Граничные условия в вариационном исчислении

В задачах вариационного исчисления (стр. 202) недостаток граничных условий восполнялся условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно иолу ить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим [c.339]

Подробнее вариационные задачи с ограничениями рассмотрены ниже (стр. 220), а сейчас остановимся еще на одном важном ус- ловии правильной постановки оптимальной задачи в терминах вариационного исчисления — задании граничных условий для искомых функций. [c.205]

В задачах вариационного исчисления (стр. 214) недостаток граничных условий восполняется условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий Для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно получить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим порядок вывода этих условий на примере задачи о быстродействии для процесса, описываемого системой трех уравнений, что соответствует изображению фазовой траектории в трехмерном пространстве переменных х, х2 и х3. [c.330]

Этот метод является более мощной формой классического вариационного исчисления. Решение задачи определяется с помощью 2т дифференциальных уравнений, решаемых одновременно, при т граничных условиях при =0 и т граничных условиях при 1—Т. Ре шение в общем случае может быть найдено только с помощью последовательного приближения. Возможны два пути приближения. [c.326]

Метод вариационного исчисления — используется в случаях, когда критерии оптимальности представляются в виде функционалов, решением которых являются искомые функции. Метод позволяет свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (дифференциальных уравнений Эйлера) с граничными условиями, число которых равно числу неизвестных функций. Значение каждой функции находят в результате интегрирования данной системы. [c.175]

Недостатки этого метода проб и ошибок присущи любому численному методу решения граничных задач, необязательно связанных с вариационным исчислением. Во-первых, возникает проблема выбора подходящего приближенного уравнения. В приведенном выше примере использована только одна из многих возможностей. Во-вторых, нужно правильно выбрать величину шага Д. Оба эти вопроса тесно связаны между собой, так как численное решение дифференциальных уравнений всегда требует исследования сходимости и устойчивости. Третья проблема состоит в отыскании такого способа получения исходного приближения для начального значения производной, которое существенно уменьшало бы число проб. Четвертая проблема связана с многомерными задачами, когда примеры, аналогичные приведенному выше, приходится решать для многих переменных. В этом случае нередко оказывается, что при некотором выборе начальных значений производных граничные условия удовлетворяются лишь для части переменных. Чтобы удовлетворить всем граничным условиям, могут потребоваться весьма трудоемкие вычисления. Кроме того, решение, даже удовлетворяющее граничным условиям, может быть не единственным. [c.110]

Интересно отметить, что метод динамического программирования приводит к задаче с начальными условиями (задаче Коши) для дифференциального уравнения в частных производных. Классические же методы вариационного исчисления дают и двухточечную граничную задачу для уравнения Эйлера—Лагранжа. Вообще говоря, граничная задача решается с большими трудностями, чем задача с начальными условиями. [c.132]

Для полной справедливости по отношению к вариационному исчислению отметим, что условия Эрдмана излома экстремалей дают решение задачи об определении излома или разрыва кривой, удовлетворяющей некоторым граничным условиям. (Более общая формулировка уравнения Эйлера — Лагранжа позволяет учесть и наличие условий типа неравенств. Подобные задачи рассмотрены в учебнике М. Лаврентьева и Л, Люстерника Вариационное исчисление , 1935 г. —Прим. перев.) [c.105]

В предыдущем параграфе рассматривалась задача оптимального управления ректификационной колонной для упрощенных вариантов модели процесса. Исследуем более полные модели процесса, особенности которых заключаются в следующем 1) учитываются потоки в жидкой фазе, вводимые в колонну 2) рассматриваются более точные краевые условия 3) учитываются связи между параметрами, характеризующими потоки жидкости и пара в колонне, кубе и дефлегматоре. Для получения необходимых условий оптимальности (условий стационарности) используются методы классического вариационного исчисления [81]. Однако рассматриваемые в работе [81 ] задачи не включают модель процесса ректификацпи, а также отличаются видом оптимизируемого функционала и тем, что одни и те же управления являются как граничными, так [c.165]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология