Таблицы умножения групп

Рис. 2. Ортогональные преобразования правильного треугольника и таблица умножения группы симметрии 3/ге

Таблица умножения группы [c.331]

Очевидно, что единичным элементом является О]. Пользуясь таким определением умножения, можно определить таблицу умножения группы на пересечении строк и столбцов стоит элемент Х=А-В [c.16]

Очевидно, что таблица умножения группы Сз (2.2) выполняется. [c.20]

Доказать, что перечисленные выше вращения (Р) образуют неабелеву группу, и построить таблицу умножения группы. [c.122]

Любой набор чисел, подчиняющихся таблице умножения группы, является представлением группы [2]. В наших примерах эти числа показывают, как определенные характеристики молекулы ведут себя при выполнении операций симметрии данной группы. Операции симметрии могут применяться к различным характеристикам или описаниям молекулы. Конкретное описание, к которому применяются операции симметрии, образует базис для представления группы. Вообще говоря, любой набор алгебраических функций или векторов может выступать в роли базиса для представления группы [I]. Наш выбор подходящего базиса целиком зависит от характера данной задачи, которую надо решить. После выбора базиса цель состоит в том, чтобы построить матрицы, которые преобразуют базис или его отдельные компоненты согласно каждой из операций симметрии. Наиболее употребляемые в химических задачах базисные наборы суммированы в разд. 4.11. Некоторые из них будут использованы в следующем обсуждении. [c.195]

Вернемся снова к таблице умножения группы 8(3) (см. табл. 7.А1). Из рассмотрения ее нижнего правого угла видно, что операции с длиной цикла 3 можно получить как произведение двух операций, которые представляют собой просто перестановки двух объектов. Например [c.162]

Любая совокупность элементов, которые перемножаются согласно таблице умножения групп, образует, как говорят, представление группы Г. Для вышеприведенной группы мы непосредственно видим, что совокупности чисел, приписываемых различным элементам, следующим образом образуют представления группы [c.237]

Полученные таким образом неприводимые представления группы S q) q) необязательно все согласуются с таблицей умножения группы З (я). В частности, допустимые представления должны удовлетворять тому требованию, что характер, соответствующий представлению Е, 1 ), если (/ , 11 ) входит в группу (я)(я), должен равняться произведению ехр (щ- ) на размерность представления. Поэтому таблицы характеров этих групп в отличие от таблиц характеров точечных групп не являются квадратными. [c.110]

На пересечении четырех первых строк с четырьмя первыми столбцами таблицы умножения группы 4 (табл. А. 1) мы находим только первые четыре элемента первой строки и первого столбца. Совокупность Е, С4, Сг, С4 образует группу. [c.334]

Таблица умножения группы для двух наборов представлений [c.73]

Это легко проверить, пользуясь таблицей умножения группы Сза (см. табл. 3.1). [c.46]

Для построения таблиц умножения элементов интересующих нас групп рассмотрим последовательное проведение двух операций симметрии. Так, при операциях симметрии точечной группы С2и атом серы в молекуле 5р4 (рис. 5.1) сохраняет центральное положение, а атомы Р меняются местами согласно табл. 5.1. Из этой таблицы видно, что последовательное выполнение операций Сг и а дает такой же результат, как операция о , т. е. 2av = av. Аналогичным образом можно получить всю таблицу умножения группы Сги (табл. 5.2). [c.169]

Операции симметрии и обратные им операции можно найти в таблицах умножения групп. Эти таблицы состоят из проиведений элементов групп. Примером подобной таблицы для точечной группы С2 является табл. 4-1. Она построена следующим образом каждый элемент группы, т.е. операция симметрии, выписан без повторений в верхней строке и в левом столбце таблицы. Произведение двух элементов образуется так первый элемент берется из строки, а второй из столбца, причем порядок применения этих элементов должен строго соблюдаться. Результат находится на пересечении соответствующего столбца и строки. Любой из этих результатов является операцией симметрии, также принадлежащей к точечной группе Действи- [c.185]

ЛТоскольку матрицы можно использовать для описания операций симметрии, набор матриц, отражающих все операции симметрии точечной группы, будет представлением этой группы. Более того, если набор матриц образует представление группы симметрии, то он будет подчиняться всем правилам, характерным для математической группы. Для этого набора будет также справедлива таблица умножения группы. Возьмем опять в качестве примера молекулу ЗОзОз- Эта молекула принадлежит к точечной группе С2 , и некоторые из ее операций симметрии уже отмечались на рис. 4-2. Чтобы построить соответствующие матрицы, можно воспользоваться тем же методом, который уже применялся нами для вектора. Запишем исходные положения ядер молекулы в верхней строке, а положения ядер после применения операции симметрии в левом столбце. [c.192]

Если А представляет одну операцию симметрии группы, г В — другую операцию той же группы, то произведение Ау,В=Р также является операцией группы. Произведение Ау,В=Р означает, что выполнение операции В, а затем операции А эквивалентно операции Р. В общем случае А ХВфВ ХА, т. е. последовательное выполнение операций В и А не обязательно эквивалентно выполнению операции А, а затем операции В. Другими словами, А не заменяет В. Если А Х.В = =В Х.А, то умножение коммутативно. Для данной молекулы различные произведения могут быть суммированы в таблицу умножения группы. [c.415]

Рассмотрим молекулу Н2О (рис. 13.2, а), которая имеет четыре операции симметрии Е, С , а,, и а. Операция одной вертикальной зеркальной плоскости (сг-о) с последующей операцией другой вертикальной зеркальной плоскости (а ) эквивалентна операции второго порядка, т. е. X(Уv = . Аналогично последовательные операции и Ov дают такой же результат, как и операция а (т. е. а ХС = = а ). Каждая из четырех операций есть ее собственная инверсия (например, avXov=E). Эти произведения операций для молекулы воды приведены в табл. 13.2 как таблица умножения групп, которая показывает (поскольку никакие дополнительные операции не производятся), что эти четыре операции симметрии образуют группу и что они коммутативны. Точечная группа обозначается символом Шёнфлиса 2v. Индекс 2 означает не только то, что главной осью собственного вращения (С ) является Сг, но также и то, что имеются две взаимно перпендикулярные вертикальные зеркальные плоскости, которые содержат ось Сг. [c.417]

Операции, входящие в один класс, — это операции одного типа. Рассмотрим, например, произведение операций С4С2С4. Согласно таблице умножения группы 4 (табл. А,1), оно равно Сг. Это равенство можно интерпретировать геометрически. Возьмем точку М (фиг. А.4). В результате операции С она переходит в точку М, в результате операции С точка М [c.335]

Неприводимое представление — такое представление группы, для которого не существует никакого алгебраического преобразования, способного привести к новым представлениям группы с матрицами, имеющими меньшую размерность (стр. 31, 32). Рперация симметрии — такая операция, кото- рая после ее применения к какому-либо предмету приводит к новой его ориентации в пространстве, неотличимой от исходной и совмещаемой с ней (стр. 6, 7). Представление группы — любое множество квадратных матриц, поставленных в соответствие элементам группы и подчиняющихся таблице умножения группы (стр. 30), Приводимое представление — такое представление группы, из которого можно путем алгебраического преобразования получить новые представления с матрицами цень-шей размерности (стр. 32). [c.121]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология