Эйлера Лагранжа уравнения

Поскольку решение уравнений Эйлера — Лагранжа само по себе неустойчиво, нужно непрерывно решать систему уравнений для существующих в реакторе условий и рассчитывать новый путь до того, как предыдущ,ий достиг своей точки отклонения. Учитывая, что для определения условий работы реактора и его системы управления требуется 14 уравнений, при современной [c.120]

Нетрудно обобщить уравнение (VI-41) для случая многих переменных- При этом получаем систему уравнений (называемых уравнениями Эйлера —Лагранжа) в виде [c.216]

Тогда из уравнения Эйлера — Лагранжа получим [c.224]

При фиксированных граничных условиях, согласно вариационному методу, следует [32], что минимум функционала (3.30) достигается при Т, удовлетворяющем уравнению Эйлера —Лагранжа [c.49]

Исследуем теперь условие, при котором интеграл Ф стационарен (экстремален) по отношению к вариациям Т. Это классическая задача вариационного исчисления [32]. Условие стационарности дается уравнением Эйлера — Лагранжа [c.128]

Чтобы показать, что функционал (10.62) удовлетворяет условиям, выведенным в разд. 10.2, (10.14) и (10.16), запишем соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа для экстремалей с учетом дополнительных условий (10.15) [c.141]

Отношение (11.50) первоначально было получено из уравнений для возмущений (11.6) — (11.8). Теперь же мы используем его как основу для вариационного принципа, уравнениями Эйлера — Лагранжа которого будут уравнения для возмущений в предельном состоянии (стационарные состояния разд. 11.7). Такой подход применим лишь при условии, что при выводе уравнения (11.43) не было сделано дополнительных предположений. В противном случае мы должны были бы учесть эти дополнительные условия с помощью лагранжевых множителей. Именно так следовало бы поступить с условием несжимаемости = О [см. (11.25) —(11.26)]. Но мы хотим получить его как одно из уравнений Эйлера — Лагранжа, не употребляя лагранжевых множителей. С этой целью запишем (11.43) в полной форме [c.162]

Эти два выражения подставим в (11.54), Тогда уравнения Эйлера — Лагранжа, соответствующие этому вариационному принципу, получаются приравниванием нулю коэффициентов при независимых приращениях O0, 60, биг, бн/, бЭ, бЭ. Группируя члены в (11.54) и используя определение (11.33) для числа Релея, получим следующее. [c.163]

Действительно, легко убедиться в том, что уравнения баланса для приращений (12.3) и (12.4) являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для функционала (12.15), если при этом использовать дополнительные условия, зависящие от времени (разд. 10.9), [c.180]

В отсутствие течения (Яе = 0) экстремум (12.26) с учетом дополнительных условий 1 ° = 11 + и 0° = 0+ дает уравнение Эйлера — Лагранжа [c.182]

В отсутствие температурного градиента = 0) и температурных возмущений (0 = 0) можно получить при дополнительном условии уравнение Эйлера — Лагранжа [c.182]

Максимальному значению коэффициента разделения ступени а соответствует экстремум /, который определяется классическим вариационным методом, приводящим к уравнению Эйлера — Лагранжа [c.105]

Наибольшую сложность в подходе Эйлера — Лагранжа представляет собой учет обратного влияния дисперсной фазы на движение несущего потока, а также учет взаимодействия частиц дисперсной фазы друг с другом. При моделировании потоков газовзвесей с твердыми частицами турбулентная структура сплошной среды обычно рассчитывается на основе той или иной двухпараметрической к-Е модели турбулентности (см. подраздел 2.3.3). Влияние сил межфазного взаимодействия учитывается введением соответствующего источникового члена в уравнениях движения. Например, для стационарного осесимметричного турбулентного течения газа в вертикальной трубе уравнения движения можно записать как [c.203]

Канонический вариационный принцип приводит к уравнению Эйлера—Лагранжа [c.436]

Методы решения оптимальных задач подобного типа рассматривались в ряде работ (см. например, /I/, /2/, /3/), в которых для нахождения оптимального решения предлагается использовать метод динамического программирования или метод, сводящийся по существу к решению краевой задачи, дополненной условиями в промежуточных точках, для уравнений Эйлера-Лагранжа. Однако, при использовании метода динамического программирования придется табулировать функции с числом переменных, равным числу параметров, определяющих процесс, и при большом числе параметров применение метода окажется затруднительным. Во втором же случае мы имеем дело с решением краевой задачи для исходной системы уравнений и вспомогательной сопряженной системы, что также является достаточно трудоемким процессом. [c.342]

Решение этой задачи дается уравнениями Эйлера —Лагранжа, которые можно получить следующим образом. [c.306]

Принцип Гамильтона налагает ограничение только на начальное и конечное положения точки, изображающей систему. Начальные и конечные обобщенные скорости могут быть произвольными. Из элементарной механики известно, что движение частицы определяется ее начальными положением и скоростью. Однако фактически принцип Гамильтона позволяет однозначно определить динамическую траекторию системы. Поскольку уравнения движения (уравнения Лагранжа) имеют второй порядок по времени, то для их решения надо задать два условия. Эти условия не обязательно должны быть начальными данными. В задаче о наикратчайшем расстоянии между двумя точками на плоскости (х, у) соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа дают у ах + Ь ( = + Р). Решение можно сделать единственным, задавая либо у (0) и у (0), либо у (0) и у х1). [c.14]

Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, М < 1, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показано ), что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7 ) из 5, является корректно поставленной. Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение С/(х) должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера — Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока. [c.26]

Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера — Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье — Стокса, вывод которых мы сейчас кратко изложим. [c.47]

Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы [c.181]

Вариация функционала действия Ф относительно приводит к уравнениям Эйлера—Лагранжа [c.71]

В силу справедливости уравнений Эйлера — Лагранжа [c.72]

На основе фундаментальной леммы вариационного исчисления для вариационных задач с фиксированными границами получим окончательную форму уравнений Эйлера — Лагранжа относительно функций ф [c.74]

Тот факт, что уравнения Эйлера — Лагранжа (3.11.12) удовлетворяются во всех внутренних точках 4, находит отражение в следующих выражениях для вариации по ф интеграла действия [см. (3.11.9)] [c.74]

Таким образом, уравнения Эйлера — Лагранжа относительно переменных W° имеют вид [c.76]

Приемлемость такой формы записи для учета взаимодействия с внешним окружением достигается здесь за счет введения интеграла по точной 4-форме, так как этот интеграл можно с помощью теоремы Стокса превратить в поверхностный интеграл. Очевидно, что не любая из точных 4-форм подходит для этой цели, и результат будет зависеть от выбора уравнений Эйлера — Лагранжа во внутренних точках тела. Выбранная точная 4-форма должна оставлять инвариантными уравнения Эйлера — Лагранжа классической теории упругости, так как вся эта теория исходит из функционала действия [c.96]

Исследуя устойчивость модели (см. рис. 3.20) с помощью системы дифференциально-разностных уравнений и используя классический метод Эйлера — Лагранжа, авторы получили условие сплошности композита, связывающее модули упругости арматуры и полимера [55, 63] [c.137]

Кратко опишем содержание этой главы. В разд. 2 рассматривается обычная одномерная вариационная задача. Приводятся общеизвестные положения и сведения из вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Лагранжа, вариация, двухточечная граничная задача). В разд. 3 проводится сравнение методов отыскания оптимума с применением вариационного исчисления и дифференциального исчисления. В разд. 4—11 описываются некоторые трудности, возникающие при применении вариационного исчисления. К их числу относятся наличие ограничений, сложность решения двухточечной граничной задачи, линейность, а также наличие негладких функций. В разд. 7 указаны различные пути решения задач при ограничениях типа неравенств. На примере, приведенном в разд. 8, [c.97]

Если решение этой задачи существует, то его обычно можно найти, решая классическое уравнение Эйлера — Лагранжа, записанное для функции Р из выражения (1). Это уравнение можно вывести, рассматривая кривые, близкие к минимизирующей кривой. Во многих случаях, решая уравнения Эйлера — Лагранжа, мы получаем г/ и у как функции (, минимизирующие выражение (1). Подробности, относящиеся к уравнению Эйлера — Лагранжа, можно найти в любом руководстве по вариационному исчислению [28— 30, 33, 40, 521. [c.99]

Это и есть уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.99]

Если в задаче требуется отыскать несколько неизвестных функций, то получается столько уравнений Эйлера — Лагранжа, сколько зависимых переменных содержится в задаче. Если, например, минимизируемое выражение имеет вид [c.100]

В этом случае уравнения Эйлера — Лагранжа образуют, вообще говоря, нелинейную систему дифференциальных уравнений второго порядка. Чаще всего ее невозможно решить аналитически. Уравнение с двухточечными граничными условиями решают численно, применяя для отыскания решения, удовлетворяющего граничным условиям, метод проб и ошибок. Типичными граничными условиями для У1 и уг являются, например, такие [c.100]

Практически решение задач с помощью вариационного исчисления часто оказывается затруднительным. Прежде всего возникают осложнения при постановке задачи кроме того, иногда невозможно получить решение уравнений Эйлера — Лагранжа, даже если их все же удалось вывести. [c.101]

Статьи Гоулда с сотр. затрагивают проблему оптимизации управления реактором как нелинейной системы. В работе Бичера и Гоулда обсуждается возможность динамической оптимизации при помощи цифровых машин. Пользуясь методами вариационного исчисления, они вывели систему уравнений Эйлера— Лагранжа, решаемую для определения оптимального пути, по которому должен следовать процесс в реакторе после внесения возмущения. [c.120]

Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Лагранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосоиряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния. [c.149]

Для построения математической модели барботажной колонны, позволяющей смоделировать сложное движение многофазного газо-жидкостного турбулентного потока, был применен подход Эйлера — Лагранжа. На первом этапе находилось поле скоростей циркуляционных течений газо-жидкостного потока в колонне заданной геометрии из приближенного решения уравнений Навье — Стокса. На рис. 3.3.6.2 показано расчетное поле скоростей в барботажной колонне. Средние скорости Щ1ркуляции в восходящем потоке = 0,4 м/с, в нисходящем Мн = 0,17 м/с. Коэффициент псевдотурбулентной диффузии пузырей (из опытных данных) — 0,0003 м /с. [c.206]

Для получения уравнений Эйлера — Лагранжа относительно W° мы поступим так же, как в 3.11. Тогда вариация, индуцируемая в 4-форме лагранжиана Ьп с Ь, заданным [c.75]

Полученные из лагранжиана (3.8.14) с помощью вариационного принципа уравнения Эйлера — Лагранжа задаются соотношениями (3.14.1) — (3.14.3) [c.91]