Борна циклические граничные условия

Один из способов сохранения трансляционной симметрии конечных систем — наложение циклических граничных условий (условия Борна—фон-Кармана). Поясним их существо на простых примерах цепочки из атомов водорода Н(1), полиена (II) без альтернации простых и двойных связей и стопочной цепочки комплекса Pt( N)4 , который можно заменить для простоты рассуждений на РШ (III) [c.525]

В работах [16—18] был предложен подход к решению задачи о дефектах (примесных и адсорбционных центрах), позволяющий частично преодолеть указанную трудность и в то же время сохраняющий молекулярный характер модели кристалла. Суть его заключается в том, что на фрагмент кристалла накладываются периодические граничные условия Борна — Кармана. Поскольку такие граничные условия можно наложить только на фрагмент, имеющий форму элементарной ячейки (минимальной или расширенной), предложенный подход был назван [17, 18] моделью расширенной элементарной ячейки (РЭЯ). Чтобы отличать фрагменты, замкнутые циклическими граничными условиями, от кластеров, будем называть их в дальнейшем квазимолекулами. [c.54]

Нормальная волна, распространяющаяся по кристаллу, характеризуется частотой V и волновым вектором я, который определяет направление движения фронта волны. Такой волне соответствует движущаяся квазичастица с энергией ку — фонон. Если принять циклические граничные условия Борна — Кармана, то число значений волнового вектора равно числу ячеек в кристалле N. Для жестких молекул, каждая из которых имеет 3 трансляционные и 3 либрационные стенени свободы, при всяком ненулевом значении q существует 6Z нормальных волн с различной поляризацией, где 2 — число молекул в ячейке. Следовательно, в этом случае для характеристики колебательного движения в молекулярном кристалле требуется определить 6ZN частот. Функция, выражающая зависимость частот от волнового вектора, состоит из 62 дисперсионных поверхностей, называемых также ветвями или модами. Нередко исследуют только [c.161]

Необходимо иметь в виду, что эти циклические граничные условия были предложены Борном для удобства математических расчетов. [c.67]

Трансляционная симметрия предполагает бесконечную протяженность кристалла, т.е. отсутствие у него границ раздела с окружающей средой. Однако, естественно, реальные кристаллические структуры не являются бесконечными и, следовательно, не могут обладать трансляционной симметрией. Все же для того чтобы хотя бы формально сохранить свойство трансляционной симметрии, которое, как станет ясно из дальнейшего изложения, в существенной мере упрощает математический аппарат зонной теории, вводят понятие циклических граничных условий Борна—Кармана. [c.7]

Переход к симметрическим координатам вида (17) соответствует наложению на задачу циклического граничного условия Борна—Кармана. Оно означает, что решения уравнений (16) ищут в виде плоских волн, распространяющихся в направлениях, задаваемых волновым вектором q [c.164]

Раман отказывается от упомянутых выше циклических граничных условий Борна, считая, что нормальные колебания частиц кристалла не следует отождествлять со всеми волновыми движениями, следующими из циклических условий. Вместо этого Раман постулирует, что отношения смещений а, (3, у любых двух соседних эквивалентных атомов, расположенных вдоль какой-нибудь из трех главных осей решетки Бравэ и участвующих в нормальном колебании, вещественны и одинаковы для каждой пары таких атомов [c.395]

Выражение (10.18) удовлетворяет граничному условию, что волновая функция равна нулю в начале и в конце решетки. Для бесконечных систем такое граничное условие становится неадекватным, а уже упомянутое циклическое граничное условие Борна— фон Кармана допускает второе независимое решение [c.231]

Рассмотрим теперь элементы N, N% N3, принадлежащие конечной группе трансляций, полученной на основе циклических граничных условий Борна. Для них имеется то же самое число неприводимых представлений, поскольку каждый элемент этой группы сам образует класс. Запишем характер /-го представления [c.33]

Приведенные выше соотношения были получены для системы, состоящей из N атомов. В реальном случае приходится иметь дело с образцами, содержащими настолько большое число атомов, что можно считать N— оо. Обсуждение динамики решетки бесконечно большого кристалла сильно упрощает построение теории, так как полная периодичность идеальной решетки является следствием отсутствия границ. Однако в этом случае величйны, относящиеся ко всему кристаллу, оказываются бесконечно большими. Но такие величины можно нормировать на конечный объем надлежащим выбором граничных условий [2, 3]. Для этого необходимо рассмотреть бесконечно протяженный кристалл, разделенный на макрокристаллы, каждый из которых содержит Ь ХЬ ХЬ=М элементарных ячеек. Любой из этих макрокристаллов можно рассматривать как физический кристалл, колебательные свойства которого мы исследуем. Циклические граничные условия (условия Борна — Кармана) представляют собой требование периодичности смещений атомов в соответствии с периодом макрокристалла, т. е. [c.15]

Попытка обойти возникающие трудности введением циклических граничных условий (условия Борна— Кармана) на концах цепи. Метод применим только к цепям с целым числом кристаллографических элементарных ячеек. Положим, цепь имеет г кристаллографических элементарных ячеек, каждая ячейка содержит р повторяющихся единиц, а каждая такая единица — т атомов. Порядок векового уравнения будет, очевидно, равен Зргт и быстро растет с увеличением г, однако, используя циклические условия, этот определитель можно привести к квазидиагональному виду, в котором блоки имеют порядок Зрт. Указанный метод применялся для изучения нормальных колебаний н-парафинов [34]. Однако и в этом случае порядки уравнений типа (1) еще достаточно высоки. (Например, для полиэтилена 18, полиоксиметилена 108, изотактического полипропилена 81.) Математически (но не физически) эквивалентный метод основан на модели бесконечной цепи, в кото- [c.252]

Этот подход известен под названием периодических циклических) граничных условий Борна-Кармана. В одно- или двумерном случаях они выполняются автоматически, если кристалл , представляющий собой линейную пепочку (плоскость), свернут в кольпо (образует пилиндрическую поверхность). Для трехмерного случая геометрической интерпретапии, конечно, не существует. Считая, как и в гл. 4, что упругие смещения имеют вид плоских волн [c.101]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология