Рунге

Рис. 19. Геометрическая интерпретация организации расчета в методе Рунге — Кутта.

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Рунге с сотрудниками [78, 79] провели в 1952—1953 гг. обширные исследования по определению наиболее подходящих катализаторов для гидратации пропилена. С этой целью были изучены кислые катализаторы, такие, как серная кислота, нафталинсульфокислота, фосфорная кислота, кислые фосфаты, окись вольфрама без промотора и носителя, а также на различных носителях, например на активированном кислотой монтмориллоните. Показано, что серная кислота не подходит из-за нестойкости, а фосфатные катализаторы отличаются незначительной активностью. Фосфорные кислоты на носителях проявляют при средней крепости кислоты максимальную каталитическую активность, причем наилучшим носителем является крупнопористый силикагель. Выход в единицу времени на единицу объема составил 0,52 кг изопропилового спирта на 100 мл [c.62]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Результаты, полученные Рунге при гидратации пропилена в газовой фазе, представлены в табл. 7. Из таблицы видно, что конверсия пропилена увеличивается при повышении давления и соотношения вода пропилен. Однако уровень нужного давления зависит от уровня температуры, так как для достижения максимальной конверсии давление должно лежать лишь немного ниже точки насыщения на основании законов термодинамики. Высший предел температуры опять же зависит от активности катализатора. [c.63]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Самым грубым приближением к у (х h) было бы Ь hf (а, Ъ). Для более точной квадратичной аппроксимации нужно вычислять частные производные функции / [х, у) в точке (а, Ь). Это, однако, неудобно. Поэтому обычно пользуются другим методом, известным как метод Рунге — Кутта, позволяющий аппроксимировать у х h) с точностью до первых четырех членов ряда Тейлора путем вычисления ироизводной в нескольких определенным образом [c.114]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

Метод Рунге — Кутта, как и метод Адамса, является явной схемой, т. е. разложение проводится на своем узле сетки, и значение у п+1 определяется за конечное, вполне определенное, число действий. Если в интегральном уравнении (3.106) значение интеграла на одном интервале сетки вычислять не так, как это делалось раньше, а, например, по формуле трапеций, то получим уравнение [c.186]

Шумана — Рунге). Слабые поглощения имеются в области Л<С <240 нм. Воздух и насыщенные углеводороды начинают поглощать лучистую энергию в далекой УФ- и вакуумной областях-спектра при длинах волн, меньших чем 200 нм. Все это давало-основание исследователям считать, что излучение не имеет существенного значения для пламенных систем [145]. Однако проведенные в последние годы исследования взаимодействия электромагнитных волн с каким-либо веществом, выполненные с использованием лазерной техники, позволяют пересмотреть-ранее высказывавшиеся представления о роли излучения в пламенах. [c.115]

Опытные данные, полученные Рунге при эксплуатации пилотной установки, подтвердили, что окись вольфрама с промотором является наилучшим катализатором. Для промышленного использования хорошо зарекомендовали себя также следующие катализаторы 20% окиси вольфрама и 5% окиси цинка на особо подготовленном [c.63]

Метод Рунге — Кутта позволяет получить более высокую точность, чем метод Эйлера при меньших п. В этом методе итерационная формула имеет вид [c.146]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Методы типа Рунге — Кутта могут иметь любой порядок точности. Общая 5-стадийная формула метода Рунге — Кутта имеет вид [c.184]

Определив граничные условия, решают систему уравнений (6.48) — (6.50) методом Рунге — Кутта, причем интегрирование проводят по известной длине (высоте) исчерпывающей части колонны. В точке питания необходимо определить новые граничные условия для расчета укрепляющей части мембранной колонны, решая совместно уравнения материального баланса по всему веществу и по целевому компоненту. Далее систему уравнений (6.48) — (6.50) решают интегрированием по длине (высоте) укрепляющей колонны. Численные методы решения этих уравнений позволяют определить профили концентраций, скоростей и давлений по высоте колонны, знание которых позволяет выбрать, исходя из принятого определяющего критерия (например, предельное гидравлическое сопротивление),скорость (точнее, диаметр) колонны. [c.217]

Существуют также различные другие комбинированные методы расчета процесса разделения. К ним относится метод [172], сочетающий метод квазилинеаризации и метод Рунге-Кутта. Описан комбинированный метод [152], сочетающий алгоритм Ньютона-Рафсона и упрощенный метод расчета колонн. [c.15]

Второй подход состоит в том, чтобы тем или иным образом регуляризовать исходную систему, т. е. преобразовать ее к устойчивой систе ме, к которой затем можно применить обычные численные процедуры (Рунге — Кут-та, Адамса и т. д.). На практике такая регуляризация проводится либо на предварительной стадии, и тогда обычные численные процедуры применяются к преобразованной системе в их классическом виде, либо регуля-ризующие операторы вводятся непосредственно в численную процедуру, что и порождает необычайное разнообразие практических вариантов алгоритмов. Принципиальная идея здесь состоит в том, чтобы преобразованная система имела малую по модулю постоянную Липшица. Такой оператор преобразования можно взять, например, в виде [40] [c.173]

Это и есть основная формула явного метода Рунге — Кутта второго порядка точности. В зависимости от выбора а получаются различные конкретные виды этой формулы. При С2 = О (3.101) переходит в известную формулу Эйлера Уп + 1 = Уп + kf t, у), для которой при а = 1 имеем Уп + 1 = Уп + л/(г + 1/2А, [c.183]

Как видно из (3.107), (3.108), для того чтобы начать расчет по Адамсу, необходимо знать значения решения в четырех начальных точках о, 1, 1 , Ц. Удобство формулы Адамса (необходимость лишь одноразового вычисления /( , у) против многократного вычисления /( , у) в схеме Рунге — Кутта) не компенсирует неудобств, связанных с необходимостью любым способом (хотя бы и методом [c.185]

Рунге — Кутта) получить решения в 4 (в обш ем случае для метода Р-то порядка в р) узлах. Кроме того, смена шага — весьма нестандартный процесс, требующий перехода к формуле (3.107), а затем возвращения к (3.108). Поэтому метод практически не очень удобен. [c.186]

Величины Н-,, А , Ь,-, С — параметры схемы. Схема (3.111) отличается от классической схемы Рунге — Кутта иали- [c.188]

Подчеркнем, что метод Рунге — Кутта эффективнее метода Эйлера только для искривленных функций. [c.147]

Задание. Срставьте программу для интегрирования уравнений (2) и (3) при произвольных начальных условиях методом Рунге — Кутта. Исполь- [c.319]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Были получены значения всех переменных вдоль характеристических линий времени. Для каждого отрезка времени рассчиты вали кривые полного распределения температур и давлений, затем временной отрезок увеличивали и находили новые кривые распределения. Все значения вдоль характеристики л = О находили по методу Рунге—Кутта—Джилла из уравнения (111,219) при [c.270]

Рунге исследовал 120 различных катализаторов гвдратации и нашел, что самым оптимальным является окись вольфрама с промотором. Катализаторы этого типа сохраняют активность и через 1000 ч работы. На них легко достигается конверсия 8,8% и выход 94% при 260—320 °С и давлении 80—200 кгс/см . В реакционной смеси содержится до 34% спирта. Неожиданным оказалось образование из пропилового спирта наряду с диизопропиловым эфиром и полимерами значительного количества примесей. [c.63]

В работах Гордона и Кнайна, а также Лайдлера детально рассмотрены возможные электронные состояния в реакцип СО + Оа - Полосы Шумана — Рунге для Оа, которые наблюдались в пламенах, являются термическими, как было показано Вольфгардом и Паркером [52]. [c.397]

Если = о для всех/>.г, формула (3.102) называется полунеявной, в противном случае — неявной. При использовании квазилинеаризации алгоритм сохраняет свойства явного метода. Оператор перехода Л(со) в этом случае имеет вид К а>) = Рт о )10р ( )), где Рт( ), < р (о)) — полиномы степени тир соответственно. Щ<л) часто аппроксимируют видом ехр (со), принимая тп р 3. Наиболее популярна явная схема Рунге — Кутта четвертого порядка точности вида [c.184]

Расширением пределов этого метода будет так называемая чеявная схема Рунге—Кутты [c.148]

Поскольку в Л-устойчивых методах шаг интегрирования значительно больше, чем в традиционных способах Рунге — Кутта или Адамса, то интервал решения покрывается за меньшее число шагов, что и приводит к общему выигрышу во времени счета по сравнению с традиционными способами. Однако на одном шаге интегрирования Л-устойчивые методы требуют гораздо больших временных затрат. И если на интервале решения имеются нежесткие зоны, то с целью повышения экономичности алгоритма и уменьшения времени счета их предпочтительнее проходить традиционными способами. Взаимное рас- [c.191]

Уравнение (VIII,27) можно репшть на вычислительной машине, используя правило Симпсона и располагая экспериментальными значениями U, U f, Н, H f, е ,а, Р, Dq- Аналогично по опытным значениям этих переменных можно, используя метод Рунге—Кутта, решить уравнение (VIII,32). [c.349]

Р) с.пучае /г-царг получается система ураг.нещп с 2п неизвестными, [ ешетще которой при большом п затруднительно. Задача можег быть решена приближенно но методу Рунге [150]. [c.164]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Аналитическая химия. Т.1 (2001) -- [ c.37 , c.47 ]

Органическая химия (1990) -- [ c.414 ]

Методы элементоорганической химии (1963) -- [ c.30 , c.93 ]

Препаративная органическая фотохимия (1963) -- [ c.277 ]

Химия и технология химикофармацефтических препаратов (1964) -- [ c.95 , c.507 ]

Химическая литература и пользование ею Издание 2 (1967) -- [ c.164 ]

Химическая литература и пользование ею (1964) -- [ c.160 ]

Руководство по электрохимии Издание 2 (1931) -- [ c.253 ]

Сочинения Научно-популярные, исторические, критико-библиографические и другие работы по химии Том 3 (1958) -- [ c.13 , c.15 ]

Курс органической химии (0) -- [ c.541 , c.568 , c.713 , c.1043 ]

Методы элементоорганической химии Магний бериллий кальций стронций барий (1963) -- [ c.30 , c.93 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология