Процесс Орнштейна—Уленбека

Упражнение. Пусть К(Г) — процесс Орнштейна — Уленбека определим Z t) t [c.91]

Упражнение. В процессе Орнштейна—Уленбека измените масштаб переменны-х у- ау, t — — и покажите, что в соответствующим образом выбранном пределе по а и величина Pj i сводится к вероятности перехода для вине ровского процесса. [c.91]

Упражнение. Тот же вопрос для процесса Орнштейна — Уленбека. Упражнение. Процесс с независимыми приращениями—это однородный Марков ский процесс с вероятностью перехода [c.94]

Если Al <0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера — Планка, является процессом Орнштейна — Уленбека. При Лх О стационарного распределения вероятности не существует. [c.196]

Это линейное уравнение Фоккера — Планка. С точностью до константы, которую можно устранить масштабным преобразованием, оно совпадает с уравнением (4.3.20), описывающим вероятность перехода для процесса Орнштейна — Уленбека. Стационарное решение уравнения (8.4.6) совпадает с Р, заданным (4.3.10). Тогда в состоянии равновесия У(/) —процесс Орнштейна — Уленбека. [c.206]

Итак, мы описали поведение частицы в мелкомасштабной временной шкале. Теперь мы должны получить отсюда огрубленное описание, как это было сделано в 8.3. Рассмотрим ансамбль одинаковых, но независимых броуновских частиц, которые при / = 0 все находятся в точке Х = 0 со скоростями, распределенными по равновесному закону. Их скорости составляют процесс Орнштейна — Уленбека, и нам нужно изучить случайный процесс Х(/), определенный следующим образом [c.207]

Таким образом, наше дополнительное приближение для окрестности п приводит к линейному уравнению Фоккера — Планка, имеющему такой же вид, как и (4.3.20) и (8.4.6). Следовательно, флуктуации в стацио арном состоянии опять оказываются процессом Орнштейна — Уленбека. В 10.4 будет показано, что приближение (8.5.6) является непротиворечивым. [c.210]

Упражнение. Подставьте (8.8.4) в характеристический функционал V (t) и по том используйте (8.8.10). В результате должно получиться явное выра жение для характеристического функционала V (t) и, следовательно, для всех его моментов. Докажите таким способом эквивалентность процессу Орнштейна — Уленбека, следующую из (8.8.8). [c.223]

Упражнение. Процесс Орнштейна —Уленбека (4.3.10) и (4.3.11) удовлетворяет обобщенному уравнению Ланжевена с ядром, обладающим памятью-. [c.224]

В частности, давайте возьмем для ф стационарное решение уравнения (9.1.10) Ф = ф- = 1. Тогда (9.1.11) сводится к не зависящему от времени уравнению Фоккера — Планка, решением которого является процесс Орнштейна — Уленбека. [c.236]

Упражнение. Запишите приближение линейного шума для решения Р Х, ty с начальным значением (9.2.8) явно в терминах ф и решение (9.4.2). Упражнение. Убедитесь в том, что в приближение линейного шума в устойчивом стационарном состоянии всегда приводит к процессу Орнштейна — Уленбека. [c.250]

Упражнение. В области намного ниже порога можно пренебречь нелинейными членами в (11.9.2) и (11.9.4). В этом случае Е является процессом Орнштейна — Уленбека [c.311]

Упражнение. Как и в (14.1,2), возьмите о)о),,но предположите теперь, что 5 — процесс Орнштейна — Уленбека. Покажите, что в соответствующих единицах [c.370]

Применение процесса Орнштейна-Уленбека для моделирования колебаний уровня бессточного водоема со слабой зависимостью слоя испарения от уровня [c.55]

Будем считать, что приток речной воды и испарение описываются уравнениями непрерывной авторегрессии первого порядка (процессами Орнштейна-Уленбека) с известными математическими ожиданиями, дисперсиями и автокорреляционными функциями. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса бессточного водоема, которое получается из уравнений (2.1.8) и (2.1.9) при а, = <52, с 2 = О (изменчивость слоя испарения считается малой величиной по сравнению с изменчивостью слоя стока) [c.70]

Определим теперь случайный процесс Орнштейна — Уленбека как процесс, задаваемый следующей иерархией плотностей вероятности [c.77]

Так называемый процесс Орнштейна — Уленбека Xt удовлетворяет уравнению (2.113), если l t — гауссовский белый шум. Пока мы еще не располагаем всем необходимым математическим аппаратом, чтобы установить этот факт на доказательном уровне, и вернемся к затронутой нами проблеме в гл. 5. По определению процесс Орнштейна — Уленбека (процесс ОУ), как и винеровский процесс, является гауссовским. Процесс ОУ разделяет с винеровским процессом еще одно общее свойство его траектории также почти наверное непрерывны. Поскольку в гл. 4 мы докажем это утверждение попутно в более общем контексте, нам не хотелось бы приводить сейчас сколько-нибудь подробно его доказательство с помощью критерия Колмогорова. Процесс ОУ отличается от винеровского процесса двумя важными особенностями. [c.77]

Рассмотрим теперь проинтегрированный процесс Орнштейна— Уленбека [c.78]

Винеровский процесс и процесс Орнштейна — Уленбека могут служить двумя примерами случайных процессов, моделирующих непрерывно изменяющиеся физические величины и имеющих поэтому согласующиеся с гладкими зависимостями почти наверное непрерывные траектории. Обратимся теперь к другой крайности — величинам, изменяющимся только дискретными шагами. Основным примером для этого класса и в известном смысле дискретным аналогом винеровского процесса является пуассоновский процесс. Он указывает, сколько раз происходит интересующее нас событие за интервал времени от О до t. Каждая выборочная функция имеет вид неубывающей ступенчатой функции, т. е. пуассоновский процесс не имеет почти наверное непрерывных траекторий. Ясно, что по определению все траектории при = О выходят из нуля, т. е. [c.79]

Три основных элемента характеризуют случайный процесс характер пространства состояний, множество допустимых значений индексного параметра 6 и функциональная зависимость между случайными переменными До сих пор мы по существу рассматривали лишь первых два элемента случайных процессов, используемых как математические модели флуктуаций среды. Множество допустимых значений параметра 0 во всех случаях тривиально это не что иное, как ось времени. Что касается пространства состояний, то мы проводили различие между непрерывно изменяющимися и дискретными внешними параметрами. Опираясь на центральную предельную теорему, можно утверждать, что моделью непрерывно изменяющихся внешних параметров может быть случайный процесс с гауссовским распределением вероятности. В качестве основных примеров гауссовских случайных процессов мы рассмотрели в предыдущей главе два способа описания движения броуновской частицы винеровский процесс и процесс Орнштейна — Уленбека. [c.81]

Нетрудно видеть, что для часто встречающегося случая экспоненциально убывающей корреляционной функции (например, для процесса Орнштейна — Уленбека (2.123)) [c.83]

Еще раз о процессе Орнштейна — Уленбека. [c.103]

В качестве первого приложения спектральной теории оператора Фоккера — Планка мы рассмотрим броуновское движение в пространстве скоростей, т. е. процесс Орнштейна — Уленбека, задаваемый СДУ [c.196]

Здесь 61=—оо, б2 = +оо, и обе границы, как нетрудно проверить, естественные по Феллеру. Это означает, что процесс Орнштейна — Уленбека не удовлетворяет условиям теоремы Эллиотта. СДУ (6.125) можно привести к безразмерному стандартному виду с помощью преобразования подобия по времени [c.196]

Спектр процесса Орнштейна — Уленбека (6.125) чисто дискретный [c.197]

Здесь Рз — стационарная плотность вероятности процесса Орнштейна — Уленбека. [c.289]

Упражнение. В процессе Орнштейна—Уленбека измените масштаб переменных у-=ау, — и покажите, что в соответствующим образом выбранном [c.91]

Упражнение. Вычислите (14.6.1), когда j (i)—процесс Орнштейна — Уленбека Упражненне. Запишите обобщение формулы (14.6.1) для многокомпонентного уравнения (14.2.1). Каковы условия его-справедливости [c.367]

Положим, что сток и скорость видимого испарения - случайные процессы Орнштейна-Уленбека (это предположение можно существенно ослабить и рассматривать марковские процессы с сильным "перемешиванием"), кроме того, примем, что слой испарения (при учете взаимодействия залива Кара-Богаз-Гол и Каспийского моря к этой величине необходимо добавить слой стока в залив как функцию уровня) содержит тепловую компоненту, которая зависит от уровня моря. [c.64]

Если в качестве модели броуновского движения, т. е. случайного процесса, описывающего положение броуновской частицы, выбран винеровский процесс, то мгновенная скорость частицы в такой модели остается неопределенной. Более того, мгновенная скорость бесконечна, так как траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы. Этого можно избежать, если за основную случайную величину выбрать, как это сделали Уленбек и Орнштейн [2.7], скорость броуновской частицы. Рассмотренный этими авторами случайный процесс получил название процесса Орнштейна — Уленбека. Положение броуновской частицы в модели Орнштейна — Уленбека определяется путем интегрирования, а не задано непосредственно, как в ви-неровском процессе. Исходным пунктом в модели броуновского движения Орнштейна — Уленбека является разложение силы, действующей на взвешенную в жидкости частицу, на две части систематическую (трение —avt) и случайную Fty обусловленную не прекращающимися ни на миг толчками молекул окружающей жидкости [c.75]

Примеры процесс Орнштейна — Уленбека и уравнение Ферхюльста [c.196]

Индуцированные шумом переходы Теория и применение в физике,химии и биологии (1987) -- [ c.75 , c.79 , c.81 , c.86 , c.88 , c.91 , c.103 , c.104 , c.203 , c.262 , c.262 , c.263 , c.263 , c.269 , c.269 , c.272 , c.272 , c.283 , c.283 , c.289 , c.289 , c.300 , c.303 , c.337 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология