Таблица умножения

Конгруэнция (III. 104) определяет поле. В этом поле содержится пять различных элементов О, 1, 2, 3, 4. Составим таблицу сложения и таблицу умножения в этом поле [c.104]

Современную периодическую систему иногда называют путевой картой химиков , химической энциклопедией на одной странице , алфавитом и таблицей умножения химиков . Авторы учебника называют ее просто важнейшей схемой классификации материи . [c.573]

Постройте таблицу умножения, чтобы показать, что четыре операции Р 2 l/ составляют группу. [c.406]

Таблица 4.1. Таблица умножения элементов группы [c.191]

Операторы Ь ] удовлетворяют тем же перестановочным соотнощениям, что и L . Действие оператора К3 на волновую функцию эквивалентно соответствующему преобразованию перестановки параметров координат атомов водорода. Таблица умножения для преобразования подстановки сохраняет свой вид (см. табл. 4.1). [c.193]

Таблица 4.2. Таблица умножения операторов К/ группы Сзу [c.194]

Таблица 4.3. Таблица умножения операторов К/ для изоморфных групп ОиТ [c.194]

Таблица умножения для операторов К,- произвольной точечной группы симметрии (см. табл. 4.1 и 43) может быть охарактеризована соотно-щением [c.195]

Очевидно, что единичным элементом является О]. Пользуясь таким определением умножения, можно определить таблицу умножения группы на пересечении строк и столбцов стоит элемент Х=А-В [c.16]

Произведение элементов этой группы определяется как последовательное выполнение преобразований, пространства. Таблица умножения для этой группы симметрии имеет вид (на пересечении столбцов и строк -стоит элемент Х=А-В) [c.18]

Из таблицы умножения легко получить разбиение элементов этой группы на классы. Элемент Е образует класс из одного элемента, другой класс составляют С+ и С- третий класс образуют а (fu [c.19]

Очевидно, что таблица умножения группы Сз (2.2) выполняется. [c.20]

Подставляя значения углов ф =—120° для преобразования Сз+ и ф= 120° для Сз в матрицу (2.4), а также учитывая, что при операции симметрии оГц мы имеем —X, использованием таблицы умножения [c.21]

Алфавит и таблица умножения — важные вещи, без них и шагу не сделаешь в изучении литературы и математики. Но далеко ли пойдет тот, кто удовлетворится только знанием алфавита и таблицы умножения Так и в органической химии формулы — наш язык, на этом языке раскрывает свое богатое содержание органическая химия. [c.98]

Доказать, что перечисленные выше вращения (Р) образуют неабелеву группу, и построить таблицу умножения группы. [c.122]

Если теперь осуществить всевозможные вращения, взятые из (Р) по два, то можно составить таблицу умножения всех произведений (табл. 4). Такие таблицы называются таблицами Кэли. [c.123]

Для построения таблицы умножения элементов группы рассмотрим последовательное проведение двух операций симметрии. Так, при операциях симметрии точечной группы в молекуле 5р4 (рис. 43) атомы фтора изменяют положения согласно табл. 14 в отличие от атома серы. [c.109]

Теплота сгорания - величина аддитивная, поэтому если известен углеводородный состав (например, природного или попутного газа), теплоту сгорания можно найти как сумму теплот сгорания этих углеводородов (берутся по справочным таблицам), умноженных на их объемные доли в смеси. Ниже приведены значения теплот сгорания для наиболее употребляемых видов топлив [c.164]

Таблица 15 Таблица умножения для группы симметрии 2v [c.110]

Укажите, какими значениями —точными или приближенными— выражается 1) число миллилитров в 1 л 2) емкость колбы в миллилитрах 3) численное значение газовой постоянной 4) произведение 2x2, найденное по таблице умножения 5) произведение 2 2, вычисленное при помощи таблицы логарифмов 6) 5 г некоторого вещества 7) постоянная Авогадро 8) lg 10= 1 9) число научных сотрудников в лаборатории 10) число научных сотрудников в стране [c.18]

По аналогии с табл. 4-1 в табл. 4-2 приводится таблица умножения для точечной группы Здесь вводится новое обозначение-возведение в квадрат [c.185]

Таблица 4-1. Таблица умножения для точечной группы Сз [c.185]

Таблица 4-2. Таблица умножения для точечной группы С3 [c.185]

Число элементов в группе называется порядком группы для его обозначения обычно используется символ А. Таблицы умножения для групп показывают, что Л = 4 для точечной группы и Л = 6 для Сз . [c.186]

Такая операция называется преобразованием подобия. Другими словами, В является результатом преобразования подобия для А с помощью Z, т.е. /4 и В сопряжены. Обратная операция может быть применена с помощью таблицы умножения и правила 4, упомянутого выше [c.186]

Любой набор чисел, подчиняющихся таблице умножения группы, является представлением группы [2]. В наших примерах эти числа показывают, как определенные характеристики молекулы ведут себя при выполнении операций симметрии данной группы. Операции симметрии могут применяться к различным характеристикам или описаниям молекулы. Конкретное описание, к которому применяются операции симметрии, образует базис для представления группы. Вообще говоря, любой набор алгебраических функций или векторов может выступать в роли базиса для представления группы [I]. Наш выбор подходящего базиса целиком зависит от характера данной задачи, которую надо решить. После выбора базиса цель состоит в том, чтобы построить матрицы, которые преобразуют базис или его отдельные компоненты согласно каждой из операций симметрии. Наиболее употребляемые в химических задачах базисные наборы суммированы в разд. 4.11. Некоторые из них будут использованы в следующем обсуждении. [c.195]

Таблица умножения для группы Сги [c.415]

Таблица 7.А1. Таблица умножения элементов группы 8(3)

Вернемся снова к таблице умножения группы 8(3) (см. табл. 7.А1). Из рассмотрения ее нижнего правого угла видно, что операции с длиной цикла 3 можно получить как произведение двух операций, которые представляют собой просто перестановки двух объектов. Например [c.162]

Здесь, согаасно обычным соотношениям квантовой механики, полагают, что операторы действуют последовательно на функпли в порядке их расположения справа налево. Исходя из этого составляют таблицу умножения операторов симметрии (табл. 4.1). [c.191]

Для построения таблиц умножения элементов интересующих нас групп рассмотрим последовательное проведение двух операций симметрии. Так, при операциях симметрии точечной группы С2и атом серы в молекуле 5р4 (рис. 5.1) сохраняет центральное положение, а атомы Р меняются местами согласно табл. 5.1. Из этой таблицы видно, что последовательное выполнение операций Сг и а дает такой же результат, как операция о , т. е. 2av = av. Аналогичным образом можно получить всю таблицу умножения группы Сги (табл. 5.2). [c.169]

Операции симметрии и обратные им операции можно найти в таблицах умножения групп. Эти таблицы состоят из проиведений элементов групп. Примером подобной таблицы для точечной группы С2 является табл. 4-1. Она построена следующим образом каждый элемент группы, т.е. операция симметрии, выписан без повторений в верхней строке и в левом столбце таблицы. Произведение двух элементов образуется так первый элемент берется из строки, а второй из столбца, причем порядок применения этих элементов должен строго соблюдаться. Результат находится на пересечении соответствующего столбца и строки. Любой из этих результатов является операцией симметрии, также принадлежащей к точечной группе Действи- [c.185]

ЛТоскольку матрицы можно использовать для описания операций симметрии, набор матриц, отражающих все операции симметрии точечной группы, будет представлением этой группы. Более того, если набор матриц образует представление группы симметрии, то он будет подчиняться всем правилам, характерным для математической группы. Для этого набора будет также справедлива таблица умножения группы. Возьмем опять в качестве примера молекулу ЗОзОз- Эта молекула принадлежит к точечной группе С2 , и некоторые из ее операций симметрии уже отмечались на рис. 4-2. Чтобы построить соответствующие матрицы, можно воспользоваться тем же методом, который уже применялся нами для вектора. Запишем исходные положения ядер молекулы в верхней строке, а положения ядер после применения операции симметрии в левом столбце. [c.192]

Если А представляет одну операцию симметрии группы, г В — другую операцию той же группы, то произведение Ау,В=Р также является операцией группы. Произведение Ау,В=Р означает, что выполнение операции В, а затем операции А эквивалентно операции Р. В общем случае А ХВфВ ХА, т. е. последовательное выполнение операций В и А не обязательно эквивалентно выполнению операции А, а затем операции В. Другими словами, А не заменяет В. Если А Х.В = =В Х.А, то умножение коммутативно. Для данной молекулы различные произведения могут быть суммированы в таблицу умножения группы. [c.415]

Рассмотрим молекулу Н2О (рис. 13.2, а), которая имеет четыре операции симметрии Е, С , а,, и а. Операция одной вертикальной зеркальной плоскости (сг-о) с последующей операцией другой вертикальной зеркальной плоскости (а ) эквивалентна операции второго порядка, т. е. X(Уv = . Аналогично последовательные операции и Ov дают такой же результат, как и операция а (т. е. а ХС = = а ). Каждая из четырех операций есть ее собственная инверсия (например, avXov=E). Эти произведения операций для молекулы воды приведены в табл. 13.2 как таблица умножения групп, которая показывает (поскольку никакие дополнительные операции не производятся), что эти четыре операции симметрии образуют группу и что они коммутативны. Точечная группа обозначается символом Шёнфлиса 2v. Индекс 2 означает не только то, что главной осью собственного вращения (С ) является Сг, но также и то, что имеются две взаимно перпендикулярные вертикальные зеркальные плоскости, которые содержат ось Сг. [c.417]

Вообще говоря, теория групп представляет собой раздел математики, начало развития которого было положено в 1832 г. Эваристом Галуа в его исследованиях, посвященных решениям алгебраических уравнений. Согласно общему определению, под группой понимается совокупность (набор) произвольных математических элементов, связанных между собой некоторым законом сочетания, который обеспечивает свойства ассоциативности комбинаций [т. е. условие, что А ВС) — АВ)С и т. д.] и замкнутость набора (т. е. условие, что все члены данного набора могут быть получены комбинированием других членов этого набора). Закон сочетания элементов условно называется умножением. Согласно такому закону, для элементов группы можно построить таблицу умножения. Набор матриц, которые подчиняются правилам той же таблицы умножения, что и элементы группы, называется матричным представлением (или просто представлением, хотя под этим всегда понимается матричное представление). Простейшие возможные наборы представлений называются неприводимьши представлениями группы. Характер элемента в некотором представлении — это след матрицы (или ее итур — сумма диагональных элементов), соответствующей данному элементу в рассматриваемом представ- [c.57]

Используя любой способ записи и любые правила умножения, можно построить таблицу умнол ения для симметрической группы. Таблица умножения для группы 8(3) показана в табл. 7.А1. На ее примере можно проследить все особенности [c.161]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология