ожидание .I и дисперсия 0 , характеризующая разброс возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения. В качестве меры рассеяния используют также среднеквадратичное отклонение, обозначаемое а, равное I/ 0 . [c.41]

Пр имечание. В связи с только что установленной теоремой математическое ожидание случайной величины называют также ее средним значением, или ожидаемым значением. [c.272]

Таким образом, математическое ожидание среднего значения X есть генеральное среднее /х исходной величины X. Также можно показать, что [c.423]

На основании общих соображений н опытных данных принято считать, что результаты испытаний по определению показателей качества одного и того же нефтепродукта в разных лабораториях подчиняются нормальному закону распределения с центром распределения (математическим ожиданием), равным действительному значению показателя качества х. Форма нормального закона распределения соответствует показанной (рис. 1-1, а). Разброс значений вокруг центра характеризуется средним квадратическим отклонением о результатов испытаний х от действительного значения X. На основании положений теории вероятностей можно утверждать, что если результаты испытаний при определении показателя качества одного и того же нефтепродукта подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением а, то величина разности между двумя результатами будет также подчиняться нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным О, и средним квадратическим отклонением, равным /= а У 2 (рис. 1-1, б). За- [c.16]

Сопоставляя средние значения предела текучести материала днища после длительной эксплуатации с математическим ожиданием предела текучести Ст.З в исходном (недеформированном) состоянии, можно оценить наибольшие напряжения, возникавшие в материале днища в процессе эксплуатации. Как известно, математическое ожидание предела текучести для Ст.З не превышает 300 МПа. В нашем же случае, средние значения предела текучести во всех пяти поясах больше указанного значения. Следовательно, наибольшие рабочие напряжения, возникающие в материале днища, выходили за предел текучести, но все же незначительно, так как заметного увеличения предела текучести не наблюдается. Фактическая максимальная величина предела текучести кольцевой зоны шириной 20 см, примыкающей к стенке резервуара, составляет 326 МПа (32,6 кг/мм ), далее уменьшается до 307 МПа, что также выше математического ожидания на 4%. [c.31]

Найденные зависимости выходов от входов реактора позволяют выяснить степень чувствительности различных выходов к одному и тому же входу, а также влияние одного и того же входа на различные вр, ходы как в случае детерминированных входов, так и в случае непрерывных случайных колебаний последних. Полученные при этом результаты позволяют сравнить влияние на выходы флуктуаций входов с влиянием неточности задания входящих в уравнения констант скоростей реакций. В частности, для рассмотренного выше процесса пиролиза метана из сравнения кривых 1 рис. 14, я и б, видно, что в заданной области изменения величин входов Т (0) и (0) максимум концентрации ацетилена Сз (2т) более чувствителен к изменению входа Т (0), что, очевидно, необходимо будет учитывать при регулировании выхода Сд В том случае, когда входы [в нашем случае Т (0) и Сх (0)] непрерывно и стационарно флуктуируют, они могут быть математически промоделированы с помощью стационарных случайных функций времени. Полученные приближенные статические характеристики процесса позволяют найти математические ожидания выходов (в рассмотренном примере Сд (г ), Ь и з) в зависимости от среднеквадратичных отклонений входов [в данном примере — Т (0) и (0)1, а также вычислить автокорреляционные функции выходов [например Сд (2 )]- В частности, приведенные на рис. 15, а и б графики математического ожидания <Сд ( 2 )) показывают, что при случайных колебаниях входов (0) и Т (0) среднее значение выхода целевого продукта ацетилена Сд (г ) может понизиться на 5,5% от значения этой величины при постоянных начальных условиях. [c.64]

I = lg г, где N — число циклов до разрушения при усталостных испытаниях г — время до разрушения при длительных статических испытаниях. Для оценки дисперсии мех. св-в используют также числовые характеристики, среди которых наибольшее значение имеют а — математическое ожидание (среднее значение) 02 — дисперсия а — среднее квадратическое отклонение у — коэфф. вариации случайной величины X. Математическое ожидание и дисперсия являются параметрами нормального распределения. Перечисленные характеристики носят название генеральных. Экспериментальные оценки генеральных характеристик (характеристик дисперсии мех. св-в) имеют то же наименование и обозначаются соответственно х, 8 , 8 и V. Их подсчитывают по ф-лам [c.374]

Показатели второго вида в свою очередь могут быть разделены на две группы. Первую группу составляют показатели, которые можно определить без проведения длительных испытаний, например геометрические и весовые характеристики изделий, а также некоторые показатели назначения, в частности номинальная или максимальная мощность двигателя, время, необходимое для выполнения несложной задачи, и т. д. Ко второй группе относятся показатели, значения которых определяются в результате продолжительных испытаний, например показатели безотказности, долговечности и сохраняемости высоконадежных изделий. Для показателей этой группы служат средние значения (точнее, математические ожидания) показателей второго вида, а также показатели однородности, характеризующие величину рассеивания показателей качества (параметров) продукции при переходе от одной единицы (выборки, пробы) к другой единице (выборке, пробе) оцениваемой продукции. Показателями однородности являются дисперсии, средние квадратические отклонения и коэффициенты вариации значений показателей качества второго вида. [c.36]

Сравнение средних. Задача сравнения средних значений — также одна из самых распространенных. Нуль-гипотеза здесь средние значения в двух сериях измерений являются оценками одного и того же генерального значения (математического ожидания, истинного значения). [c.64]

Если средний размах Я используется для оценки дисперсии наносимой на график статистики, которая в свою очередь используется для установления контрольных пределов, то следует пользоваться специально подготовленными таблицами, такими как табл. 4.2 (для а = 0,0027), где записаны соответствующие постоянные, на которые следует умножить Я, чтобы вычислить верхний и нижний (симметричные) контрольные пределы. Эти постоянные Лг подбираются с помощью распределения для (X — Х)1Я- Рассмотрите также табл. 4.5. Если объем подгруппы п = ,то Л2 = 0,577 контрольные пределы тогда устанавливаются при X Л Я- Нулевая гипотеза для критерия, применяемого на контрольной карте, состоит в том что математическое ожидание переменной X равно некоторому заданному значению Хр. [c.109]

Определение математического ожидания диаметра частиц и его среднего квадратичного отклонения. Для проведения оценок осредненных скоростей частиц и их средних квадратичных отклонений по методике, описанной в работе [22], необходимо знание средних диаметров частиц, а также их отклонений. Проводя измерения скоростей частиц при некоторых фиксированных значениях чувствительности ЛДА (определяемой, прежде всего, величиной подаваемого на фотоэлектронный умножитель (ФЭУ) напряжения), мы фактически исследуем не скорости всей совокупности полидисперсных частиц, распределение которых подчиняется нормальному закону, а скорости частиц, нормальное распределение которых усечено слева. Вследствие описанного обстоятельства измеряемые значения статистических характеристик движения частиц оказываются отличными от их действительных значений (анализ этого факта будет проведен ниже). [c.69]

Исследование процессов адсорбции, проведенные на промышленных установках, показали, что основными возмущающими воздействиями в адсорбционных процессах является расход газа, поступающего на сорбцию, и концентрация в нем извлекаемого вещества Са. Возмущения, идущие со стороны состава газовой смеси, являются стационарной нормальной случайной функцией, которая принимает случайные значения, сохраняющиеся постоянными в случайных по длительности промежутках времени. Расход газа изменяется также случайно. Возмущение— ступенчатое, чаще в его 5—10%. Поскольку составляющие вектора возмущений ЛГвх = (<Э, Са) — случайные величины, в качестве точной оценки, характеризующей среднее относительное изменение критерия, было принято математическое ожидание М[у]. Если полученная величина математического ожидания окажется меньше ут1п, то применение системы автоматической оптимизации нецелесообразно, в этом случае достаточно использовать системы стабилизации, [c.184]

Таким образом, дис[ ерсия представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения. Последняя формула может быть переписана также в виде [c.54]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Поскольку в аналитической химии число параллельных определений невелико (обычно выполняют два, три или пять определений), совокупность полученных результатов называют выборочной говокупностью или случайной выборкой то, следовательно, величины X и 5 будут соответственно именоваться выборочное среднее арифметическое значение и выборочное стандартное отклонение. Необходимо помнить, что систематические погрешности, выявленные при меньшей выборке, на фоне большей могут стать случайными и что математические ожидания (X) для различных по объему выборок также не совпадают. [c.128]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология