Формула Рунге-Кутта

Примером формулы Рунге—Кутта четвертого порядка может служить соотношение [c.362]

Формулы Рунге—Кутта. Наиболее распространенными в практике интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений являются формулы Рунге—Кутта. Эти формулы классифицируются но степени приближения их по точности к разложению решения в ряд Тейлора. Формулы, точные до второго, третьего, четвертого и т. д. членов разложения, носят название формул второго, третьего, четвертого и т. д. порядка соответственно. Достоинством формул Рунге —Кутта является то, что нри их использовании не нужно вычислять производные выше первого порядка, а их основной недостаток — громоздкость и значительный объем вычислений на каждом шаге. [c.359]

Если же положить, что рг,1 = О, то из (12—44) получим р2,г = = 1 2,1 = СС2 = 1/2. Тогда после подстановки полученных значений в (12—39) последнее преобразуется к виду (12—19), т. е. получим формулу модифицированного метода Эйлера. Отсюда следует, что формулы Эйлера являются частными случаями формул Рунге—Кутта первого и второго порядков. [c.361]

Наибольшее распространение в вычислительной практике имеют формулы Рунге—Кутта четвертого порядка, которые получаются из общих соотношений (12—34) — (12—37) при с = 4. [c.361]

Решение уравнения (12—49) по формулам Эйлера (12—17) и (12—19), а также по формулам Рунге—Кутта (12—47) для интервала времени О < 40 приведено в табл. 22. [c.363]

Из сравнения точного и приближенных решений можно заметить, что формула Эйлера на каждом шаге интегрирования дает завышенное значение функции, в то время как видоизмененные формулы Эйлера заниженные формулы Эйлера наименее устойчивы при увеличении шага интегрирования — в них колебательность решения проявляется уже при Я = 7, а формулы Рунге—Кутта — при Я = 15. [c.364]

Для того чтобы проинтегрировать систему (12—50), например, по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка, достаточно применить формулы (12—46) к каждому из уравнений [c.364]

Конечно-разностные формулы. Формулы Рунге—Кутта четвертого порядка получили наибольшее распространение в практике интегрирования дифференциальных уравнений с исполь-зованием вычислительных машин. Однако даже при относительно высокой точности их применение связано со значительным объемом вычислений, особенно если правые части уравнений являются сложными выражениями. Основным недостатком этих формул является то, что приходится вычислять три-четыре значения функции и усреднять на каждом шаге интегрирования. Прогноз решения осуществляется исходя из информации лишь в данной точке, и совсем не используется информация о решении в предыдущих точках. В прикладных задачах, например, связанных с нестационарными процессами, решения часто представляют собой монотонные функции, приближающиеся к стационарному состоянию, причем значительные изменения тангенса угла наклона интегральной кривой наблюдаются только на начальном участке интегрирования. Поэтому для вычисления значения интегральной кривой в последующей точке иногда целесообразно аппроксимировать решение, используя информацию о нем в предыдущих точках, т. е. его предысторию. [c.365]

Методы, в основе которых используется информация о решении в ряде предшествующих точек, называются конечно-разностными методами или методами прогноза и коррекции. В отличие от формул Рунге—Кутта, в этих методах на каждом шаге интегрирования правые части уравнений вычисляются один или два раза, а разность между прогнозированным и скорректированным решениями дает оценку точности интегрирования и можёт быть использована для контроля величины шага. [c.365]

В программе используется стандартная процедура решения системы уравнений (12—65) по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка [4] с некоторыми изменениями, внесенными на стадии отладки (процедура Р 502), и процедура вычисления правых частей системы (процедура Р 1024). [c.375]

В работе автора с Е. Г. Комаровой описанный метод расчета был усовершенствован [158]. С целью уменьшения трудоемкости расчетов было предложено использовать для интегрирования уравнений ( -161) формулы Рунге—Кутта четвертого порядка [82]. При этом уравнения ( -161) модифицированы путем замены активностей с помощью соотношения [c.354]

В основе формул Рунге — Кутта используется следующее допущение. Поскольку определение производных высокого порядка в разложении решения в ряд Тейлора сопряжено со значительными вычислительными трудностями, вместо уравнения (12—12) используется линейная комбинация вида [40] [c.359]

На каждом шаге интегрирования по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения. Это приведет к увеличению времени счета, однако компенсируется более высокой точностью формулы, в силу чего интегрирование можно вести с большим шагом. При использовании вычислительных машин выбор величины шага интегрирования производится автоматически в процессе интегрирования. Изменение шага обычно производится по результатам сравнения решений, получаемых на некотором интервале интегрированием с це.лым и половинным шагом. Если результаты этих двух вычислений совпадают с заданной точностью, то шаг для дальнейшего интегрирования остается прежним или увеличивается, в противном случае уменьшается. [c.362]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Таким образом, коэффициентыp ,n 2,2, f 2, 2.1 формулы Рунге — Кутта второго порядка удовлетворяют системе линейных уравнений [c.361]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология