Отклонение генеральное стандартное

При наличии выборочной совокупности стандартное отклонение обозначают (индексом п здесь указывают число определений). Стандартное отклонение выборочной совокупности больше, чем стандартное отклонение генеральной совокупности а, и вычисляется по формуле [c.141]

В это уравнение входит параметр а, называемый генеральным стандартным отклонением или генеральным среднеквадратичным отклонением и вычисляемый по формуле [c.133]

Стандартное отклонение приведенной малой выборки 5, близкое при данном числе параллельных определений к стандартному отклонению генеральной совокупности а, можно вычислить далее по уравнению [c.69]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (п З). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей нз всех мыслимых в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Для практических целей можно считать, что при числе измерений /г = 20 30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а)—основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (я) близки (я ст). [c.26]

Рассмотрим в качестве примера результат анализа образца № 1, предположив, что нет данных предыдущих анализов и что поэтому нельзя вычислить стандартное отклонение генеральной совокупности. [c.72]

Распределение величины I по = п—степеням свободы носит название распределения Стьюдента. Сравним его с распределением Лапласа. Если мера отклонения среднего результата измерений от математического ожидания в единицах генерального стандартного отклонения среднего о(л ), то коэффициент Стьюдента — аналогичная мера в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата и- = (Х - ц)/а (Г) = АХ- л/п/а-, 1- = (Х - ц)/5 (X) = АХ- / 3 . [c.833]

Аналоги 1Но тому как 5, рассчитанное для ограниченного числа определений п, со статистической надежностью приближенно отражает стандартное отклонение генеральной совокупности (а), арифметическое среднее х= 1,Х1)1п также только со статистической надежностью приближенно (оценочная величина) отражает среднее генеральной совокупности ( х). При получении из двух серий мало различающихся значений х и Х2 можно говорить или о случайном различии двух выборок из одной генеральной совокупности (т. е. несмотря на то, что Х >Х2, (11 = 2). или о действительно различных генеральных совокупностях М 1>(Х2 (что обусловлено систематической ошибкой или различием проб). Для решения этого вопроса при незначительном расхождении х и Х2 необходимо учесть стандартные отклонения первой (5]) и второй ( г) серий измерений. Это также необхо- [c.465]

Размерности математического ожидания и измеряемой величины совпадают. Размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений и самой измеряемой величины как квадрат величины с ее первой степенью. Чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений измеряемой величины с абсолютными значениями отклонений, используют величину д/0( ) - В случае генеральной совокупности ее обозначают символом а и называют генеральным стандартным отклонением, а также просто стандартом и среднеквадратичным отклонением. Цля выборочной совокупности [c.818]

Пример 4. Генеральное стандартное отклонение при измерении понижения температуры замерзания А/ с помощью термометра Бекмана составляет стд< = 0,003°С. Сколько нужно криоскопических измерений, чтобы коэффициент вариации при определении среднего значения величины At на уровнях А ]=Д 1 = = 0,25°С и Хг = А г = 0,5°С не превышал 0,5% [c.831]

Если принять, что 8 достаточно хорошо оценивает стандартное отклонение генеральной совокупности сг то можно сказать, что в интервал X + попадает 68,3% всех выполненных нами измерений, а в интервал X 1,965 попадает уже 95% измерений. Или, другими словами, если мы выполним только одно измерение, то оно попадет в интервал X + 1.965 с вероятностью 95%. [c.11]

Пример. 5. Среднее из ряда измерений э.д.с. гальванического элемента равно 0,674 В. Генеральное стандартное отклонение измерений не превышает 0,003 В. Полагая, что отклонение любого единичного результата, которое реализуется с вероятностью р < 0,003, происходит вследствие значимой причины— промаха, оценить, можно ли считать промахом частный результат Е = 0,693 В. [c.832]

Стандартное отклонение малой выборки 5 может не совпадать со стандартным отклонением генеральной совокупности а, т. е. в общем случае 8ф а. Тем не менее опыт показывает, что достаточно хорошее приближение 5 к а получается уже в том случае, если количество измерений равно или больше двадцати. Это дает возможность вычислить а из данных предыдущих анализов аналогичного материала примерно с одним и тем же содержанием данного элемента. Рассмотрим последовательность вычислений. [c.68]

Пример 5. Среднее из ряда определений марганца в стали равно 1.74 /о-Генеральное стандартное отклонение для содержаний марганца 0,5—3 % составляет примерно 0,07 %. Полагая, что отклонение любого единичного результата от среднего, которое реализуется с вероятностью < 0,003, происходит вследствие значимой причины — промаха, оцепить, можно ли считать частный результат анализа ха = 1,99 % промахом [c.89]

Дисперсия имеет размерность но ее значение не сообщает никакой информации о степени рассеяния значений х. Поэтому часто используют стандартное отклонение или среднеквадратичное отклонение. Стандартное отклонение обозначается символом Ох и также определяется, из уравнения 2-1. Заметим, что формулу можно использовать только тогда, когда известно генеральное среднее. Поэтому ура,вне-ние 2-1 связано только с генеральной дисперсией Ох и генеральным стандартным отклонением Ох- Эти параметры нужно строго отличать от выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения Зх, которые рассматриваются ниже. [c.28]

В обоих рассмотренных случаях доверительные границы получаются более широкими, чем при использовании стандартного отклонения генеральной совокупности о. [c.73]

Однако, если число параллельных результатов достаточно велико, выборочные параметры М х) и 5(j ) t большой точностью приближаются к генеральным. Уже при п > 30 и тем более при п > 50 или п > 100 выборочные параметры можно считать близко совпадающими с генеральными. Существенно отметить при этом, что совсем не обязательно, чтобы все п результатов были параллельными, т. е. повторными результатами- анализа одной и той же пробы. Вычислить стандартное отклонение 5->о можно по многократным анализам нескольких проб, близких по составу, когда общее число анализов п = т ГП2. .. + достаточно велико (о методах расчета генерализованной дисперсии речь пойдет в следующем параграфе). Несомненно поэтому, что каждую хорошо отработанную и многократно проверенную аналитическую методику можно и должно характеризовать выборочным стандартным отклонением, практически не отличающимся от генерального стандартного отклонения аналитического определения . [c.83]

При условии, что общее число анализов достаточно велико (Л п, к > 30) и генеральное стандартное отклонение аналитического определения мало зависит от содержания искомого компонента (это условие выполняется для образцов, близких по химическому составу), Зп, к мало отличается по значению от генерального параметра а. [c.90]

Пример 3. Полагая, что значение выборочного стандартного отклонения из предыдущего примера равно генеральному стандартному отклонению а, оценить доверительную вероятность отклонений единичного результата от среднего на 0,19 % и доверительную вероятность отклонения среднего на 0,067 %. [c.95]

В тех редких случаях химического анализа, когда известны стандартные отклонения всех частных метрологических операций, приводящих в совокупности к расчету конечного результата химического анализа, оценки могут носить строгий статистический характер. Пусть (т 2.....— генеральные стандартные отклонения соответствующих аргументов, Оу — генеральное стандартное отклонение конечного результата анализа, а функция f — конкретная функциональная зависимость у = хи х ,. .., Хп). Тогда связь между среднеквадратичными ошибками Оу и (Тд. принимает вид [c.119]

Случайная величина я (выборочное стандартное отклонение) есть оценка <т (генерального стандартного отклонения). [c.422]

Результаты химического анализа, как и присущие этим результатам погрешности, можно рассматривать в качестве случайных. Свойства случайных величин описываются законами математической статистики. В соответствии со сказанным, выборка, состоящая из результатов анализа (или выборка погрешностей), характеризуется определенной вероятностью Р и объемом п (или кратностью анализа). Выборка — дискретная (3-5 значений в случае химического анализа), конечнозначная и ограниченная величина с неравномерным распределением составляющих ее вариант. Распределение отклонений в выборочной совокупности несколько отличается от нормального распределения небольшие отклонения появляются реже, большие — чаще. Такое распределение отклонений называют 1-распределением, или распределением Стьюдента (статистика малых выборок). С увеличением числа параллельных определений -распределение все больше приближается к нормальному распределению, а выборочное стандартное отклонение — к стандартному отклонению генеральной совокупности (при генеральной совокупности и>20). [c.130]

Генеральные дисперсии обозначаются соответственно через 3 и 37, а стандартные отклонения генеральной совокупности— через 3 и 0J-. [c.26]

Существует несколько мер рассеяния дисперсия, стандартное отклонение, относительные стандартные отклонения, размах и среднее абсолютное отклонение. Если выборочное распределение оценки имеет среднюю, равную соответствующему параметру генеральной совокупности, такую оценку можно назвать несмещенной оценкой параметра. [c.574]

Трудность заключается в том, что стандартное отклонение генеральной совокупности обычно неизвестно и может быть лишь приблизительно определено для конечного числа измерений при помощи выборочного стандартного отклонения s, найденного из уравнения (26-4). Эту трудность преодолевают для гауссовского распределения с помощью величины t (известной как критерий t Стьюдента) [16], определяемой по формуле [c.576]

Для практических целей можно считать, что при числе измерений п 20+30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (сг) — основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (в) близки (5 а). [c.302]

В этом выражении f(j ) — функция распределения вариант по вероятности попадания в интервал от д до л + dx-, параметр ц является среднеарифметическим (далее для краткости — средним) по всей совокупности измерений или генеральным средним-, при п - -> оо и отсутствии систематических ошибок ц становится равным истинной измеряемой величине. Отклонение x — л есть единичная абсолютная ошибка измерения параметр называют дисперсией, корень квадратный из дисперсии о — стандартным или среднеквадратичным отклонением-, чем о меньше, тем кучнее располагаются варианты около генерального среднего, тем уже вероятный интервал, в котором находится истинное значение х. Площадь под кривой Гаусса в пределах п = 1 до с равна единице. Так как измерения при п- оо неосуществимы, то неизвестны ни д., ни [c.6]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Пример 3. Генеральное стандартное отклонение при рефрактометрическом измерении показателей преломления на реф-рактометре-сахариметре РПЛ-3 составляет Оя = 2-10- . Какие доверительные интервалы соответствуют доверительной вероят -ности 2а = 0,95 для единичного и среднего из десяти измерений показателя преломления Можно ли на данном уровне доверительной вероятности р = 0,95 заметить наличие в воде 0,1 % (масс.) растворимой примеси, если в ее присутствии показатель преломления воды = 1,3330) возрастает на = 2,5 10" [c.831]

Рис. д. 186. Среднее значение ц и стандартное отклонение о генеральной совокупности, представленные на сетке вероятностей . [c.443]

Разброс результатов анализа х), а также аналитических сигналов [у) в их генеральной совокупности оценивают величиной а. Грубой оценочной величиной для о является диапазон значений = тах—т. е. разность между наибольшим и наименьшим результатами анализа серии идентичных проб или идентичных материалов, полученными с использованием одних и тех же методов анализа. Значительно более точной оценочной величиной является стандартное отклонение [c.462]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

Пример 1. Среднее из ряда измерений методом Дю-Нуи поверхностного натяжения у в водном растворе себациновой кислоты с = 0,001 М, t = 20° ) составляет 58,4 мН/м. Генеральное стандартное отклонение методики измерений ау = 0,6 мН/м. Найти доверительную вероятность того, что единичный результат X измерений не выйдет за пределы 57,0 X < 59,8. [c.830]

Пример 3. Среднее содержание фосфора, в чугуне, по данным 8 параллельных анализов, равно 0,395 % генеральное стандартное отклонение равно 0,018 %. Определить доверительную вероятность того, что единичный результат и среднее ариметическое не выпадают из интервала 0,37—0,42 %. [c.88]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Таким образом, а и характеризуют в идеале стандартное отклонение и среднее арифметическое совокупности результатов всех 1 мерений, так называмой генеральной совокупности, а 5у н у или соответственно Зг я г — стандартное отклонение и среднее арифметическое результатов измерений, полученных на практике для небольшого числа опытов, так называемой выборки результатов измерений из их генеральной совокупности. [c.438]

Если на специальной миллиметровой бумаге по оси ординат отложить процентные доли всех результатов измерений, значения которых ниже предельного значения I/ , а по оси абсцисс — значения уи то при нормальном распределении вероятностей от 10 до 90% полученных точек расположатся на прямой. При построении зависимости в логарифмических координатах прямую получают в сл(учае нормального логарифмического распределения. Угол подъ ема прямой тем больше, чем меньше ст (колоколообразная кривая с острой вершиной). Значению 50% на оси ординат соответствует на оси абсцисс величина р. генеральной совокупности, т. е. ее среднее значение. Точкам перегиба колоколообразной кривой при р, 1сг соответствуют суммарные частоты 15,9 и 84,1%. Исходя из этих значений ординат, на оси абсцисс получают отрезок т. е. 2а, и отсюда легко находят а — стандартное отклонение [c.445]

Значение Ахз составляет только /в от Дла прежде всего потому, что па = 8 и / = 7, но также и вследствие малого значения s,a. Эта величина и ее разброс около Хз явно не совпадают с si и S2 и их разбросом около Х] и Х2-Из третьей серии значений находят взаимосвязь между числом определений п, оценочной величиной — медианой х и средним арифметическим х для величины JJ, генеральной оовокупносги, а также диапазоном значений J и стандартным отклонением s для стандартного отклонения а гениальной совокупности. Кроме того, устанавливают зависимость величин п, t(P, f) я доверительного интервала Дл от п (табл. Д.40). [c.470]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология