Ряды сферических функций

Между рядами Фурье и сферических функций много общего. Если ряд Фурье заменяет на некотором интервале профиля или по площади исходную функцию суммой знакопеременных тригонометрических полиномов, то ряд сферических функций заменяет функцию на сфере суммой знакопеременных на ней сферических функций. [c.406]

Этот ряд является рядом сферических функций, а конкретнее - рядом полиномов Лежандра. Он сходится равномерно при всех значениях р/Н < 1 или р < К н при О < 0 < тг. [c.411]

Обратимся теперь к уравнениям (3.101) и (3.109) и представим их в виде разложения в ряд сферических функций, используя для левой части (3.173) и для правой части (3.179). Почленное сопоставление разложений левой и правой частей дает следующие равноценные выражения для мультипольных компонент [c.191]

Разложим в этом выражении функцию 1/Я в ряд сферических функций (3.179). Тогда ее производная по координате Хо будет выражаться как [c.215]

Выражения для производных по д о и г о аналогичны. Подставляя выражения для производных в (3.246) и учитывая (3.182), получим разложение радиальной компоненты магнитной индукции в ряд сферических функций, где каждый член порядка п соответствует члену порядка и+1 в разложении функции 1/Л. Вычислим члены разложения В,, соответствующие значениям и = 1, 2 и 3 в разложении функции 1/Л (для выполнения необходимых, преобразований воспользуемся рекуррентными соотношениями для сферических функций, приведенными, например, в [110]). [c.215]

Известны также соотношения, позволяющие вычислить электрические мультипольные компоненты непосредственно по измерениям потенциала на поверхности объекта без промежуточного определения потенциала в однородном неограниченном проводнике [109, ПО]. Для их получения нужно в обоих слагаемых уравнения (3.160) разложить функцию 1/Я в ряд сферических функций (3.179) и почленно сопоставить разложения. В итоге получается следующее выражение для электрических мультипольных компонент через потенциал на поверхности 5 ограниченного проводника с удельной электрической проводимостью а [c.222]

Учитывая, что между рядами Фурье и рядами сферических функций имеется много общего, и то место, которое занимают в последние годы в гравиразведке и магниторазведке ряды сферических функций благодаря новым работам В.Н. Страхова, автор включил в книгу главу с основными сведениями о них. [c.8]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ В ВИДЕ РЯДОВ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [c.406]

Ряды сферических функций [c.413]

Выше было рассмотрено разложение функции 1 /г в ряд простейших сферических функций - полиномов Лежандра. Рассмотрим более общий случай разложения функции в ряд сферических функций общего вида. [c.413]

Возможность разложения функции Д0, X) в ряд сферических функций следует из следующей теоремы всякая функция Д0, X,),, гармоническая внутри сферы радиуса /2 = 1 и обращающаяся на этой сфере в заданную функцию Д0, X), разлагается для всякой внутренней точки сферы в бесконечный ряд многочленов У (0, X), принадлежащих к заданной функции Д0, X). Такое же положение и для функций, гармоничных вне сферы. Для всех тех функций, с которыми приходится иметь дело на практике, такое разложение является единственным. [c.413]

Более полный вид ряда сферических функций (9.1) получим, заменяя в нем функцию У ее выражением из равенства (9.2) [c.413]

Таким образом, при разложении некоторой функции Д6, А,) (например, потенциала силы тяжести или магнитного потенциала) в ряд сферических функций ее представляют комбинацией знакопеременных на сфере функций, таких, которые в сумме дают исходную функцию Д0, X). При этом более мелкие (локальные) детали функции Д0, X) учитываются более высокими гармониками разложения (членами с большими номерами индексов ппк), низкие гармоники разложения учитывают детали, простирающиеся на большие площади [региональные особенности функции Д0, X)]. [c.415]

Можно провести параллель между рядом Фурье и рядом сферических функций - совершенно так же, как ряд Фурье заменяет исходную функцию вдоль профиля суммой знакопеременных тригонометрических полиномов, ряд сферических функций заменяет функцию на сфере суммой знакопеременных на ней сферических функций. [c.415]

Представление потенциала силы тяжести Земли в виде ряда сферических функций [c.415]

Формулу (9.14) можно записать в виде ряда сферических функций (так же как и выражение любого другого вида потенциала притяжения), если в ней заменить функцию 1/г ее выражением из равенства (9.8), представленным в виде ряда полиномов Лежандра при р > Я [c.416]

Эта формула, полученная в результате разложения потенциала силы тяжести в ряд сферических функций (так же как и формула (9,16), если пренебречь в ней величиной Г), в отличие от формулы (9,14) позволяет исследовать потенциал силы тяжести Земли и применять его для решения различных задач, [c.417]

Представление потенциала магнитного поля Земли и его производных в виде ряда сферических функций [c.418]

Пользуясь разложением функции 1 /г в ряд сферических функций, определяемых формулой (9.8) при р > / , а именно [c.418]

Метод мультипольного разложения электрического поля основан на принципе единства трех определений мультипольных компонент -они одновременно являются, во-первых, коэффициентами разложения скалярного потенциала в однородцом неограниченном проводнике вне области источников тока в ряд сферических функций во-вторых, интегральными характеристиками источников, аналогичными механическим моментам распределения масс в пространстве в-третьих, параметрами идеализированных источников - точечных мультиполей, расположенных в начале координат. Ниже будут приведены математические соотношения, соответствующие этим определениям. [c.188]

Потенциальная функция Кпрямо не измеряется, но, применив уравнение (6), мы можем получить выражения для геомагнитных элементов X, У и Z. Если ряды сферических функций ограничить конечными значениями и и ш (в общем случае и = ш 12), то для определения коэффициентов Гаусса можно использовать регрессионный анализ, который обеспечивает наилучшее соответствие для десятков тысяч значений геомагнитных элементов, полученных с помощью Мировой магнитной съемки. Когда это было сделано, то обнаружилось, что вклад внешних источни- [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология