Преобразования проективные

Рис. 2.76. Равноконтрастный цветовой график МКО 1960 г., представляющий проективное преобразование цветового графика х, у МКО 1931 г.

При изучении проективных преобразований были установлены многочисленные геометрические свойства графиков цветности [716]. Многие из этих геометрических свойств имеют непосредственное отношение к психофизическому понятию цвета и зачастую помогают уяснению его смысла. Примером может служить, часто кажущаяся озадачивающей интерпретация понятия точки цветности, выходящей за пределы цветового охвата, ограниченного сторонами цветового треугольника (рис. 1.15). С помощью проективных преобразований можно легко показать, что подобное расположение точки цветности не имеет никакого психофизического значения, пока речь идет о реальных цветах. Можно подобрать такие преобразования, которые превращают внутренние цветности во внешние , и наоборот. Можно определить условия, позволяющие заранее выяснять, сохранит ли данное проективное преобразование все внутренние точки в пределах цветового треугольника [712]. [c.79]

Проективные преобразования. Наиболее трудными для расчета являются системы с неплоской схемой соединений, когда имеются самопересечения ветвей без образования узлов. Превращение ее в плоскую с помощью линейных преобразований в принципе возможно лишь за счет устранения лишних ветвей, когда это удается по условиям постановки задачи. Однако иногда решение вопроса о том, является ли вообще схема неплоской, осложняется ее внешним видом и потому приводит к недоразумениям. Известное упрощение данного вопроса дают топологические преобразования схем, которые при сохранении прямолинейности ветвей являются проективными. [c.87]

Итак, мы убедились, что линейному (или аффинному) преобразованию трехмерного цветового пространства соответствует проективное преобразование графика цветности. Справедливо также и обратное утверждение проективному преобразованию графика цветности соответствует аффинное преобразование трехмерного цветового пространства. Эти два типа преобразований весьма существенно отличаются один от другого типом искажений пространства или плоскости, соответственно с которыми может быть связано их существование. При проективном преобразовании [c.78]

Рассмотренное свойство проективных преобразований не присуще аффинным преобразованиям (1.11), поскольку в их выражении отсутствуют величины, записываемые в виде отношения. Точки, расположенные на бесконечности, на ней же и остаются независимо от того, какие мы выберем коэффициенты преобразования соответственно точки, лежащие в конечных (финитных) областях пространства, после преобразования всегда будут расположены в таких же областях. Однако имеется свойство, общее для аффинных и проективных преобразований при любом из них прямые линии переходят в прямые линии. [c.79]

В следующей главе этой книги (см. раздел о равноконтрастных графиках цветности) мы познакомимся с проективными преобразованиями, специально подбираемыми так, чтобы построить графики цветности, на которых кратчайшее расстояние между двумя точками было бы прямо пропорционально воспринимаемому различию в ощущении цветности с постоянным коэффициентом пропорциональности, независимо от расположения точек на графике. [c.79]

Коэффициенты проективного преобразования [уравнение (2.58) , приводящие к приблизительно равноконтрастному распределению цветности [c.336]

При анализе парагенезисов во многих случаях можно ограничиться элементарными сведениями о треугольниках состава и методах их построения и чтения на основе принцип 1 барицентрических проекций. Достаточные сведения об этом даются в многочисленных учебниках и руководствах, посвященных физической химии и правилу фаз, физико-химической петрографии (например, А, Н. Заварицкий, 1950), физико-химическому анализу, силикатной технологии и пр. Но при более углубленных исследованиях парагенетических отношений минералов возникает потребность в более общих методах преобразования диаграмм составов, в изображении многокомпонентных составов и в графическом решении более сложных задач с составами. В этих случаях очень полезными оказываются принципы проективной геометрии. [c.42]

ИЗОБРАЖЕНИЕ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СОСТАВОВ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ ТОЧЕК [c.43]

Если ряд точек А В С. .. получен из ряда АВС посредством нескольких последующих перспективных преобразований, с возможным последующим перемещением каждого из рядов как целого, то говорят о проективном соответствии двух этих рядов точек или о проективном преобразовании одного ряда в другой. [c.46]

Посмотрим теперь, как изменятся свойства барицентрической диаграммы составов после проективного ее преобразования. [c.46]

После проективного преобразования диаграммы вместо точек A,B,M,N получим ряд точек Л, В, М, N, ... (фиг. 10), в котором единичная [c.47]

Рассмотрим проективное преобразование ряда двухкомпонентных составов, при котором координатная точка В становится бесконечно удаленной точкой в со. В исходной барицентрической проекции единичная точка - (1,1) пусть расположена в сере- [c.50]

ТРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ СОСТАВОВ И ИХ ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [c.52]

При помощи лучей, исходящих из одной точки пространства, будем проектировать точки данного треугольника составов Ti на какую-либо другую произвольную плоскость. Следы этих лучей на плоскости проекции дадут новый треугольник составов Гг, находящийся в перспективном соответствии с исходным треугольником Ti. Если мы перемещением треугольника Ti выведем его из перспективного положения с Гь то тем не менее между ними сохранится проективное (или коллинеарное) соответствие. В частности, если перспективное преобразование Гх в Га производилось при помощи пучка параллельных прямых (т. е. прямых, пересекающихся в бесконечно удаленной точке), то преобразование называется а ф и н н о-перспективным, а после перемещения треугольников Тх и Гг между ними сохраняется афи иное соответствие. При любом проективном преобразовании прямая линия всегда преобразуется в прямую же. [c.54]

Посредством проективного преобразования любого треугольника составов, с изменением или без изменения единичных количеств компонентов,, могут быть получены все виды барицентрических диаграмм. [c.56]

В общем случае проективного преобразования (посредством проектирования из конечной точки пространства) одна или две координатные точки барицентрической диаграммы могут превратиться в бесконечно удаленные точки, причем для восстановления барицентрических свойств диаграммы необходимо изменение единичных количеств компонентов. [c.57]

Возможно, конечно, проективное преобразование без превращения координатных точек в бесконечные, но с изменением [c.57]

При проективном преобразовании треугольника составов одна или две его вершины могут превратиться в бесконечно удаленные точки. Выше, при рассмотрении двухкомпонентпых составов, мы видели, что удаление одной из координатных точек в бесконечность равносильно переходу к декартовым координатам. При удалении в бесконечность двух вершин А и В треугольника составов мы переходим к декартовой системе координат на плоскости (фиг. 22), к так называемой концентрационной диаграмме. Угол между двумя осями координат может быть произвольным, но при обычном пользовании миллиметровой бумагой он, конечно, [c.58]

Метод разбивки сетки Мебиуса может быть полезным в том случае, когда проективному преобразованию подвергается диаграмма с большим количеством точек. Пусть, например, сопоставляется равносторонний треугольник составов ЛВС с равнобедренным прямоугольным треугольником составов А В С (фиг. 27), причем на второй диаграмме (правая часть чертежа) единичное количество компонента В вдвое больше, чем на первой. Поэтому в треугольнике А В С единичной точке N треугольника ЛВС будет соответствовать состав Ы (А В С), не лежащий на пересечении медиан. [c.63]

Второй случай, при котором абсолютная поверхность представляет собой двойную не бесконечно удаленную плоскость, может быть, собственно говоря, сведен к первому путем проективного преобразования. Мы предпочитаем, однако, провести его непосредственное исследование, так как вырождения часто затемняют многие существенные обстоятельства, явственно выступающие при общем рассмотрении. [c.38]

Рассмотрим, например, к примеру схему двухтрубной тепловой сети с двумя источниками питания (рис. 6.8. а). Примененное здесь кольцевание и наличие двух магистральных перемычек создают ложное впечатление о том. что в схеме есть ряд самопересечений и она является неплоской. В действительности же. если пространственное изображение этой схемы, исключая потребитель А, подвергнуть проективному преобразованию на ириизвильную ipaHb, например на грань 13—15—16—14, то получим плоскую схему (рис. 6.8, б). Она станет неплоской в том случае, когда потребители типа А будут подключены к магистральным перемычкам, как и показано на рисунке. При этом ветвь А не лежит в плоскости граней, что приводит к самопересечениям. Устранить такую ветвь и сделать схему плоской можно только в том случае, если задать на ней расход и давление в одной из ее конечных узлов. [c.89]

Джадд нашел, что данные такого рода, полученные до 1935 г., находятся в хорошем соответствии (с точностью до множителя, равного 2) с их представлением на плоском графике [317]. Он предложил проективное преобразование типа [c.334]

Равноконтрастные цветовые графики, основанные на различных проективных преобразованиях, характеризуются различными наборами коэффициентов преобразования (сц, С1 ,. . ., Сз ). В табл. 2.18 представлены коэффициенты для ряда равноконтрастных цветовых графиков, приведенных различными авторами. Особое внимание следует уделить равноконтрастному цветовому графику, разработанному Мак Адамом [397]. В 1960 г. этот график был принят МКО в качестве врелхенного стандартного равноконтрастного цветового графика [101]. Его называют равноконтрастным цветовым графиком МКО 1960 г. В соответствии с табл. 2.18 уравнения преобразования, приводяш ие к этому графику, записываются в виде [c.335]

Равноконтрастный цветовой график МКО 1960 г. и все другие проективные преобразования цветового графика МКО 1931 г. предназначены для прогнозирования воспринимаемых различий в цветности между парами равносветлотных стимулов. Как было показано выше, с помощью таких графиков это можно сделать только приблизительно. Другие нелинейные преобразования цветовых графиков х, у) МКО 1931 г., приводяпще к криволинейным равноконтрастным цветовым графикам, в основном лучше проективных преобразований, однако менее удобны в работе, в то же время оба типа равноконтрастных цветовых графиков применимы только к стимулам с равной светлотой и относительно высоким уровнем яркости, рассматриваемым в полях зрения не менее 1°. [c.352]

На рис. 1Х-33 приведена проективно-преобразованная номо-рамма из выравненных точек для определения А при расчете а т конденсирующихся паров к стенке [46]. В основу номограммы оложена формула (1Х-29). Согласно формулам для расчета а [Х-10)—(1Х-14), разность температур между паром и стенкой входит [c.503]

Фиг. 10. Барицентрическая проекция состава М системы А — В и ее проективное преобразование ABMN) = (A B M N ).

Мы будем рассматривать все диаграммы составов как барицентрические. Поэтому можно сказать, что проективное преобразование ряда точек, изображающих составы, равносильно изменению единичных количеств компонен-т о в, так как только после изменения единичных количеств компонентов мы сможем рассматривать преобразованный ряд как барицентрический. Обратно, для преобразования проекций составов соответственноизменению единичных количеств компонентов мы можем прибегнуть к проективному преобразованию. [c.48]

В общем случае проективного преобразования, напротив, бесконечно удаленная точка может перейти в конечную и обратно. В частности, это видно из того, что, поскольку для бесконечно удаленной точки М простое отношение (АВМ) = —1, то двойное отношение (ABMN), служащее проективной координатой, для бесконечно удаленной точки принимает значение (ABMN) = (АВМ) (ABN) —1 (ABN). При проективном преобразовании [c.49]

В общем случае проективного преобразовагшя параллельность прямых не сохраняется. Любая конечная точка исходной плоскости или же совокупность точек любой одной прямой при проективном преобразовании могут быть сделаны бесконечно удаленными точками преобразованной плоскости. Обратно, любая бесконечно удаленная точка может быть преобразована в конечную, а совокупность бесконечно удаленных точек (бесконечно удаленная прямая) может быть преобразована в произвольно расположенную конечную прямую. Сложное отношение четырех точек одной прямой при проективном преобразовании сохраняется, являясь инвариантом проективного преобразования. Единичная точка треугольника составов своего расположения на пересечении медиан при проективном преобразовании не сохраняет. Как доказывается в проективной геометрии, для установления [c.54]

Теперь любую точку М (лежащую внутри или вне треугольника АВС) мы можем спроектировать сначала лучом из точки С на прямую Л В, получая точку гпс, а затем лучом из точки В на прямую АС, получая точку тв- Сложное отношение четырех точек АСшоПв) или равное ему сложное отношение четырех лучей ВА ВС ВМ ВЛ/) (см. стр. 46), с одной стороны, и сложное отношение четырех точек АВгпсПс), равное сложному отношению четырех лучей (СЛ СВ СМ СЫ) — с другой, представляют собою две проективные координаты, которыми может быть определено положение любой точки М плоскости. При любом проективном преобразовании величина этих проективных координат остается постоянной. Поэтому если плоскость (фиг. 18) подвергнется проективному преобразованию и на преобразованной плоскости нам будет дано положение трех координатных точек Л, в, С и единичной точки Л/, то для любой точки М мы сможем определить указанным построением величину двух проективных координат точки М и при помощи их найти положение соответствующей точки М на преобразованной плоскости, опираясь на расположение данных нам координатных и единичных точек. [c.55]

При проективном преобразовании барицентрического треугольника составов единичная точка в общем случае теряет свое расположение в центре тяжести треугольника (в точке пересечения медиан), т. е. диаграмма перестает быть барицентрической. Но мы можем соответствующим образом изменить единичные количества компонентов так, чтобы полученная при этом новая единичная точка расположилась бы в центре тяжести треугольника, и в таком случае преобразованная диаграмма может рассматриваться как барицентрическая. Такого рода изменение единичных количеств компонентов было выше подробнее рассмотрено для двухкомнонентных составов (см. стр. 47). Это изменение единичных количеств всегда необходимо производить, так как чтение состава при помощи двойных отношений неудобно. [c.55]

Используя эту теорему, мы можем утверждать, что если каждой точке данной диаграммы составов соответствует один определенный состав, причем любой состав, производный из двух данных (т. е. получающийся сложением или вычитанием двух данных составов в определенном соотношении — см. стр. 73), изображается точкой на прямой, соединяющей два исходных состава, то такая диаграмма может рассматриваться как барицентрическая, т. е. на ней могут быть выбраны три координатные точки, изображающие три состава, принимаемые за основные (однокомпонентные), и определены единичные количества этих компонентов. Проекция любого другого состава может быть прочтена на этой диаграмме посредством правил барицентрических проекций, с учетом полученных единичных количеств компонентов. Это заключение основывается на том, что раз каждой точке данной диаграммы соответствует один определенный состав, а каждые три линейно зависимые состава изображаются точками одной прямой, то, следовательно, данная диаграмма коллинеарна с любой барицентрической диаграммой, с теми же тремя основными комг[онентами, а следовательно, может быть получена ее проективным преобразованием. Но в таком случае данную диаграмму всегда можно превратить в барицентрическую одним изменением единичных количеств компонентов. [c.56]

Для сопоставления двух трехкомпонентных диаграмм составов, имеющих общие компоненты, но отличающихся расположением координатных точек и единичными количествами компонентов, можно применить графические методы проективного преобразования одной из диаграмм для перенесения ее точек на вторую диаграмму. Графические методы проективного преобразования широко применяются и для трансформации аэрофотоснимков при аэросъемке. Приведем здесь три способа, применяемые в аэрофотосъемке (Гнршвальд, 1935, стр. 150—153), которые могут оказаться полезными н для преобразования диаграмм составов. [c.59]

По соображениям, которые сделаются ясными из последующего излон ения, я пришел к следующему обобщению этого понятия. Я буду называть пространство аффинной связности, заданное коэффициентами существующего и нем параллельного перенесения, к -кратно проективным, если его геодезические линии выражаются в соответствующей координатной системе системой уравнений, среди которых имеется к линейных. Такое /с-кратно проективное пространство п измерений мы будем обозначать Р . Это обобщение представляется тем более целесообразным, что свойство, которым определяется /с-кратно проективное пространство, остается инвариантным относительно линейного преобразования координат (относительно коллииеа-ции). В соответствии с этим мы будем называть координатную систему, в которой осуществляется указанное выше свойство пространства Р , проективной. Обыкновенное [c.23]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология