Коши задача

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве исполь- [c.54]

Пусть функция и задана на начальной кривой Г(,, проходящей через точку (Хд, /о) и требуется ее определить в некоторой окрестности Г(,, т. е. решить задачу Коши для уравнения (п. 9). В общем случае можно вычислить первые и высшие производные из уравнения (п.9) в точке (Х(), о). Тогда функцию и можно найти на близкой соседней кривой посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности точки на начальной кривой. [c.411]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Если при противотоке задается степень извлечения 1 2 д или 51с, связанные соотношением (5.74), то вместо краевой задачи можно решать задачу Коши, что требует значительно меньше машинного времени. Так как 1 с СУв > 1 )/(> в > ) то граничные условия при 2у = 0 имеют вид [c.244]

Для прямотока решение краевой задачи может быть сведено к задаче Коши при заданной степени извлечения лишь без учета продольного перемещивания, т. е. при =0. В этом случае уравнения (8.14) решаются при граничных условиях [c.302]

Решение краевой задачи как для противотока, так и для прямотока может быть получено методом последовательных приближений. Дпя этого решают задачу Коши, определяя величину Vi таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (8.15) или (8.16). Нахождение Kj методом последовательных приближений может быть запрограммировано. [c.303]

Сведение к задаче Коши. Пусть задано линейное дифференциальное уравнение [c.380]

Как и при отсутствии циркуляции, краевая задача в рассматриваемом случае может быть сведена к задаче Коши при противотоке и дпя = 0 — при прямотоке. При прямотоке задаваемые значения и связаны соотношением (8.24). [c.304]

Обозначим задаваемую долю степени извлечения от ее максимального значения для колонны конечной высоты через = с/( с)макс = (1 — У )С/(1+т). Отсюда находим граничные условия задачи Коши [c.310]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

Максимальное число наборов экспериментальных данных (число решений задачи Коши) при вычислении целевой функции в задаче идентификации на каждом этапе — не более 6. [c.205]

В этом случае, начиная интегрирование с точки 1 , можно решить задачу Коши при начальных условиях [c.119]

Численное решение математической модели прямоточного ДЖР идеального вытеснения не представляет большого труда, так как сводится к решению задачи Коши. Постановка задачи не отличается от случая противоточного ДЖР и заключается в определении вели- [c.145]

Будем считать, что эта система имеет решение, притом единственное. Наиболее часто такое решение находят численными методами, которые сводят краевую задачу к задаче с граничными условиями на одном конце (задача Коши). Если, например, к—р граничных условий заданы при х = а, ар условий — при X = Ь (фиксированные условия), то, выбрав р произвольных условий при X = а, будем решать задачу с условиями при а = а (при этом р условий при X = Ь яе используются). Произвольные условия при X = а меняют таким образом, чтобы рассчитываемые У (Ь) удовлетворяли отброшенным фиксированным условиям. [c.148]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Далее решалась задача Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка (2.236). Система (2.236) интегрировалась методом Рунге—Кутта с помощью программы, описанной в [66]. Спустя некоторое время после начала счета ЭВМ выдавала переполнение . Причина переполнения строго анализировалась. Система уравнепий (2.236) оказалась плохо обуслов- [c.218]

Рассмотрим решение у(х, а, X) задачи Коши г/" =/( , Я), г/ 1о = 0, /1х=о = а. Любое решение задачи (9) совпадает с функцией у х, о, X) при некотором о, удовлетворяющем уравнению [c.89]

Таким образом, если уравнение (10) является уравнением кривой в плоскости (а, X), то взяв, например, в качестве параметра длину дуги, мы можем получить нормальное уравнение этой кривой, решая задачу Коши [c.89]

ИЗ которого достаточно определить у, и решить соответствующую задачу Коши. С другой стороны, ясно, что фиксируя KQ/ , мы можем найти стационарные решения, соответствующие различным f. [c.92]

Во всех рассматриваемых памп случаях удается свести краевую задачу к задаче Коши, выбирая естественным образом параметризацию. Прп этом возможность представления решений в неявном виде позволяет свести задачу об определении начальных данных для искомого решения к задаче решения функционального уравнения. [c.92]

Системы дифференциальных уравнений, описывающие поведение как быстрой, так и медленной подсистемы, называются жесткими. Основные сложности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи, связаны именно со свойством жесткости задачи Коши [c.130]

Для решений каждой из задач (19) —(22) получены априорные оценки, позволяющие доказывать теоремы об устойчивости, если есть устойчивость в первом приближении, для малых по норме С отклонений начальных данных от стационарного решения. При этом требуется, чтобы задача Коши для уравнения [c.94]

В случае задачи (27) можно гарантировать существование не менее трех стационарных решений, если график стационарного устойчивого решения 0(р, 0о) пересекается с графиком некоторого решения задачи Коши (28) 0(р, 0J, 0lp=o = 0i, 0 1р=о = О хотя бы в одной внутренней точке. [c.98]

Наличие в схеме аппаратов с распределенными параметрами (каталитических реакторов с неподвижным или кипящим слоем катализатора, абсорберов и др.) приводит при расчете таких аппаратов к необходимости интегрировать некоторые системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом может потребоваться как решение задачи Коши, так и решение краевых задач, например, в случае расчета каталитического реактора с учетом продольной диффузии. [c.33]

У,16) задают все значения Последовательно рассчитывая уравнения блоков сопряженной системы от Л -го до 1-го, можно найти все переменные Яу" . По существу здесь решается задача Коши для разностной системы уравнений (У,14), (У,15). [c.210]

Во втором случае условия (У,22) будут определять некоторые из значений для Ж-го блока сопряженного процесса, а условия (У.26) — некоторые из значений для его первого блока. Фактически в данном случае требуется решить систему разностных уравнений (У,14), (У,15) с краевыми условиями. Ясно, что эта задача более трудоемка, чем задача Коши, которую приходится решать в первом случае. [c.210]

Систему уравнений (VI,1), (VI,6) и (У1,8) нельзя решать как задачу Коши в связи с тем, что при t = О неизвестны значения ф/ (0) ( = 1> -1 ) Не будем пока обращать внимания на условия (У1,3) и (VI,9), заданные при < = <, и решим систему (VI,1), (VI,6) с начальными условиями [c.108]

Специфика этой системы состоит в том, что вычисление ее левых частей при фиксированных гр о требует решения задачи Коши для системы уравнений (VI, ) и (VI,6) с начальными условиями (VI,10). [c.109]

Решение системы (VII,7), (VI 1,8) представляет собой задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическое описание вида (VII,7), (VII,8) имеют аппараты, описываемые моделями идеального вытеснения. [c.134]

Различные представления математических описаний сопряженных блоков. Для РП-блоков с математическим описанием в явной форме (УП,7), (УП,8) сопряженные зависимости могут быть представлены в развернутом виде через решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (аналогичной той, которая фигурировала в задаче оптимизации одного РП-блока) [c.144]

Существует несколько дгетодов численного решения подобных задач. Простейшим из них является метод Ньютона [8—12], который сводится к тому, что задаются начальные условия на одном из концов реактора. При этом, решая задачу Коши методом последовательных итераций, подбирают недостающие граничные условия на другом конце реактора. Однако в случае, когда система обладает большой чувствительностью, метод Ньютона требует значительного числа итераций, а иногда становится вообще неиршодным. В этом случае рационально использовать метод квазилипеариза-ции [13] или метод Вольфа [14, 15]. [c.118]

В случае прямой кинетической задачи вектор f всегда удовлетворяет условию Липшица по всем п компонентам вектора у, поэтому можно доказать, что решение задачи Коши существует и оно единственно [188]. [c.130]

Численное решение задачи Коши — это вычисление последовательности [c.130]

Уравнения (7.81), (7.82) численно решались для противотока в работе [414]. Для упрошения краевой задачи решалась задача Коши для заданной степени извлечения, т. е. вместо граничных условий (7.85), (7.86) принимались граничные условия [c.298]

Соотаошение (8.62) дает возможность свести краевую задачу Щ1я противотока к задаче Коши, если необходимо найти высоту колонны, соответствующую заданной степени извлечения из сшюшной фазы (Рс = = 1 — 1 1. Максимальная степень извлечения для колонны бесконечной высоты при [c.310]

Сказанное остается справедливым и в случае, когда имеются поперечные градиенты концентрации и температуры. И в этом случае задача Коши для системы параболических уравнений ( 11.44) и ( 11.45) всегда имеет единственное устойчивое решение. Явления неустойчивости могут в принципе возникнуть под влиянием продольного перемешивания потока, однако в достаточно протяженных реакторах этот эффект незначителен. ПрйТюследовании процессов в зернистом слое учет продольного перемешивания сводится к учету [c.336]

Существование решения для возникающих здесь задач представляет собой самостоятельное исследование. Строгое доказательсгво разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера в классе быстро осциллирующих функций приведено в работах [3-4]. [c.201]

Известно, что решения совместной системы уравнений (VI,1) и (VI,6) неустойчивы (см., например, работу [8, с. 187)]. Во втором методе для этой системы приходится решать задачу Коши на каждой итерации. Неустойчивость решений указанной системы может сильно затруднить ее интегрирование — будет наблюдаться большая чувствительность к начальным условиям, погрешностям и т. д. Упомянутого недостатка лишен первый метод, так как системы уравнений (VI,1) и (VI,6) интегрируются раздельно система (VI,1) вперед , а система (VI, 6) назад от i = i до г = 0. В работе [8, с. 188] показано, что в этом случае решения каждой системы устойчивы, если устойчивы решения системы (VI,1), т. е. если сам объект устойчив. [c.113]

Используемые в расчетах ППЭ обладают непрерывными частными проиэ-водйыми, что обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши (3.97) для консервативной системы на любом отрезке времени. [c.79]

Известно [174], что поведение ошибки численного решения задачи Коши определяется спектром матрицы Якоби и(х) = Of/Dx. Если у матрицы J (х) действительная часть собственных значений положительна, то с ростом времени растет и норма ошибки, т.е. решение системы неустойчиво. В случае отрицательной действительной части собственнь1х значений норма ошибки уменьшается и решение устойчиво. При наличии чисто мнимых собственных значений норма ошибки, возникающая при численном интегрировании, не убывает, что приводит к ее накоплению. Уравнения движения для консервативных систем имеют в основном мнимые собственные значения матрицы Якоби, что и является причиной осцилля-ционного характера решений. Это обусловливает строгие требования к контролю точности численного решения. [c.79]

Обозначим через х(хо, t) решение задачи Коши (3.97), зависящее от времени и начальных условий. Проварьируем начальные условия и представим новое решение в виде [c.83]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология