Приближение линейного шума

Приближение линейного шума 245 [c.4]

Таким образом, мы нашли распределение флуктуаций вблизи макроскопического значения. Вычисления были проведены с точностью до порядка 01/2 по отношению к макроскопическому значению п. Эго приближение будем называть приближением линейного шума. В этом порядке по 2 шум является гауссовым даже для зависящих от времени состояний вдали от равновесия. Высшие поправки вычисляются в 9.6. Эти поправки модифицируют гауссов характер шума. Однако они имеют порядок О" по отношению к п, что эквивалентно примерно одной молекуле. [c.236]

Это линейное уравнение Фоккера —Планка, коэффициенты которого зависят от времени через <р. Это приближение мы назвали в 9.1 приближением линейного шума . Решение уравнения (9.4.1), как было показано в 8.6 гауссово, поэтому достаточно определить первый и второй моменты I. Умножая (9.4.1) на и соответственно, получаем [c.246]

Резюме, Итак, мы достигли поставленной цели — решить основное кинетическое уравнение с начальным условием (9.2.1). Мы получили решение в приближении линейного шума с помощ,ью следующих трех шагов. [c.246]

Таким образом, в приближении линейного шума среднее описывается макроскопическим законом. [c.246]

Приближение линейного шума можно было бы также назвать гауссовым, однако следует понимать, что в О-разложении гауссов характер выводится, а не постулируется. [c.246]

Корректность макроскопического закона (9.3.1) была доказана строго в следующем смысле. Выберем временной интервал (О, Т) с допустимой ошибкой б > 0. Тогда вероятность того, что для всех (0, Т) истинное значение х отличается от <р(/) не более чем на б, стремится к 1 при 2- оо. Было также доказано , что ошибка стремится к распределению Гаусса, как это дается приближением линейного шума. Отметим, однако, что здесь Т фиксируется до того, как й устремляется к бесконечности, а это означает, что ничего [c.249]

Однако даже в настоящем случае можно было бы записать нелинейное уравнение Фоккера — Планка и соответствующее уравнение Ланжевена, которые в части, касающейся приближений линейного шума, привели бы к тем же самым результатам, что и найденные здесь . [c.249]

Упражнение. Запишите приближение линейного шума для решения Р Х, ty с начальным значением (9.2.8) явно в терминах ф и решение (9.4.2). Упражнение. Убедитесь в том, что в приближение линейного шума в устойчивом стационарном состоянии всегда приводит к процессу Орнштейна — Уленбека. [c.250]

Упражнение. Убедитесь в том, что (9.5.6) — это не что иное, как приближение линейного шума для (8.5.1). [c.250]

В этом параграфе мы рассмотрим высшие порядки, выходящие за рамки приближения линейного шума. Они добавляют к флуктуациям члены порядка относительно макроскопических величин, т. е. порядка отдельной частицы. Они также модифицируют макроскопическое уравнение, добавляя в него члены, имеющие тот же [c.254]

В то время как приближение линейного шума приводит к линейному уравнению Фоккера — Планка (9.4.1), высшие степени по 2-1/3 как мы сейчас увидим, ведут к следующим трем. модификациям. [c.255]

Нами было показано, что в низшем порядке Q-разложение приводит к микроскопическому уравнению, а в следуюш,ем порядке — к приближению линейного шума при условии, что выполняется условие устойчивости (9.3.4). Мы уже столкнулись с одним случаем, в котором это условие нарушается, когда Oj, (ф) = 0. В этом случае Q-разложение принимает совершенно иной вид и в низшем приближении дает нелинейное уравнение Фоккера — Планка. [c.259]

Рассмотрим решение основного кинетического уравнения, которое при / = 0 представляет собой дельта-пик, расположенный в некоторой точке (фо, г 5 ) на макроскопическом предельном цикле. Форма распределения вероятности (в приближении линейного шума) описывается уравнением [c.306]

В результате этого приближение линейного шума и даже само Q разложение нарушаются при / . Теперь интуиция подсказывает нам дальнейший ход событий. Плотность вероятности будет продолжать расширяться, пока не покроет весь предельный цикл, в то же время она останется узкой в перпендикулярном направлении. Получившееся в результате распределение Р п, т, оо) = Р (п, т) будет иметь вид кратера с горным хребтом на месте макроскопического [c.306]

Это и есть макроскопические уравнения, которые можно было бы вывести непосредственно из макроскопической картины. Для того чтобы определить также и флуктуации, нужно (12.4.8) систематически разложить по параметру А- % найти уравнения для вторых моментов в приближении линейного шума и дополнить их потоковыми членами. Однако, поскольку в нашем случае имеется два случайных поля и (г, к) и у (г), уравнения усложняются, и поэтому мы здесь их подробно не рассматриваем. [c.323]

Это уравнение определяет (в приближении линейного шума) флуктуации относительно решения уравнения Больцмана <и(г, р)>. [c.328]

В приближении линейного шума . В этом приближении флюктуации предполагаются такими малыми, что можно положить [c.87]

Упражнение. Покажите, что члены Фх, Фа. .. в (9.2.4) не дают вклада в приближение линейного шума. Тогда различие между (9.3.1) и (5.8.6) в этом приближении несущественно. [c.250]

Мы получим общую формулу для автбкорреляционной функции флуктуаций (в приближении линейного шума) для устойчивого стационарного состояния. Отсюда следует, что можно выписать спектр флуктуаций для произвольной системы, не решая никаких специальных уравнений. Этот факт является основой обычной теории шума. [c.247]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология