Проекции четырехмерных фигур на координатные плоскости

Аналогичным образом В. П. Радищевым были определень координаты вершин некоторых других четырехмерных и пятимерных фигур, а также построены их проекции на отдельные координатные плоскости. [c.19]

Характерные особенности оптимальных проекций четырехмерных фигур на координатные плоскости [c.13]

ПРОЕКЦИИ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ФИГУР НА КООРДИНАТНЫЕ ПЛОСКОСТИ [c.35]

Было найдено, что проекции многомерных фигур на различные координатные плоскости не равноценны с точки зрения их практической пригодности для построения диаграмм состояния химических систем. Анализ проекций различных четырехмерных фигур, полученных по методу Радищева, показал, что некоторые из них имеют такие проекции на координатные плоскости, применение которых не требует изображения компонентов в различных масштабах, а при проектировании совмещаются такие части фигуры, которые соответствуют областям кристаллизации одинаковых фаз системы. Такие проекции были названы оптимальными [6]. Было установлено, что метод оптимальных проекций — наиболее совершенный и, как будет подробно обосновано в дальнейшем, допускает изображение не только уже исследованных экспериментально систем с любым числом компонентов, но и построение их ориентировочных диаграмм состояния (или состав — свойство) на основе данных о низших составляющих системах. Следует, однако, указать, что помимо способов, основанных на применении многомерных геометрических фигур и их проекций, возможны и другие принципы изображения многокомпонентных систем. [c.11]

Для определения оптимальных проекций пяти-, шести-, семи-н так далее мерных фигур — аналогов тетраэдрического гексаэдроида — можно избрать тот же путь, что и при определении оптимальной проекции самой четырехмерной фигуры. Расположив фигуру соответствующим образом относительно системы координат, определяют последовательно значения координат вершин, на их основе строят проекции фигуры на все координатные плоскости и из полученных проекций выбирают оптимальную. Мы, однако, изберем более простой путь, основанный на закономерностях образования оптимальной плоской проекции тетраэдрического гексаэдроида. Выше было найдено, что для этой четырехмерной фигуры оптимальная проекция на координатные плоскости является проекцией третьего типа, т. е. полученной при проектировании лучами, параллельными одной из граней фигуры. При этом лучам должна быть обязательно параллельна одна из ее треугольных (а не квадратных) граней. Так как многомерные фигуры-ана- [c.29]

Одна из полученных проекций — проекция на координатную плоскость У (фиг. 24,г)—отличается тем, что на ней находят отражение все вершины и все ребра четырехмерной фигуры. Поэтому эта проекция весьма пригодна для качест- [c.45]

Проекция на координатную плоскость XV (фиг. 27, а) представляет проекцию пентатопа на грань АВС, которая изображена на фиг. 27, а без сжатия. В центре ее расположены проекции двух вершин — О я Е. В результате на данной проекции ребро ОЕ сжато до нуля, а ребра, соединяющие вершины 1) и В с другими вершинами, сжаты почти наполовину, по сравнению с остальными ребрами четырехмерной фигуры. Различная степень сжатия совпадающих частей пентатопа делает фиг. 27,а мало пригодной для применения. [c.50]

Геометрическое строение пентатопа давно известно, а значения координат его вершин были вычислены более полувека назад [2, 56]. Однако в литературе до сих пор описаны лишь некоторые из его проекций. Л ежду тем выше уже были приведены примеры, из которых видно, что не все проекции четырехмерных фигур на координатные плоскости в равной мере пригодны для построения диаграмм состояния многоко.м-понентных систем. Необходимо поэтому выяснить, имеется ли у пентатопа оптимальная проекция и каким образом ее мож- [c.47]

С 1949 г. мною были проведены работы по методам изображения многокомпонентных систем. Они представляют усовершенствование и дальнейшее развитие метода Радищева. Основные результаты этих работ изложены в четырех статьях, опубликованных за последние годы. В трех из них [9—111 подробно рассматриваются проекции на координатные плоскости, возможные для четырехмерных фигур, применяемых в физико-химическом анализе. Не все проекции равноценны в смысле наглядности изображения и удобства применения для построения химических диаграмм. Вместе с тем установлено, что для каждой четырехмерной фигуры возможны такие плоские проекции, на которых совмещенные элементы сжаты в равной мере, притом внутренние объемы фигуры, примыкающие к ребрам смежных граней, не заслонены другими ее частями. Такие прогкции были названы оптимальными, так как в случае построения при их помощи диаграмм многокомпонентных систем все компоненты изображаются в одинаковом масштабе (несмотря на наличие параллакса ), а отдельные фазы представлены в своих границах и не заслонены другими фазами системы (рис. 3 и 4). Перельман и Зворыкин [c.287]

Проекция на координатную плоскость ХТ (фиг. 21,в) получена путем проектирования тетраэдрического гексаэдроида на две смежные грани ЛСЛ1С1 и ВСВхС]. В результате обе эти грани на проекции полностью совмещены, а вершины Л и В, Л1 и В] слиты попарно. Вершины гексаэдроида В и Ох расположены на данной проекции между вершинами Л и С или Л) и С], а ребро ООх пересекает проекцию обеих смежных граней, что приводит к неравномерному сжатию и наложению различных частей гексаэдроида. Поэтому фиг. 21,в мало пригодна, хотя и обладает некоторым преимуществом, по сравнению с двумя предыдущими. Преимущество заключается в том, что проекции вершин С м. С изображены здесь в виде индивидуальных вершин квадрата, не совмещенных с проекциями других вершин четырехмерной фигуры. Так как различные составы системы, обогащенные компонентами, которым отвечают вершины С и С), в большинстве случаев находятся в равновесии с одинаковыми твердыми фазами, то при пользовании проекцией на координатную плоскость ХТ области кристаллизации этих фаз не заслонены. [c.40]

Из приведенных в настоящей главе данных следует, что при изображении пятикомпонентных систем наиболее удобно пользоваться теми четырехмерными фигурами, которые имеют оптимальные проекции на координатные плоскости. К числу таких фигур относятся, помимо пентатопа, тетраэдрический и призматический гексаэдроиды. Обе пирамидальные фигуры (пирамидальный гексаэдроид и пирамидальный гептаэдроид), к которым иногда прибегают для изображения пятерных систем, на деле мало пригодны. Что же касается призматического гептаэдроида, который в ряде случаев незаменим, то для него следует получить оптимальную проекцию на трехмерное координатное пространство, с тем чтобы построить соответствующие диаграммы состояния в виде моделей. [c.62]

Для изображения двухкомпонентного состава в барицентрической проекции берут две точки одной прямой в качестве координатных точек, изображающих каждая состав одного из компонентов, и с помощью барицентрического принципа находят на данной прямой положение точки, определяющей данный двухкомпонентный состав. Для изображения трех-комнонентного состава надо взять в качестве координатных три точки и тогда точка любого трехкомпонентного состава расположится в плоскости, определяемой тремя координатными точками. Четырехкомно-нентный состав может быть изображен точкой тетраэдра, четыре вершины которого являются координатными точками. По аналогии пятикомпонентный состав может мыслиться как точка в пентатопе — простейшей фигуре ( симплексе ) воображаемого четырехмерного пространства. Пентатоп представляет собою многогранник, имеющий пять вершин, из которых одна удалена в четвертое измерение . В качестве граней пентатоп имеет четыре обычных тетраэдра. Распространяя по аналогии эти построения на системы с еще большим числом компонентов, переходим к симплексам (т. е. простейшим многогранникам с минимальным числом вершин) возрастающего числа измерений. Для изображения состава из п независимых компонентов, очевидно, необходимо пространство с п—1 измерениями. [c.64]

Для более сложных взаимных систем существуют методы изображения в трехмерном пространстве и на плоскости. Их можно рассматривать как различные проекции тех или иных четырехмерных координатных фигур. Сюда относятся методы Вант-Гоффа [57], Енеке [58, 59] и др. Шестикомно-нентные и более сложные системы рассматриваются в трудах Лодочникова [60], Буке [61], Эйтеля [62], Радищева [63]. Еще более сложные системы и методы их изображения приводятся в работах Радищева [64, 65] и Перельман [66]. [c.11]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология