Дифференциальные уравнения численное решение

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Общее решение этого дифференциального уравнения численно возможно двумя путями. Во-первых, рассмотрение баланса может проводиться с маленькими, но конечными Аи-значениями, причем получается [c.123]

Устойчивость решения. При решении дифференциальных уравнений численными методами помимо вопросов точности важную роль приобретают вопросы устойчивости решения. Под устойчивостью метода решения дифференциального уравнения понимается способность накопления и скорость роста ошибки интегрирования. Как уже отмечалось выше, при использовании формулы (12—17) ошибка вычислений накапливается в процессе интегрирования. [c.356]

Раздел V.9. Относительно вопросов численного решения дифференциальных уравнений см. [c.118]

Численное интегрирование уравнения Эйлера. Как уже отмечалось выше, уравнение Эйлера (V, 133) обычно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, аналитическое решение которого чаще всего найти нельзя. Кроме того, весьма существенным является то, что решение уравнения (V, 133) должно удовлетворять граничным условиям в двух точках экстремали, которые в простейшем случае имеют вид соотношений (V, 135). [c.227]

Рассмотренная неустойчивость решения является серьезным препятствием при решении дифференциальных уравнений численными методами, когда невольно приходится ограничиваться конечной точностью представления чисел, в результате чего погрешность решения может достигать значительной величины. Следует отметить, что если при решении одного дифференциального уравнения первого порядка еще можно предусмотреть, некоторые методы. устранения неустойчивости, то при интегрировании систем дифференциальных уравнений задача обеспечения устойчивости решения становится весьма серьезной и иногда даже непреодолимой на пути получения решения оптимальной задачи. [c.231]

Многие процессы с распределенными параметрами, которые на первый взгляд нельзя представить как многостадийные из-за непрерывности изменения величин, определяющих их состояние и управление (например, реактор вытеснения), могут быть описаны как предельный случай многостадийного процесса, если в качестве отдельной стадии принять достаточно малый элемент, аналогично тому, как при решении дифференциальных уравнений численными методами используется их конечно-разностная форма. [c.258]

В частных производных не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому решения следует получать другими методами, например численными или методом локальной [c.184]

Задание 114. Решите в численном виде приведенные ниже дифференциальные уравнения найдите решения при нескольких значениях независимой переменной и нанесите найденные точки на диаграмму. Сравните результаты численного и аналитического метода (в тех случаях, когда уравнение можно решить аналитически). [c.223]

После подстановки соотношений (2.54), (2.55) в уравнения (2.56), (2.57) последние преобразуются аналогично тому, как это сделано в примере 2.1, к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Их решения можно получить одним из численных методов. После чего производится расчет по соотношениям (2.58), (2.59). [c.95]

Постоянные интегрирования Су (г = 1, 2,. .8 / — О, 1, 2) из (9.4), (9.5) необходимо определять из указанных краевых условий и условий непрерывности (9.8) и (9.10) при 1, которые дадут систему 24 линейных алгебраических уравнений. Численное решение указанной системы уравнении затруднено, так как матрица данной системы плохо обусловлена. Это связано с тем, что коэффициенты системы дифференциальных уравне- [c.57]

B. Э. M илн, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. [c.118]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Следовательно, расчет реактора сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными а и Т. Для проточного реактора полного перемешивания это будет система алгебраических уравнений. В остальных случаях получается система дифференциальных уравнений. Как правило, для решения необходимо использовать численные или графические методы. Ниже будет рассмотрено несколько примеров расчета неизотермических реакторов. [c.332]

Дифференциальные уравнения в частных производных получаются в тех случаях, когда рассматривается одновременное изменение более чем двух переменных. Для этих уравнений справедливы те же соображения, какие были высказаны по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полного математического описания физической проблемы, помимо самого дифференциального уравнения, необходимы еще дополнительные указания начальные условия, из которых определяются константы, возникающие при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, а также начальные и граничные условия, из которых находятся параметры, полученные при точном решении дифференциальных уравнений в частных производных. (Разумеется, начальные и граничные условия в равной мере необходимы и при численных методах.—Прим. ред.) [c.385]

Чтобы представить дифференциальные уравнения в форме, пригодной для решения на цифровых вычислительных машинах, следует их аппроксимировать и заменить конечно-разностными алгебраическими уравнениями. Численная модель состоит из полученной системы уравнений и построения численного алгоритма их решения. Численные модели основных процессов фильтрации пластовых флюидов обсуждаются в следующих параграфах. [c.381]

При моделировании на ЦВМ получается совокупность чисел, отражающих конечный результат протекания процесса. Картину же изменения внутренних связей между физико-химическими величинами в ходе решения получить нельзя. Причиной этого является сам принцип дискретности работы цифровой машины и вытекающая отсюда при решении необходимость предварительного преобразования дифференциального уравнения методами численного анализа. Естественно, что это в некоторой степени обесценивает результаты моделирования на ЦВМ. Однако возможность получения значительного объема числового материала при моделировании различных вариантов частично компенсирует [c.11]

Аналитические решения рассмотренных выше дифференциальных уравнений первого и второго порядка известны лишь для частных случаев с единичными простыми реакциями в изотермических условиях. Поэтому для интегрирования их в настоящее время используются в основном численные методы и решение производится на ЭЦВМ [6, 7, 68]. [c.43]

Методика отыскания численных значений вероятностных характеристик по экспериментально найденным распределениям общеизвестна и детально описана во многих руководствах по математической статистике, например в работах [74, 80]. Поэтому, опуская непосредственно вычисление указанных характеристик, установим лишь связь между ними и числами Пекле. Эта связь определяет т из решения дифференциального уравнения диффузионной модели, составленного применительно к изменению концентрации [c.49]

При численном решении уравнения (4.127) при условиях (4.128) вначале интегрировалось обыкновенное дифференциальное уравнение [c.202]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Пример VIU-2. Применим к предыдущему примеру численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, описанный в главе XII (стр. 399). [c.250]

Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге—Ку гга на интервале от х1 до х2 с переменным шагом, при минимальном числе шагов п, причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D, а начальные условия — в векторе V (только для Math ad Professional) Матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п, причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D, а начальные условия — в векторе v [c.453]

Весьма затруднительно дать краткое изложение методов решений дифференциальных уравнений в частных производных . Более подробные сведения можно найти в литературе . Пример точного решения дифференциального уравнения в частных производных приведен выше (см. стр. 246). Нахождение точных решений таких уравнений часто довольно трудно. В таких случаях необходимо прибегать к численным методам. Существует большое число методов для решения дифференциальных [c.385]

Численное решение дифференциальных уравнений [c.395]

Если величины Ь, с н а не зависят от , то уравнения (137а и (1376) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Их решение называется автомодельным. В таком случае профили скорости в различных точках X отличаются только масштабными множителями. Таким же образом ведут себя и профили температуры. Большое число автомодельных решений было рассчитано численно [72—75]. [c.112]

Последняя строка в этой таблице представляет табличную форму написи функции/I ( ), удовлетворяющей уравнению (3). Изложенный метод расчета принципиально может быть применен для всех типов дифференциальных уравнений, но точность его невысока. В настоящее время проводятся работы 1 , цель которых повысить точность II скорость решения дифференциальных уравнений численными методами. [c.37]

Хотя многократное рассеяние происходит по тем же законам, что и однократное, расчет интенсивности света, прошедшего через плотное облако, представляет значительные математические трудности. Эта проблема исследовалась в разных направлениях и известна как проблема переноса излучения (Чандрасекар. Точное решение получено только для весьма идеализированных условий, в основном для изотропного рассеяния и для случаев точечного источника света и сферических рассеивающих систем, а также плоского источника и плоскопараллельных систем. Практическая важность этой оптической проблемы и аналогичной проблемы рассеяния нейтронов плотными материалами способствовала разработке нескольких приближенных теорий. Можно получить решение некоторых задач, используя упрощенные методы расчета индикатрисы однократного рассеяния. Чу и Черчилль предложили шестипоточную модель, в которой индикатриса рассеяния одной сферой представлена в виде суммы шести компонент направленной вперед, направленной назад и четырех равных боковых. Интегродиф-ференвд1альное уравнение, описывающее интенсивность излучения в рассеивающей среде, сводится при этом к системе обычных дифференциальных уравнений, и решения, пригодные для численных расчетов, могут быть получены для различных геометрических конфигураций источника света и рассеивающей системы. В некоторых случаях можно использовать двухпоточную модель, в которой боковые компоненты приравниваются нулю. Опубликованы такие расчеты для многократного рассеяния плотной суспензии, имеющей частично отражающие границы. Экспериментально исследовано прохождение света через многократно рассеивающие суспензии частиц латекса и изучено влияние расстояния между частицами на многократное рассеяние 2. Согласно выводам авторов, слой плотного гидрозоля толщиной в несколько миллиметров может применяться для моделирования рассеяния в грубодисперсных атмосферных облаках с размерами порядка нескольких километров. [c.128]

Уравнение (8.7) необходимо использовать дважды один раз — для молекул А и другой раз — для молекул В. Аналитическое решение указанного уравнения пока не найдено, исключая особые случаи, которые, по счастливой случайности, представляют большой практический интерес. В общем с пользой могут быть применены цифровые вычислительные машины, дающие численные решения [12, 72]. Поскольку дифференциальные уравнения нелинейны, решение для модели Данквертса непосредственно не получено и по существу к нему обычно и не стремятся. Приближенные аналитические решения были найдены Ван-Кревеленом и Хофтицером [98] при использовании пленочной модели. [c.355]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Важный вопрос о соответствии значений констант скоростп реакций эксперпментальным данным вынесен в этой главе в упражнения. Сделано так потому, что, с одной стороны, этот вопрос относится скорее к области чистой, чем прикладной кинетики, и, с другой стороны, его решаюш,ее значение для всей проблемы расчета химических реакторов не вызывает сомнений. Если кинетические зависимости изображаются прямыми линиями, как на логарифмическом графике для реакции первого порядка в упражнении У.2, то оценка точности найденных значений констант скорости реакций может быть получена из отклонения экспериментальных данных от прямой линии, наилучшим образом оиисываюш ей ход процесса. Если дифференциальные уравнения, описывающие систему реакций, должны с самого начала интегрироваться численно, то провести оценку значений констант скорости и их точности значительно труднее. В простейших случаях уравнения можно решать с помощью аналоговой вычислительной машины, где константы скорости представляются переменными сопротивлениями. Эти сопротивления можно изменять вручную, пока не будет достигнуто наилучшее возможное соответствие между расчетными и экспериментальными данными. Если решение проводится на цифровой вычислительной машине, следует использовать метод проб и ошибок. Предположим, [c.116]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

Решение дифференциальных уравнений для двухмерного зернистого слоя представляет значительные трудности. В работе [128] получено численное решение с учетом экзотермической реакции в слое с сильным тепловьш эффектом, однако расчетная разница температур фаз не превышает 2°С при максимальной разности температур слоя и стенки трубы 52 °С.. Определение коэффициентов теплопроводности в зернистом слое на основе двухфазной модели [44] дало результаты на 4% выше, чем для квазигомогенной модели, в интервале Re, = 40 — 500. [c.170]

Математическая модель объекта, характеризуемого не очень сложными дифференциальными уравнениями, часто может быть реализована на аналоговой вычислительной маншне. Однако самым универсальным средством решения задач математического моделирования являются цифровые вычислительные машины. При этом для рен ения системы уравнений математического оппсания необходимо иметь численный алгоритм. [c.52]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.379 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.379 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов (1964) -- [ c.395 ]

Химическая кинетика м расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.379 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология