Выборочные статистики

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца состава, имеющего государственную аттестацию, с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы / для п параллельных замеров будет равно п, т. е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое х этих же п измерений, то число степеней свободы будет равно п— 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения X. [c.65]

Выборочные статистики и их распределения [c.36]

В принципе термином выборочная статистика или просто статистика обозначается некоторое число, рассчитанное по выборке из наблюдений или измерений случайной переменной. Таким образом, оценки параметров плотности распределения вероятности, распределения накопленной вероятности, моделей процесса или оценки характеристик ансамбля, полученные из экспериментальных наблюдений, являются статистиками. Однако слово статистика имеет двойной смысл оно означает и правило вычисления статистики (т. е. некую функцию), и значение этой статистики. Нужный смысл будет ясен из контекста. Помните, что статистики — случайные переменные. [c.36]

Даже если распределение выборочной статистики неизвестно, доверительный интервал для любой случайной переменной X можно определить, используя неравенство Чебышева [4]. Оно устанавливает, что вероятность получить значение нормированной переменной, одинаковое с числом Н или меньше его, по крайней мере равна [1 - (1// )] [c.47]

Статистика, вычисленная для скользящего геометрического (экспоненциально взвешенного) среднего является обычно сглаженным значением выборочного среднего X или самого X. Текущим значениям приписывается вес пу (О с ш с 1), а более старой взвешенной статистике — вес 1 — w. Таким образом, если — взвешенное среднее выборочной статистики после выборки к, 2 — значение статистики в к-й выборке, к — текущее измерение, к — 1 — предыдущее измерение и т. д., О < г < й, то [c.130]

Если проводятся наблюдения над двумя или большим числом переменных и для каждой переменной на индивидуальной карте откладывается некоторая выборочная статистика, то можно считать, что процесс вышел из-под контроля, если на какой-нибудь карте контрольные условия оказались нарушенными. Однако такое правило приводит к необоснованному решению в том случае, когда эти переменные обладают некоторым совместным распределением, что, кстати, случается очень часто. [c.133]

Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных (погрешности) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями. [c.36]

Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Проверку гипотез относительно параметров распределения генеральной совокупности проводили в предположении нормального распределения наблюдаемой случайной величины. Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в л атематической статистике называют основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласия. Критерии согласия применяются для проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения. Критерии согласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетическом законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выборке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в гипотезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипотеза о предполагаемом законе распределения не опровергается. [c.58]

Определяются выборочные функции распределения (и некоторые связанные с ними статистики) обработок по эффекту и продолжительности эффекта для различных объединений и типов коллекторов. [c.47]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (п З). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей нз всех мыслимых в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Для практических целей можно считать, что при числе измерений /г = 20 30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а)—основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (я) близки (я ст). [c.26]

Выборочную дисперсию п найденных значений случайной величины х в математической статистике принято определять выражением s x) = п [c.331]

Перечисленные активные приемы сбора исходной информации употребляются на практике значительно реже, чем получение данных по отчетной документации. Обычно они используются для выборочного подтверждения результатов, полученных при анализе пассивной информации. В этом случае количество выполняемых хронометражных наблюдений, инструментальных исследований, проб материалов также должно быть тщательно обосновано в соответствии с требованиями их достоверности на основе методов математической статистики. [c.11]

При получении оценок случайных составляющих погрешности опробования для разделения погрешностей пробоотбора, пробоподготовки и анализа П. а. применяют т. наз. дисперсионный анализ-один из методов мат. статистики. Строго по разработанной методике проводят отбор к серий точечных проб, получая к объединенных проб. Из каждой объединенной пробы получают I П. а. Все П. а. анализируют, получая для каждой из иих неск. результатов анализа Затем статистически обрабатывают полученные данные и находят значения выборочных стандартных отклонений, характеризующие рассеяние результатов за счет разл. стадий (анализа, пробоподготовки и пробоотбора). При этом учитывают, что при малых выборках (малые значения ка/) полученные выборочные оценки соответствующих стандартных отклонений недостаточно точны. [c.96]

Естественно, что временные ряды, подверженные нерегулярным флуктуациям, можно изучать только статистически — на основе широкого использования аппарата теории вероятностей и математической статистики. При таком подходе ряд x t) рассматривается как одна реализация, выбранная нз статистического ансамбля функций, описываемого определенным распределением вероятностей в функциональном пространстве, т. е. как выборочная функция случайного процесса X t), зависящего от непрерывного или дискретного аргумента. Тем самым, анализ временных рядов оказывается частью [c.5]

Содержание большей ее части известно инженерам, но весь материал собран здесь в том виде, в каком он нужен для спектрального анализа В гл 3 мы вводим некоторые основные понятия теории вероятностей, являющиеся фундаментальными для последующих глав В гл 4 вводятся многие важные понятия теории статистических выводов и обсуждается использование выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов, а также дается краткое изложение способов получения статистических выводов с помощью функции правдоподобия Не весь этот материал необходим для понимания спектральных методов, обсуждаемых ниже, и читатели-инженеры могут при желании пропустить последнюю часть этой главы при первом чтении Для спектрального анализа наиболее существенными из этой главы являются разделы о применении выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов Последняя является важнейшим оружием в арсенале статистики и, как показывает наш опыт, часто неправильно понимается инженерами [c.10]

Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов Наконец, в разд. 3 3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия [c.78]

Выводим выборочное распределение этой статистики при условии, что нулевая гипотеза верна В нашем примере это будет /-распределение Стьюдента с у = и—1 степенями свободы [c.132]

Функция правдоподобия была введена в статистику Фишером, но, как отмечалось в разд 4 2, Фишер использовал ее главным образом для получения оценок максимального правдоподобия, которые можно было бы затем использовать для оценивания в методе выборочных распределений Использование же метода правдоподобия для выводов ведет свое начало от работ Барнарда [7, 8] и представляет собой совершенно другой подход к статистическим выводам. Подход Барнарда можно коротко сформулировать в утверждении, что распределения вероятностей полезны прп описании данных до того, как они собраны, в то время как функции правдоподобия полезны при описании данных после того, как они собраны [c.146]

Еще одна выборочная оценка корреляций. Другой выборочной оценкой корреляционной функции, часто используемой статистиками, является [c.222]

В математической статистике набор из конечного (п) числа реализаций ( наблюдений ) случайной величины называется выборочной совокупностью (выборкой) объемом п . Она представляет собой малую часть из теоретически возможного неограниченного множества наблюдений. Последнее называется генеральной совокупностью . [c.420]

Выборочный параметр представляет собой случайную оценку соответствующего параметра генеральной совокупности (функции распределения) последний является константой, т. е. не случайной величиной. Оценивание параметров распределений — наиболее важная задача статистики. [c.422]

Использование аттестованных стандартных образцов —не единственно возможный способ проверки правильности методики. В частности, можно сравнивать результаты анализа одного и того же образца, полученные с помощью испытуемой (А) и какой-либо другой (В), достаточно надежной, методики. Соответствующие выборочные средние —Хд (оценка для / д) и Хв (оценка для Нв) — следует сравнивать с помощью статистического теста. Способ вычисления соответствующей тестовой статистики покажем на следующем примере. Пусть Ха и ЛГв распределены независимо, имеют одинаковую дисперсию и средние На и нв соответственно. Тогда Ха N fXA,o /па) и Хв АГ(/ в,о 2/пв)- в силу свойства аддитивности нормального распределения (заключающегося в том, что если Х N 11,01) и Х2 N 12,02), то линейная комбинация Х1 Х2 распределена как N 1 2,01+02) разность Ха — Хв) имеет распределение N lA — 1в,о 1/па + 1/пв))- Следовательно, тестовая статистика, рассчитываемая по уравнению (12.1-26), имеет стандартное нормальное распределение N 0,1) [c.442]

Нуль-гипотезу отклоняют, если < (1-а/2),п-1- Мощность этого теста несколько меньше, чем у соответствующего теста для двух выборочных средних (см. случай 3 в табл. 12.1-7), поскольку тестовые статистики в этих случаях имеют соответственно 71 — 1 и 2(т1— 1) степеней свободы. Однако даже несмотря на это, использование парного теста в данном случае предпочтительнее, поскольку возможные посторонние эффекты, увеличивающие разброс данных, могут полностью лишить смысла результаты обычного -теста для двух средних. Отметим, что парный -тест основан на допущении, что погрешности (как систематические, так и случайные) не зависят от содержания определяемого компонента. Очевидно, что если это содержание изменяется от образца к образцу в широких пределах, то указанное допущение надо считать весьма смелым. Поэтому в подобных случаях применять парный -тест не следует. Вместо него лучше использовать метод линейной регрессии (см. ниже). [c.445]

К началу обработки результатов химического анализа методами математической статистики систематические погрешности должны быть выявлены и устранены или переведены в разряд случайных. При этом данные анализа — случайные величины с определенным распределением вероятности. Прежде чем рассматривать оценку случайных погрешностей, остановимся на двух понятиях генеральная совокупность — гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -да до + выборочная совокупность (выборка) — реальное число (л) результатов, которое имеет исследователь. [c.42]

Прежде чем обрабатывать данные с применением методов математической статистики, необходимо выявить промахи и исключить их из числа рассматриваемых результатов выборочной совокупности. Заметим, что единственный, вполне надежный, метод выявления промаха — детальное рассмотрение условий эксперимента, позволяющее исключить наблюдения, при которых были нарушены стандартные условия измерения. Тем не менее суще- [c.50]

Отметим, что -критерий неприменим к малым выборкам (и < 5), в этом случае требуется набрать большое число данных или использовать другие статистические способы выявления промаха. После исключения промаха данные выборочной совокупности можно обработать с применением методов математической статистики. [c.51]

Как правило, корректно взятая выборка лишь случайно отличается от генеральной совокупности. Эти случайности и вероятность их появления можно описать с помощью математической статистики. Она позволяет на основании выборочных измерений делать заключения о поведении генеральной совокупности. Поэтому из конечного числа измерений можно сделать общий вывод о случайной ошибке изучаемого метода измерения и дать прогноз характера аналогичных измерений в будущем. [c.26]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (и = 3-7). Для расчета погрешностей в этом случае пользуются методами современной математической статистики, разработанной для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из бесконечного числа выполненных в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. [c.67]

Важность перехода от выборочного контроля к сплошному возрастает с увеличением сложности контролируемого оборудования. Это можно пояснить таким примером. Основную часть парового котла современной электростанции составляет трубная система, включающая сотни тысяч отдельных труб и сварных соединений. Если при выборочном контроле вероятность пропуска дефектного элемента будет составлять 0,01% (это весьма высокая степень надежности), то по законам статистики из 100 000 элементов около 10 разрушится во время работы. Отсюда следует, что введение сплошного неразрушающего контроля трубной системы котла является необходимым условием его успешной эксплуатации. [c.8]

С помощью выборочных среднего значения и дисперсии может быть образована новая статистика (г-статистика) [c.222]

Образованная с помощью выборочной дисперсии статистика [c.223]

Особое значение в настояп1,ее время придается статистическому контролю, получившему развитие в поточном и автоматизированном производстве. В его основе лежит выборочный контроль и использование теории вероятностей и математической статистики. [c.123]

Прибор, выпускаемый американской фирмой Sperry Produ ts, позволяет осуществлять анализ при больших скоростях потока и высокой концентрации частиц, причем возможность повторного подсчета одних и тех же частиц исключается благодаря наличию специального электронного счетчика. Ультразвуковые приборы по точности определения размеров частиц не уступают оптическим микроскопам, а подсчет числа частиц осуществляется ими значительно точнее, так как идет не выборочно (с последующей обработкой результатов методами математической статистики), а фиксирует все частицы, находящиеся в масле при использовании же микроскопа подсчитываются лишь частицы, попавшие в определенное число полей зрения. Однако, как ультразвуковые, так и фотоэлектронные приборы для гранулометрического анализа загрязнений в нефтяных маслах еще не получили достаточно широкого распространения из-за сложной конструкции и высокой стоимости. [c.34]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

Выборочные оценки. Очевидно, что точное измерение какой-либо интересуюшш нас величины на практике невозможно. Результаты в отдельных опытах (значения измеряемой величины) всегда несколько отличаются друг от друга. Эти результаты можно рассматривать как случайную величяну , которая характеризуется некоторой не известной нам функцией распределения. С другой стороны, как следует из предыдущего раздела, точным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание, и в формулу для расчета М входит функция распределения этой случайной величины. Возникает естественный вопрос об определении из опытных данных (по существу — из недостаточного количества сведений) наиболее достоверного значения измеряемой величины. Эта задача в математической статистике решается на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.56]

В практике статистических исследований и при обработке ре-.зультатов химического анализа распространенной является ситуация, когда случайная величина имеет заведомо нормальное или близкое к нормальному распределение, но представляющая -ее выборочная совокупность имеет малый объем, т. е. не является достаточно представительной. Поскольку при этом генеральные параметры не могут быть надежно оценены, возникает необходимость статистической оценки по выборочным параметрам. Раздел математической статистики, посвященный обработке мало-представительных выборок (2 <20), условно называют микростатистикой. [c.92]

В специальных руководствах и справочниках по математиче-> ской статистике табулированы значения Скр — критерия Кохрана для уровня значимости р = 0,05 и р = 0,01 как функции числа степеней свободы = к—1. Если найденное дисперсионное отношение О < Скр, все выборочные дисперсии можно считать оценками одной генеральной дисперсии. В этом случае наилучщей оценкой генеральной дисперсии будет среднее арифметическое выборочных дисперсий [c.107]

По результатам опроса экспертов рассчитываются также коэффициент конкордации и дисперсия экспертных оценок и т. п. Но, несмотря на весь этот набор статистик, заданные значения е, V, а неправомерно интерпретировать как показатели точности и достоверности коэффициентов значимости единичных показателей качества (В ). Статистический смысл Е, V, а только в том, что они устанавливают допустимые количественные соотношения между выборочной средней экспертной оценкой и генеральной средней, характерной для генеральной совокупности экспертов (т. е. для бесконечного их числа). К точности же самих коэффициентов значимости Л, названные статистические характеристики не имеют отношения и не могут их обеспечить, как бы не ужесточались значения е и а. Они определяют лишь с вероятностью а меру расхождения е выборочной средней экспертной оценки 5, и генеральной средней. Но дело в том, что при подобном подходе нет объективных оснований истинности самой генеральной средней. Проблема оценки погрешности генеральной средней экспертной оценки уровней значимости В, относительно их истинных величин лежит в иной плоскости. Она заключается в установлении меры соответствия действительной доли изменения полезности единицы продукции при изменении ее /-ГО свойства величине В,, определенной экспертами. Поскольку эти соотношения очень сложны, то интуитивные оценки самых добросовестных и квалифицированных экспертов не в состоянии конкурировать с точностью инженерного расчета. Здесь нравомерно провести следующую параллель. Допустим, требуется определить мопшость двигателя внутреннего сгорания. Известно, что она зависит от числа цилиндров, [c.404]

Проверим наличие грубых ошибок в обеих выборках из примера 1. Для первой выборки (с покрытием) = 62 - 45,75 = 16,25, 4 = 27 - 45,75 = 18,75. Следовательно, = 18,75. Ранее определено выборочное значение сред-неквадратического отклонения 5 = 9,53. Тогда т = 18,75/9,53 = 1,97. Критическое значение г-статистики для а = 0,1ит = Л -1 = 11 степеней свободы составляет [c.234]

Если предположить, что при нормальном распределении данных в двух выборках их генеральные дисперсии равны (а, = о1 нулевая гипотеза), то отношение выборочных дисперсий должно подчиняться распределению Фишера-Снедекора (10.8). Поэтому проверка равенства дисперсий сводится к проверке попадания статистики в допустимые пределы, которые табулированы для разных уровней значимости. Если Е > Еа, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута. [c.235]

Выборочные коэффициенты корреляции, которые входят в систему уравнений (VIII.30), должны быть статистически значимыми. В математической статистике доказано, что условием значимости коэффициентов корреляции является выполнение неравенства [c.201]