Теория вероятности

В заключение этого раздела следует подчеркнуть, что мы не ставили своей задачей рассмотреть всю область применения математической статистики и теории вероятностей. В частности, не рассматривался дисперсный анализ и связанные с ним математико-статистические методы, применимые g для оптимального планирования экспериментов. Этот вопрос подробно изложен в специальной литературе [9]. [c.263]

Для изучения стохастических процессов обычно используют математический аппарат теории вероятностей, при помощи которого параметры состояния оцениваются в терминах математического ожидания, а возмущающие параметры характеризуются вероятностными законами распределения. [c.25]

В дальнейшем будем рассматривать только случайные колебания, учитывая при этом, что многие причины, действующие в различных или противоположных направлениях, создают много значений, колеблющихся около одного истинного. В этом случае многие причины, влияющие на результаты измерения, принять во внимание также безнадежно, как попытки описать положение всех молекул газа в некотором объеме в данный момент. Подобно тому, как при решении последнего вопроса кинетическая теория газов по Максвеллу обращается к статистическим методам, так и мы воспользуемся методами математической статистики (обязанными своим происхождением теории вероятностей) для корректирования отклонений результатов измерения от истинного значения. Знание этих [c.243]

Важность методов математической статистики для химической техники подчеркивает Веллер [10] При опытном испытании поведения какой-либо системы надо принимать во внимание, например, допуски продукции, свойства сырья, а также субъективные различия характеров обслуживающего персонала и изменения в планируемых расходах на обслуживание. Благодаря этому все задачи контроля у инженера сводятся к проблемам вероятности. Тот факт, что инженеры этого еще не уяснили себе, объясняется тем, что литература по вопросам применения теории вероятностей перегружена примерами из биологии и сельского хозяйства, с которыми инженеру нечего делать . [c.263]

При статистическом (пассивном) методе используются дан-1ше об изменениях входных - X и выходных - У параметров объекта, которые представляют собой случайные величины. Определение статических характеристик при этом сводится к нахождению связи между случайными величинами и к оценке достоверности этой связи. Статистический метод базируется на принципах теории вероятности. [c.22]

Нормальное распределение вероятностей занимает в теории вероятностей центральное место. Название связано с открытием Гаусса, согласно которому при повторении испытаний полученные значения по этому распределению нормально соответствуют обычному закону ошибок. [c.252]

Следует отметить, что слово случайные здесь нельзя понимать в общепринятом смысле. По теории вероятностей понятие случайный вовсе не означает, что происходящее явление причинно не определяется, а указывает лишь на то, что причины, принятые во внимание для определения действия, недостаточны. В случайных процессах действуют многие, не зависящие друг от друга причины, из которых лишь некоторые известны или представляют интерес. [c.242]

Полученная экспериментально дифференциальная кривая распределения статистически представляет собой плотность распределения вероятностей случайной величины, которой является пребывание частиц в реакторе. Эта плотность, согласно теории вероятностей и математической статистики может быть описана с помощью теоретических вероятностных характеристик [c.49]

Из теории вероятностей известны методы [2], с помощью которых можно определить дисперсию Стьюдента t (п). Мы приводим только-окончательные результаты (табл. 12-3). [c.257]

Основным фактором, обусловливающим процесс, протекающий в системе массового обслуживания, является поток требований, т. е. последовательность возникающих один за другим пожаров. Поэтому первоочередной задачей исследования системы подачи и распределения воды для тушения пожаров, рассматриваемой с позиции теории массового обслуживания, является изучение потока требований, которые могут поступить в результате возникновения пожаров. В данном случае под потоком требований понимается последовательность пожаров, возникающих один за другим в какие-то случайные моменты времени. Для количественного анализа процесса обслуживания требований необходимо проанализировать поток поступающих требований и исследовать его характеристики. Исследование работы системы водоподачи, работающей в режиме пожаротушения, приводит к необходимости анализировать своеобразный случайный процесс, связанный с переходами этой системы из одного состояния в другое. Например, система водоподачи может некоторое время подавать воду для локализации пожара и последующей его ликвидации, а затем в течение определенного времени восстанавливать израсходованные запасы воды и после этого быть свободной (не работающей на пожарные нужды). Есть все основания полагать, что поток требований, поступающих в систему водоподачи при пожарах, является именно простейшим потоком. Эта гипотеза была проверена в результате анализа статистических данных о пожарах с привлечением аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания [29]. [c.67]

Из введения к этой главе следует, что математическая статистика, как раздел теории вероятностей, исследует данные, отличающиеся друг от друга. Эти отклонения, несмотря на их случайный характер, до некоторой степени регулярны. Выберем из п следующих друг за другом значений температуры, расположение которых на рис. 12-1 кажется на первый взгляд беспорядочным, значения, которые попадают в определенный интервал общим числом к. Отношение [c.244]

Из этого рисунка и табл. 12-3 видно, что разница между обоими распре-делениями при п = 20 уже настолько мала, что практически может не приниматься во внимание. С развитием теории вероятностей и математической статистики за последние 50 лет были разработаны и исследованы также другие методы распределения (например, так называемое / -распределение для сравнения дисперсии двух совокупностей). Подробно эти вопросы освещены в специальной литературе [2], [c.259]

При статическом распределении явлений характеристики отдельных индивидуумов или их групп могут существенно различаться по своим величинам. Это общее статистическое соотношение полностью применимо к энергиям молекул. Из кинетической теории известно, что средняя энергия группы идентичных молекул является функцией температуры. Однако часть молекул обладает гораздо большей, а часть гораздо меньшей энергией по сравнению со средней энергией молекул. Указанное распределение энергии подчиняется законам теории вероятностей. [c.41]

Вопрос о числе переменных и связи между ними можно решить с помощью метода корреляции, являющегося одним из наиболее распространенных методов теории вероятностей. Корреляция, как говорит само название, помогает установить соотношение между переменными. В дальнейшем этот метод будет рассмотрен только в тех пределах, в которых он нужен инженеру-химику для оценки промышленного процесса. [c.264]

Наибольшее распространение получили методы первой группы. При этом используется понятие момента, заимствованное из теории вероятностей, согласно которой функция (кривая) распределения случайной величины может быть охарактеризована числовыми характеристиками (различными моментами). [c.56]

Однако встречается и другой вид соотношений между двумя переменными. В этом случае одному данному значению одной переменной соответствует несколько различных значений другой переменной, обнаруживающих определенное рассеяние. Таким образом, одна переменная оказывается случайной. Такое соотношение между двумя переменными называют стохастической связью. Под этим понимают обычно совокупность случайных переменных, зависящих от одной непрерывной переменной t. Параметр t обозначает чаще всего время, но может оказаться любой непрерывной переменной. Так, стохастическим процессом является диффузия [11], если она рассматривается как связь между числом диффундирующих частиц и временем. Эта проблема теории вероятностей была разработана А. А. Марковым . [c.264]

Молекулярной парой называется сочетание двух соседних (находящихся рядом) молекул А—А, В—В или А—В компонентов раствора, не связанных между собой какими-либо силами, кроме обычных межмолекулярных сил. Имеющиеся в данный момент сочетания молекул сменяются хаотически другими. Связь среднего числа соседних пар АА, ВВ и АВ с числами молекул А и В устанавливается теорией вероятности если сочетания пар АА, ВВ и АВ энергетически равноценны, то числа пар АА, АВ и ВВ пропорциональны (1—ж), (1—х)х и X соответственно. Если энергия взаимодействия в каких-либо пар, например АВ, больше, чем энергия взаимодействия других пар (АА и ВВ), то среднее число пар АВ в любой момент времени будет больше, чем в первом случае избыток определяется множителем где (7=—2 дц- - дд+ цц (е—отрицательная величина). [c.250]

Это можно сделать, например, в соответствии с теорией вероятности. Так, если [c.119]

Наиболее распространенными методами конструирования состоятельных оценок на основе использования законов больших чисел являются метод моментов (ММ), метод максимального правдоподобия (ММП) и метод наименьших квадратов (МИК). Однако прежде, чем познакомиться с ними, определим основные понятия теории вероятности и математической статистики применительно к целям нашего рассмотрения. [c.137]

Таким образом, для успешного решения задачи определения функции распределения времени пребывания в реакторе необходимо огрубление истинной гидродинамики процесса, позволяющее оценить суммарное влияние всех многообразных действующих факторов на перемешивание потока. Здесь приходит на помощь основное свойство распределений случайных величин, выражаемое центральной предельной теоремой теории вероятности. Согласно этой теореме, распределение случайной величины, подверженной влиянию многочисленных слабых факторов, должно быть близко к нормальному закону. Установления распределения, близкого к нормальному, следует ожидать в достаточно протяженных системах, где элемент [c.207]

В то время как поведение каждого отдельного объекта определяется динамическими закономерностями, поведение системы, состоящей из очень большого числа объектов, характеризуется новым видом закономерностей — статистическими. Появление статистических закономерностей обусловлено тем, что каждый объект системы за любой разумно малый интервал времени испытывает такое большое число соударений, что его начальное состояние полностью забывается и дальнейшее поведение носит случайный характер. Это позволяет для описания таких процессов использовать аппарат теории вероятности и математической статистики. [c.24]

Н, Br и Вг. Результирующая группа пиков данного фрагмента имеет важное значение при их отнесении к фрагменту. Относительные интенсивности пиков зависят от относительного содержания в природе изотопов атомов фрагмента, например, СО может включать фрагменты с массовыми числами 28, 29, 30 и 31. Их относительные количества можно рассчитать с помощью простой теории вероятности [13, 14]. Чтобы провести такие расчеты, созданы программы для ЭВМ [15, 16]. Эти характеристические участки спектра весьма полезны для его отнесения в случае молекул, в которых атом имеет более чем один распространенный изотоп. Молекулы, содержащие ионы переходных металлов, часто дают такие характеристические участки спектра. Использование пиков С позволяет определить число атомов углерода во фрагменте. [c.324]

Этот факт непосредственно следует из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Однако дисперсия предельного закона, а также число ячеек, на котором происходит приближение к нормальному распределению, существенно зависят от свойств микрораспределения. Из определения коэффициента асимметрии следует, что 8к( > < 1 нри N (где 1/ 5 = 8k ). Очевидно, [c.224]

Коэффициенты этого разложения называются семиинвариантами. Первые два семиинварианта совпадают соответственно со средним временем пребывания в реакторе и дисперсией, а остальные могут быть выражены через линейные комбинации статистических моментов. Удобство использования семиинвариантов связано с тем, что у наиболее часто встречающихся в теории вероятности распределения — нормального, или гауссова, — все семиинварианты, начиная с третьего, равны нулю. Вследствие этого высшие семиинварианты могут служить мерой отклонения распределения от нормального закона распределения. [c.206]

Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, Физматгиз, 1961, [c.257]

При суммировании независимых скалярных случайных погрешностей используются следующие теоремы теории вероятностей. [c.26]

Размерные цепи можно рассчитать двумя методами. Первый метод известен в литературе [49] под названием метода обеспечения полной взаимозаменяемости или метода расчета размерных цепей по максимуму и минимуму. Он учитывает, что прн сборке в одном изделии могут встретиться детали крайних предельно допустимых размеров в самом невыгодном для точности сборки сочетании. При таком предположении допуск замыкающего звена размерной цепи равен сумме допусков составляющих звеньев. Исследования, проведенные отечественными и зарубежными специалистами, показали, чго отклонения размеров в обработанной партии деталей в основном группируются около середины поля допуска, и только незначительная часть деталей в партии будет иметь предельные отклонения. Совпадение при сборке деталей с наихудшим сочетанием предельных размеров маловероятно. Н, А. Бородачев в работе [8] рассчитал, пользуясь соответствующими теоремами теории вероятностей, что при сборке изделий с 10 размерами наихудшее сочетание может быть 4 [c.4]

Вероятностные молели (аналитическая и численная) описывают стохастические процессы. При построении этих моделей используются методы математической статистики и теории вероятности. [c.11]

Указанные выше погрешности суммируются по заколам теории вероятностей. [c.13]

В книге рассматриваются теоретические проблемы процессов химической технологпи с широким использованием математических методов (теория групп, векторный и тензорный анализ, математическая статистика и теория вероятностей), что позволило авторам сделать глубокие обобщения, дать новые системы уравнений статики и кинетики процессов. [c.4]

Краткие сведения из теории вероятностей [c.13]

При суммировании систематических ошибок используются следующие теоремы теории вероятностей. [c.24]

Одной из важпейпшх теорем теории вероятности является теорема о центральном предельном распределении, связывающая математическое ожидание и дисперсию и утверждающая, что сложение большого числа независимых случайных переменных при весьма общих условиях имеет нормальное распределение [c.139]

Особое значение в настояп1,ее время придается статистическому контролю, получившему развитие в поточном и автоматизированном производстве. В его основе лежит выборочный контроль и использование теории вероятностей и математической статистики. [c.123]

Для того чтобы судить о возможности промышленного применения различных реакторов, эксперимейтально определяют среднее и действительное время пребывания и дают оценку этим данным с помощью теории вероятностей. С этой целью используется понятие относительного времени пребывания т [c.210]

Понятие о степени свободы вероятности и скорректированной с ее помощью величине х можно было бы ввести и раньше (с самого начала главы), однако мы преднамеренно сделали это только сейчас. Расхождение между значениями к и 5 только тЬгда значительно, когда п — относительно малое число п < 30). Мы надеемся, что читатель понимает, что степени свободы, которые вводятся в различные области знания, в различные и независимые друг от друга разделы науки (механику, учение о теплоте, теорию вероятностей и т. д.) — степени свободы Гиббса, обнаруживают общность, как об этом говорилось в гл. 4. [c.258]

Случайные ошибки отличаются от систематических тем, что увеличением числа измерений можно уменьшить их величину. Эта особенность обусловлена тем, что значения случайных ошибок с одинаковой степенью вероятности кюгут быть положительными и отрицательными. Казалось бы, это позволяет осуществить количественную оценку случайных ошибок, однако это не так число повторных измерений невелико, поэтому методы теории вероятности в этом случае неприменимы. [c.452]

ФПВ f x). Помимо первых двух моментов — ожидания Е и дисперсии В — важную роль в теории вероятности играют выспше — вторые, третьи и т. д. моменты. В общем случае п = Е (х) — п-й алгебраический момент, = = Е 1х — Е х) — т-й центральный момент. Распределение может быть несимметричным относительно своего среднего, и степень асимметрии задается коэффициентом Р1 = Аз/(1. Очевидно, что если распределение симметрично, то Цз = Рх = 0. Другие употребителюые коэффициенты описания — асимметрия А = = [c.139]

Столь малая вероятность сочетания крайних предельных размеров составляющих звеньев при сборке послужила основанием для разработки д-ром техн. наук проф. Н. А. Бородачевым [7] и д-ром техн. наук проф. Б. С. Балакшиным [5] второго метода расчета размерных цепей, основанного на законах теории вероятности и математической статистики. [c.5]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология