Принцип максимума

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников , который получил название принципа максимума. [c.320]

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ [c.393]

Формулировка принципа максимума на примере задач о быстродействии [c.322]

Для оптимизации процессов с распределенными параметрами предпочтительнее все же оказывается принцип максимума, которому посвящена следующая глава. Однако всегда нужно учитывать воз-мо кность аппроксимации непрерывного процесса дискретным многостадийным процессом и пользоваться указанной возмо кностью для решения оптимальных задач невысокой размерности. Это обусловлено 1см, что метод динамического программирования представляет в распоряжение исследователя весьма удобную процедуру оптимизации многостадийных процессов, которая сравнительно легко программируется на вычислительных ма1[шнах. [c.319]

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ [c.402]

В книге в доступной форме изложены основы методом оптимизации (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное и нелинейное программирование) с иллюстрацией их на объектах химической технологии. Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев о[1ти-мальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи, связанные с оптимизацией конкретных процессов. [c.4]

Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии. [c.34]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Для получения численных результатов важное место отводится нелинейному программированию в решении оптимальных задач такими методами, как динамическое программирование, принцип максимума и т. п. на определенных этапах их применения. [c.33]

В задачах вариационного исчисления (стр. 202) недостаток граничных условий восполнялся условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно иолу ить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим [c.339]

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, нелинейное программирование) иа определенных этапах реикния оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием и принципом максимума. [c.29]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

В настоян ее время для решения оптимальных задач применяют в основном следую1цие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) лгшеГнше программирование 7) нелинейное программирование. [c.29]

Принцип максимума для задач с критерием оптимальности, заданным [c.334]

Принцип максимума распространяется и на процессы с распределенными параметрами, которые описываются уравнениями в частных производных . Кроме того,с некоторыми оговорками принцип максимума может использоваться для оптимизации дискретных процессов. [c.320]

Р е ш е н и е. В этом простейшем случае, конечно, нет необходимости применять математический аппарат принципа максимума, поскольку и так очевидно, что перевод процесса, описываемого ураннением (VII,121), следует производить с максимальной скоростью изменения переменной х, т. е. с предельной величиной управляющего воздействия а, причем знак управления определяется тем, в каком направлении по оси X от начальной точки л расположена конечная точка Однако на данном [c.344]

Для системы уравнений (VII,76) уже можно применить полученную выше формулировку принципа максимума для задачи о быстродействии, которая вследствие замены переменных (VII,71) эквивалентна задаче минимизации функционала (VII,67). [c.336]

Вычислительные аспекты принципа максимума [c.343]

Для вывода основных соотношений принципа максимума предпо-жим, что оптималь терий оптимальности [c.395]

Принцип максимума (см. главу УП) применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых спстемами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций это свойственно многим задачам оптимального управления, если, например, объект описывается ли-иейиымп дифференциальными уравнениями. [c.32]

В ряде работ - принцип максимума формулируется как необходимый признак оптимальности для процессов, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных у])авие-ний. Показано, что если процесес характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является достаточным условием оптимальности. [c.320]

Нахождение оптимального решения ири использовании принципа максимума сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы для вспомогательных функций ири граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т. е. к решению краевой задачи. На область изменения переме шых могут бьггь наложены ограии-чепня. Систему дифференциальных уравнений интегрируют, применяя обычные программы на цифровых вычислительных машинах. [c.32]

Принцип максимума для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, при некоторых предположениях является и достаточным условием оптимальности. Поэтому дополнительной гроверки на оптимум получаемых решений обычно не требуется. [c.32]

Для дискретных процессов принцип максимума, вообп(е говоря, несправедлив. Однако формальное его применение для многостадийных п[К)цессов иногда позволяет найти удобные вычислительные алгоритмы оптпмнзапии. [c.33]

Ниже [3 компактной форме представлены в виде правил использования математического аппарата принципа максимума для решения ко 1кретных оптимальных задач основные результаты, получен-ш е в предыдуш,ем разделе. [c.357]

В настоящее время принцип максимума нашел широкое п )пмеие-ппс в практике решения оптимальных задач оптимизации, отиося-ишхся области химической технологии . [c.320]

Наиболее наглядно можно проиллюстрировать основные идеи принципа максимума для процесса, описываемого системо ) обыкновенных (в общем случае нелинейных) дифференциальных уравнений [c.320]

Полученное соотнонюнне (VI 1,38) и является аналитически м в ы р а ж е и и с м принципа максимума. Оно означает, что в каждой точке траектории оптимальное управляющее воздействие должно выбираться из условия достижения максимального значення величины скалярного произведения 1<р (j , ti), X ]. При этом оптимальное управление определяется как ( пункция величин х и X, т. е. как функция положения точки на траектории х (/ ) и вектора нормали отсекающей плоскости % (/), проведенной через данную точку. [c.329]

Сформулируем теперь задачу оптимального управления, которую решим с использованием принципа максимума. В приведенной выше постановке задачи регулирования она эквивалентна следуюн1,ей. [c.386]

Принцип максимума можно записать в более компактной форме, если в условии (УИ,38) величину скалярного ироизведення обозначить как [c.330]

Можно показать, что задача минимизации (или максимизации) функционала (VI 1,67) может быть сведена к рассмотренной выше задаче э быстродействии. Доказательство этого утверждения можно найти в литературе для произвольного вида подынтегрального выражения функционала (VII,67), а ниже приведен вывод конечных соотн >и1ений принципа максимума для случая, когда подынтегральная функция q) (j , и) в выражении функционала (VII,67) является п о л о ж II т е л ь н о й и о г р а и и ч е н п о й фуикцией для всех . иачений х и и. [c.335]

Тогда оптимальные задачи с заданными и неопределенными пределами интегрирования в выражении функционала (VII,67) будут различаться между собой только заданием или отсутствием граничных условий для переменной Более детально этот воирос рассмотрен при обсуждении вычислительных аспектов принципа максимума (см. стр. 3-19). [c.335]

Вообн1,е говоря, принцип максимума в той фюрмулировке, которая б ,1ла получепа для непрерывных процессов, к дискретным процессам неприменим Однако, несмотря 1ьа некоторое различие в конечных соотношениях оптимальности, представляется целесообразным все же сохранить название нритщип максимума и для дискретных процессов, поскольку математический аппарат решения оптимальной задачи в обоих случаях имеет некоторое сходство. [c.393]

Прп оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем нримепенне метода динамического программирования. В особенности это относится к ранению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры метода динамического программирования [c.393]

V) удовлетворяют выражениям (УП,466) при условии С /П,471), и нвляются математическим выражением принципа максимума для идномерных дискретных многостадийных процессов. Проводя аналогичные выкладки для ироцесса с произвольными размерностями некторов состояния и уиравления, найдем следующие соотноиюиии [c.398]

Построение математических моделей химико-технологических объектов (1970) -- [ c.245 ]

Методы оптимизации в химической технологии издание 2 (1975) -- [ c.29 , c.30 , c.33 , c.36 , c.310 ]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике (1987) -- [ c.470 ]

Устойчивость химических реакторов (1976) -- [ c.211 , c.213 ]

Методы оптимизации сложных химико-технологических схем (1970) -- [ c.10 ]

Введение в моделирование химико технологических процессов (1973) -- [ c.182 ]

Жидкостные экстракторы (1982) -- [ c.175 ]

Методы кибернетики в химии и химической технологии 1968 (1968) -- [ c.118 , c.119 , c.136 ]

Методы кибернетики в химии и химической технологии Издание 3 1976 (1976) -- [ c.205 , c.206 , c.223 ]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике Издание 2 (1967) -- [ c.470 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология