Рунге Кутта

Рис. 19. Геометрическая интерпретация организации расчета в методе Рунге — Кутта.

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Метод Рунге — Кутта, как и метод Адамса, является явной схемой, т. е. разложение проводится на своем узле сетки, и значение у п+1 определяется за конечное, вполне определенное, число действий. Если в интегральном уравнении (3.106) значение интеграла на одном интервале сетки вычислять не так, как это делалось раньше, а, например, по формуле трапеций, то получим уравнение [c.186]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Существуют также различные другие комбинированные методы расчета процесса разделения. К ним относится метод [172], сочетающий метод квазилинеаризации и метод Рунге-Кутта. Описан комбинированный метод [152], сочетающий алгоритм Ньютона-Рафсона и упрощенный метод расчета колонн. [c.15]

Это и есть основная формула явного метода Рунге — Кутта второго порядка точности. В зависимости от выбора а получаются различные конкретные виды этой формулы. При С2 = О (3.101) переходит в известную формулу Эйлера Уп + 1 = Уп + kf t, у), для которой при а = 1 имеем Уп + 1 = Уп + л/(г + 1/2А, [c.183]

Метод Рунге — Кутта позволяет получить более высокую точность, чем метод Эйлера при меньших п. В этом методе итерационная формула имеет вид [c.146]

Методы типа Рунге — Кутта могут иметь любой порядок точности. Общая 5-стадийная формула метода Рунге — Кутта имеет вид [c.184]

Как видно из (3.107), (3.108), для того чтобы начать расчет по Адамсу, необходимо знать значения решения в четырех начальных точках о, 1, 1 , Ц. Удобство формулы Адамса (необходимость лишь одноразового вычисления /( , у) против многократного вычисления /( , у) в схеме Рунге — Кутта) не компенсирует неудобств, связанных с необходимостью любым способом (хотя бы и методом [c.185]

Рунге — Кутта) получить решения в 4 (в обш ем случае для метода Р-то порядка в р) узлах. Кроме того, смена шага — весьма нестандартный процесс, требующий перехода к формуле (3.107), а затем возвращения к (3.108). Поэтому метод практически не очень удобен. [c.186]

Величины Н-,, А , Ь,-, С — параметры схемы. Схема (3.111) отличается от классической схемы Рунге — Кутта иали- [c.188]

Определив граничные условия, решают систему уравнений (6.48) — (6.50) методом Рунге — Кутта, причем интегрирование проводят по известной длине (высоте) исчерпывающей части колонны. В точке питания необходимо определить новые граничные условия для расчета укрепляющей части мембранной колонны, решая совместно уравнения материального баланса по всему веществу и по целевому компоненту. Далее систему уравнений (6.48) — (6.50) решают интегрированием по длине (высоте) укрепляющей колонны. Численные методы решения этих уравнений позволяют определить профили концентраций, скоростей и давлений по высоте колонны, знание которых позволяет выбрать, исходя из принятого определяющего критерия (например, предельное гидравлическое сопротивление),скорость (точнее, диаметр) колонны. [c.217]

Примером формулы Рунге—Кутта четвертого порядка может служить соотношение [c.362]

Подчеркнем, что метод Рунге — Кутта эффективнее метода Эйлера только для искривленных функций. [c.147]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Формулы Рунге—Кутта. Наиболее распространенными в практике интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений являются формулы Рунге—Кутта. Эти формулы классифицируются но степени приближения их по точности к разложению решения в ряд Тейлора. Формулы, точные до второго, третьего, четвертого и т. д. членов разложения, носят название формул второго, третьего, четвертого и т. д. порядка соответственно. Достоинством формул Рунге —Кутта является то, что нри их использовании не нужно вычислять производные выше первого порядка, а их основной недостаток — громоздкость и значительный объем вычислений на каждом шаге. [c.359]

Если же положить, что рг,1 = О, то из (12—44) получим р2,г = = 1 2,1 = СС2 = 1/2. Тогда после подстановки полученных значений в (12—39) последнее преобразуется к виду (12—19), т. е. получим формулу модифицированного метода Эйлера. Отсюда следует, что формулы Эйлера являются частными случаями формул Рунге—Кутта первого и второго порядков. [c.361]

Самым грубым приближением к у (х h) было бы Ь hf (а, Ъ). Для более точной квадратичной аппроксимации нужно вычислять частные производные функции / [х, у) в точке (а, Ь). Это, однако, неудобно. Поэтому обычно пользуются другим методом, известным как метод Рунге — Кутта, позволяющий аппроксимировать у х h) с точностью до первых четырех членов ряда Тейлора путем вычисления ироизводной в нескольких определенным образом [c.114]

Наибольшее распространение в вычислительной практике имеют формулы Рунге—Кутта четвертого порядка, которые получаются из общих соотношений (12—34) — (12—37) при с = 4. [c.361]

Пример 2. Рассмотрим сравнительную оценку различных формул интегрирования на простейшем примере. Пусть в сосуд объемом V, заполненный жидкостью состава Хд, с постоянной скоростью Р подается жидкость состава ис такой же скоростью выводится жидкость из сосуда. Полагая, что жидкость в сосуде идеально перемешивается, найти зависимость концентрации на выходе сосуда, используя формулы Эйлера и Рунге—Кутта. [c.363]

Решение уравнения (12—49) по формулам Эйлера (12—17) и (12—19), а также по формулам Рунге—Кутта (12—47) для интервала времени О < 40 приведено в табл. 22. [c.363]

Задание. Срставьте программу для интегрирования уравнений (2) и (3) при произвольных начальных условиях методом Рунге — Кутта. Исполь- [c.319]

Были получены значения всех переменных вдоль характеристических линий времени. Для каждого отрезка времени рассчиты вали кривые полного распределения температур и давлений, затем временной отрезок увеличивали и находили новые кривые распределения. Все значения вдоль характеристики л = О находили по методу Рунге—Кутта—Джилла из уравнения (111,219) при [c.270]

Если = о для всех/>.г, формула (3.102) называется полунеявной, в противном случае — неявной. При использовании квазилинеаризации алгоритм сохраняет свойства явного метода. Оператор перехода Л(со) в этом случае имеет вид К а>) = Рт о )10р ( )), где Рт( ), < р (о)) — полиномы степени тир соответственно. Щ<л) часто аппроксимируют видом ехр (со), принимая тп р 3. Наиболее популярна явная схема Рунге — Кутта четвертого порядка точности вида [c.184]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Поскольку в Л-устойчивых методах шаг интегрирования значительно больше, чем в традиционных способах Рунге — Кутта или Адамса, то интервал решения покрывается за меньшее число шагов, что и приводит к общему выигрышу во времени счета по сравнению с традиционными способами. Однако на одном шаге интегрирования Л-устойчивые методы требуют гораздо больших временных затрат. И если на интервале решения имеются нежесткие зоны, то с целью повышения экономичности алгоритма и уменьшения времени счета их предпочтительнее проходить традиционными способами. Взаимное рас- [c.191]

Уравнение (VIII,27) можно репшть на вычислительной машине, используя правило Симпсона и располагая экспериментальными значениями U, U f, Н, H f, е ,а, Р, Dq- Аналогично по опытным значениям этих переменных можно, используя метод Рунге—Кутта, решить уравнение (VIII,32). [c.349]

Расширением пределов этого метода будет так называемая чеявная схема Рунге—Кутты [c.148]

Существенным моментом при создании специализированных пакетов прикладшхх программ является использование одного или ограниченной совокупности методов для решения широкого класса задач. Значительный опыт по разработке таких систем накоплен при решении дифференциальных уравнений, для описания динамических систем (расчет траекторий полета спутников, баллистика и т. д.). К таким системам можно отнести системы MIDAS [17], MIMI [18], в основе которых используются формулы Рунге— Кутта различного порядка. [c.275]

Система 2к дифференциальных уравнений (7.309) и (7.309а) с заданными начальными условиями решается на ЭВМ с использованием соотношений (7.310), (7.311), (7.312), (7.312а) методом Рунге—Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага. [c.377]

В основе формул Рунге — Кутта используется следующее допу-щенпе. Поскольку определение производных высокого порядка в разложении решения в ряд Тейлора сопряжено со значительными вычислительными трудностями, вместо уравнения (12—12) используется линейная комбинация вида [40] [c.359]

На каждом шаге интегрироваипя по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения. Это приведет к увеличению времени счета, однако компенсируется более высокой точностью формулы, в силу чего интегрирование можно вести с большим шагом. При использовании вычислительных машин выбор величины шага интегрирования производится автоматически в процессе интегрирования. Изменение шага обычно производится по результатам сравнения решений, получаемых на некотором интервале интегрированием с целым и половинным шагом. Если результаты этих двух вычислений совпадают с заданной точностью, то шаг для дальнейшего интегрирования остается прежним или увеличивается, в противном случае уменьшается. [c.362]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология