Метод вариационный нелинейных уравнений

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Метод вариационного исчисления — используется в случаях, когда критерии оптимальности представляются в виде функционалов, решением которых являются искомые функции. Метод позволяет свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (дифференциальных уравнений Эйлера) с граничными условиями, число которых равно числу неизвестных функций. Значение каждой функции находят в результате интегрирования данной системы. [c.175]

Таким образом, из функционального уравнения динамического программирования мы получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (19). Решение этого уравнения с учетом соотношений (20) — (27) привело к соотношению (28), которое оказалось тождественным уравнению Эйлера — Лагранжа, выведенному с помощью методов вариационного исчисления. При другом варианте применения метода динамического программирования f х, у) можно было бы получить непосредственно из уравнения (19). Для этого нужно найти производные в каждой точке (х, у). [c.146]

Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

Для того чтобы иметь широкие возможности применять наиболее подходящий математический метод оптимизации, необходимо на базе всех существующих (методы решения линейных и нелинейных уравнений, методы поиска, вариационные методы, дискретный принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование, метод оврагов Гельфанда) методов оптимизации химикотехнологических комплексов и изучения устойчивости всего комплекса на внешние воздействия (колебания в сырье, температуре, давлении и пр.) разработать информационно-математическую систему. Эта система должна иметь средства для описания любого ХТК с желаемой степенью детализации, уметь выдавать сведения [c.157]

Рассмотрим в связи с этим методы решения вариационных задач, позволяющие избежать их вырождения . Отметим, что формулирование функционала (VI-40) определяется при постановке задачи, так что иногда можно предусмотреть нелинейную связь 1 ж х - В большинстве же реальных ситуаций зависимость / и х не выражается явно- Если, например, / определяет выход некоторого продукта, рассчитываемого в результате решения математического описания процесса, то определение в явном виде производной f по х невозможно. В этом случае целесообразно определить коэффициенты уравнения (VI-42) [c.213]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Лагранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосоиряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния. [c.149]

Я будем иногда писать В, Н и В, Я, соответственно. Для построения квазиньютоновских методов 1-го рода используем вариационный подход, а для построения квазиньютоновских методов 2-го рода — технику псевдообратных матриц. При применении вариационного подхода необходим критерий, минимизация которого дает возможность определить матрицы Е, О. Прежде всего, конечно, применим принцип наименьшего изменения аппроксимирующих матриц на каждой итерации, при котором в качестве критерия используется норма Фробениуса матриц Е или В. Основное отличие вывода квазиньютоновских методов минимизации 1-го рода от выхода квазиньютоновских методов 1-го рода, предназначенных для р е -шения систем нелинейных уравнений, будет состоять в требовании симметричности матриц В , Я , т. е. в выполнении условий (III, 47). [c.88]

Пробную функцию Ф вводится несколько переменных параметров, которые подбираются так, чтобы Е было возможно меньшим. Полученная функция Ф и значение величины Е будут давать соответствующие приближения к волновой функции и энергии основного состояния. Главное преимущество вариационного метода состоит в том, что используемые в нем параметры могут входить в выражения в нелинейном виде достоинство метода, использующего секулярное уравнение (или метод линейных вариаций), заключается в том, что он одновременно дает верхние границы для основного и ряда возбужденных состояний, к тому же он существенно проще с вычислительной точки зрения. [c.49]

Функция N1 (х, у) определяется формой элемента, расположением узлов, числом членов в полиноме. Разумеется, задача опять состоит в вычислении значений и,-. Это достигается применением какого-либо из известных численных методов, например вариационного метода, метода аппроксимирующих функций, метода Галер-кина, метода Монте-Карло и др. Используя граничные условия, получают ряд линейных (или нелинейных) алгебраических уравнений, в которые входят узловые значения переменных К как неизвестные величины. [c.597]

Одно ИЗ принципиальных преимуществ динамического программирования в приложении к вариационным задачам состоит в том, что для основного нелинейного уравнения в частных производных [см. уравнение (19) разд. 14, уравнение (9) разд. 15 и уравнение (13) разд. 16] получается задача Коши, а не двухточечная граничная задача. Задачу Коши по существу легче решать, поскольку не встречаются неприятности, связанные с подбором значений в методе проб и ошибок при решении двухточечной граничной задачи. [c.162]

Конечно, развитие нелинейной теории не повлияет на справедливость канонического формализма термодинамики. Только первая группа канонических уравнений поля (6.165) изменится в соответствии с потенциалом рассеяния, взятым за основу. Интегральный принцип и вторая группа канонических полевых уравнений (уравнений баланса) останется справедливой при любых условиях. Это должно быть так, поскольку область применимости и точность канонического формализма, разработанного Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном, основывается на математических методах вариационного исчисления и не зависит от того, к какой физической дисциплине этот формализм применяется. Другое дело, что это чрезвычайно мощное оружие математической физики только в наши дни начало применяться в термодинамике, хотя знаменитые работы Лагранжа (Аналитическая механика, 1788 г.), Фурье (Аналитическая теория тепла, 1822 г.), Навье (1822 г.), Стокса (1845 г.) и Фика (О диффузии, 1855 г.) уже давно дали для этого достаточную основу. Такая задержка почти на столетие и явилась причиной для создания этой книги по принципу bis dat qui ito dat ). Итак, автор просит читателя судить о недостатках этой книги — особенно гл. VI, — принимая во внимание безуспешные исследования в течение столетия. [c.260]

Статьи Гоулда с сотр. затрагивают проблему оптимизации управления реактором как нелинейной системы. В работе Бичера и Гоулда обсуждается возможность динамической оптимизации при помощи цифровых машин. Пользуясь методами вариационного исчисления, они вывели систему уравнений Эйлера— Лагранжа, решаемую для определения оптимального пути, по которому должен следовать процесс в реакторе после внесения возмущения. [c.120]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 232), обычно позволяющие свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнений Эйлера. [c.32]

При описании нелинейных случайных процессов с помощью функционального метода возникают серьезные трудности, связанные с новизной математического аппарата и с отсутствием не только общих методов решения уравнений в вариационных производных, которым подчиняются характеристические функционалы, но и самих формулировок задач. По существу, до недавнего времени была сформулирована лишь начальная задача о характеристическом функционале, описывающем турбулентное течение несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Между тем особенности [c.204]

Уравнение (2.24) всегда имеет изотропное решение (/а = 1/4л независимо от а), однако, если ФЫВ достаточно велико, может иметь также анизотропное решение, описывающее нематическую фазу. Нелинейное интегральное уравнение (2.24) точно решить трудно. Онсагер использовал вариационный метод и пробную функцию вида [c.52]

Таким образом, вариационный принцип приводит к ряду совместных уравнений для функций и. Эти уравнения очень сложны, так как являются нелинейными и интегро-дифференциальными, вследствие наличия под знаком интеграла в (14.27) u[ai)u a ). Метод Хартри заключается в решении этой системы уравнений при помощи численного интегрирования с помощью процесса последовательных приближений. [c.344]

Применение вариационных принципов к нелинейным системам с зависимыми от температуры параметрами рассматривается в гл. 5. Обобщение понятия термодинамического потенциала приводит к уравнениям, аналогичным тем, которые были получены для линейных систем. При определенных условиях метод сопряженных полей может использоваться в нелинейных задачах. Рассматриваются также частные нелинейные задачи с нелинейными свойствами. К ним относятся, например, задачи [c.10]

Определение функции распределения по кинетическому уравнению— основная задача как в статистической механике, так и в кинетической теории. В линейной области, соответствующей малым отклонениям от локального равновесия, можно с успехом использовать вариационный метод [131]. Заметим, что при рассмотрении несамосопряженных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153]. [c.146]

Для линейных уравнений существует много различных методов (конечно-разностные схемы, вариационные методы и пр.). Они подробно изложены в прекрасных учебниках, к которым мы и отсылаем читателя (напрпмер, [87]). Но в случае нелинейных уравнений положение гораздо хуже. Для большинства задач, связанных с необратимыми процессами, трудность заключается еще в том, что дифференциальные уравнения являются несамосопряженными (см. гл, 12) и их нельзя вывести из какого-нибудь экстремального (минимального или максимального) принципа. Поэтому их нельзя исследовать классическими вариационными методами например, такой мощный метод, как метод Релея — Ритца [87], уже неприменим. Тонти [178] развил вариационное исчисление в применении к некоторым нелинейным задачам. [c.126]

Bo всем предыдущем рассмотрении мы не задавались определенной формой каждой молекулярной орбитали i] . Так же, как и при расчетах атомов, можно найти наилучшие 4 , решив уравнения Фока. Соответствующая процедура решения системы нелинейных дифференциальных уравнений всегда является трудной задачей, поэтому воспользуемся приближенными выражениями для i]3j. В качестве приближения мы используем липейпый вариационный метод , в котором представляют в виде линейной комбинации [c.61]

Пол5 нное дифференциальное уравнение колебательного процесса (12) является нелинейным, неоднородным уравнением с периодическими коэффициентами, точное решение которого в общем случае получить не удалось. Однако приближенное решение его можно получить с различной степенью точности при помощи различных вариационных методов. Но прежде чем отыскивать решение уравнения (12), необходимо, исходя из анализа условий движения клапана [c.264]

Этим завершается наш анализ статуса расчетов, бази-руюш,ихся на использовании Теперь можно было бы пойти дальше и рассмотреть использование функционала уполучаемого из /Ц путем замены функций ф и приближениями к ним, и т. д. Однако точно так же, как и в методе НХФ, ситуация здесь становится, очевидно, еще более запутанной, и мы не будем пытаться исследовать ее, ограничившись лишь упоминанием нескольких фактов. Прежде всего, если в рамках линейного вариационного метода действительно применяется теория возмущений, то, как указывалось в конце 30, подобная процедура будет совершенно последовательной и корректной. С другой стороны, как указывалось и на это, такой подход к записи основных уравнений также оказывается чрезмерно сложным. Во-вторых, хотелось бы подчеркнуть, что если приближенные функции достаточно точны, так что всевозможные интегралы [например, интегралы, содержащие равны нулю с некоторым соответствующим числом десятичных знаков, то вновь указанная процедура будет полностью совместной. В качестве рассмотренного явным образом случая мы можем упомянуть расчеты Шерра с сотр. [24], основывающиеся на разложении по Эти авторы используют функционалы /н и т. д. с приближенными функциями, определенными в низших порядках, причем они получались из множеств пробных функций, содержащих как нелинейные, так и линейные параметры. Наконец, мы касались вопросов совместности и априорного смысла. Если, однако, не беспокоиться о такого рода проблемах, то использование функционалов и т. д. можно рассматривать [c.273]

Из всего вышесказанного вытекает, что нелинейные теории, представленные конститутивными уравнениями (В.8) и (В.9), также охватываются нашим вариационным принципом (мы сочли необходимым еще раз подчеркнуть это обстоятельство). Поэтому в будущем необхо-дпмо прежде всего проверить справедливость соотио-шений взаимности более высокого порядка с помощью экспериментальных и статистических исследований. С теоретической точки зрения кал<ется, что метод Терлецкого [87, 89, 90], опирающийся на точный метод Гиббса, является наиболее надежным и ведет к цели кратчайшим путем. Конечно, может оказаться, что в ре- [c.288]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология