Тетраэдрический гексаэдроид

Рис. 5, Проекции тетраэдрического гексаэдроида второго типа (а — г) на различные координатные плоскости

Рис. 8. Плоские проекции тетраэдрического гексаэдроида третьего типа

Вторая проекция третьего типа (рис. 8,6) получена при проектировании тетраэдрического гексаэдроида лучами, параллельными двум параллельным между собой треугольным граням исходной фигуры. Поэтому шесть простых солей системы изображаются суммарно, по три в соответствующих вершинах проекции. Однако остальные две соли исходной системы ( > и В ) представлены на рис. 8, б в виде отдельных вершин. Учитывая, что совмещенные ребра сжаты в одинаковой степени и что здесь совмещены три смежные грани, получаем все условия, необходимые для образования оптимальной проекции. [c.19]

Таким образом, в случае тетраэдрического гексаэдроида для получения оптимальной проекции на координатную плоскость необходимо вести проектирование лучами, параллельными не вообще любой из его граней, но обязательно любой из его треугольных граней. В противном случае проекция третьего типа не оптимальна. [c.19]

Итак, многомерные фигуры, аналогичные тетраэдрическому гексаэдроиду, наиболее пригодны для изображения систем второго класса. При их использовании сумму концентраций обоих анионов принимают за 100%, а сумму концентраций всех катионов — тоже за 100%. [c.28]

Оптимальные проекции фигур, аналогичных тетраэдрическому гексаэдроиду [c.29]

Для определения оптимальных проекций пяти-, шести-, семи-н так далее мерных фигур — аналогов тетраэдрического гексаэдроида — можно избрать тот же путь, что и при определении оптимальной проекции самой четырехмерной фигуры. Расположив фигуру соответствующим образом относительно системы координат, определяют последовательно значения координат вершин, на их основе строят проекции фигуры на все координатные плоскости и из полученных проекций выбирают оптимальную. Мы, однако, изберем более простой путь, основанный на закономерностях образования оптимальной плоской проекции тетраэдрического гексаэдроида. Выше было найдено, что для этой четырехмерной фигуры оптимальная проекция на координатные плоскости является проекцией третьего типа, т. е. полученной при проектировании лучами, параллельными одной из граней фигуры. При этом лучам должна быть обязательно параллельна одна из ее треугольных (а не квадратных) граней. Так как многомерные фигуры-ана- [c.29]

Оптимальные проекции многомерных фигур данного класса определяем, как и в предыдущем случае, на основе общей закономерности в образовании оптимальных проекций аналогичной фигуры четвертого измерения. При рассмотрении свойств призматического гексаэдроида было установлено, что его оптимальная проекция на плоскости чертежа принадлежит к третьему типу и образуется в том случае, когда проекционные лучи параллельны одной из его квадратных граней. Очевидно, что по мере увеличения числа измерений исходной фигуры параллельной должна стать одна из ее ячеек третьего, четвертого и так далее измерений. В общем случае, если фигура изображает систему К//В, то это будет ячейка на два измерения ниже. При этом, однако, в ее состав должны обязательно входить квадратные грани. Такая проекция представлена на рис. 18. Как видно, проектирование здесь велось лучами, параллельными фигуре, изображающей низшую составляющую систему второго класса, т. е. аналогичную тетраэдрическому гексаэдроиду. Но фигуры этого типа характеризуются именно тем, что в их состав обязательно входят квадратные грани, представляющие отличительную особенность призм. При этом, если исходная фигура, изображавшая К + 2)-компонент- [c.34]

Оптимальная модель тетраэдрического гексаэдроида [c.46]

Рис. 23. Проекции тетраэдрического гексаэдроида на координатные

Однако тетраэдрический гексаэдроид имеет еще дв проекции второго типа. Одна из них (рис. 23,а) представляет собой [c.47]

Другая трехмерная проекция тетраэдрического гексаэдроида второго типа представлена на рис. 23, г. Это трехгранная призма, треугольные основания которой образованы всеми восемью вершинами исходной фигуры при этом четыре вершины изображаются каждая в отдельности — по две в верхнем и нижнем основании, а остальные четыре совмеш ены попарно и изображаются по две в каждой из вершин обоих оснований. Полученная модель — оптимальная проекция гексаэдроида в трехмерном пространстве. Она, очевидно, получена при проектировании исходной фигуры лучами, параллельными одному из ребер, входящих в состав треугольных граней гексаэдроида. [c.48]

Для построения проекций тетраэдрического гексаэдроида на координатные плоскости необходимо определить координаты его вершин, что может быть выполнено различными способами. Ниже описывается один из них. [c.36]

Значения координат для вершин тетраэдрического гексаэдроида [c.37]

Пользуясь полученными координатами вершин тетраэдрического гексаэдроида, построим его проекции на координатные плоскости (фиг. 21, а, б, в, г, д, е). [c.38]

Итак, все рассмотренные до сих пор фигуры практически мало пригодны для построения диаграмм состояния химических систем. Однако тетраэдрический гексаэдроид все же может быть спроектирован на плоскость таким образом, чтобы получалась проекция, применение которой было бы почти так же удобно, как и обычных квадратов, применяемых при изображении взаимных тройных систем. Такой проекцией будет проекция гексаэдроида на координатную плоскость 1Т, т. е. на три смежные грани ВВ ВОи СС ВВх (фиг. 21, е). [c.41]

Фиг. 22. Плоские проекции тетраэдрического гексаэдроида, найденные В. П. Радищевым.

Проекции тетраэдрического гексаэдроида на три координатные плоскости впервые были получены В. П. Радищевым (см. фиг. 22). На фиг. 21 им отвечают проекции на плоскости ХУ, хг, УТ [17]. [c.42]

С, А, Вь тетраэдрического гексаэдроида, а именно для [c.43]

Примем, что ребро пентатопа а равно двум. Легко видеть, что вершины пентатопа А, В, С, О имеют совершенно такие же координаты х, у, г, как и вершины А, В, С, О тетраэдрического гексаэдроида, определенные нами выше. [c.48]

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕТРАЭДРИЧЕСКОГО ГЕКСАЭДРОИДА ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ СВОЙСТВ ОТ СОСТАВА В СОЛЕВЫХ СИСТЕМАХ [c.102]

Тетраэдрический гексаэдроид применим для изображения пятикомпонентных взаимных систем типа или [c.102]

Однако в процессе экспериментального исследования многокомпонентных систем сечения бывают необходимы, и ими нужно пользоваться. Для тетраэдрического гексаэдроида, по-видимому, наиболее удобны сечения, проведенные параллельно тетраэдрам оснований, которые дают в сечении тоже тетраэдр. [c.102]

Морская система включает четыре катиона, два аниона и воду, т. е. содержит всего шесть компонентов изображение ее полного состава потребовало бы, следовательно, пятимерной геометрической фигуры. Можно, однако, ограничиться изображением солевого состава, а воду нанести в виде изогидр. Тогда достаточно четырехмерной фигуры, какой является тетраэдрический гексаэдроид. Система Са", Mg", Na, К-ЦС1, S04"-f 4-Н2О содержит следующие низшие составляющие системы [c.103]

Легко видеть, что их солевым составам отвечают соответствующие геометрические элементы гексаэдроида вершины ребра грани, трехмерные ячейки. Наконец, внутренний четырехмерный объем гексаэдроида отвечает всем солевым составам системы в целом (фиг. 58). Как было показано в гл. И, п. 1, тетраэдрический гексаэдроид имеет шесть проекций на координатные плоскости (см. фиг. 21), из которых оптимальной является только одна (см. фиг. 21, е). [c.104]

В каждой из этих оптимальных проекций тетраэдрический гексаэдроид спроектирован на плоскость таким образом, что проекции трех из его боковых граней, примыкающих к одному ребру, совмещены. Таким образом, для построения всех четырех оптимальных проекций необходимо, во всяком случае, изучить диаграммы растворимости. всех четверных взаимных систем, которые соответствуют боковым граням гексаэдроида [c.104]

Можно, однако, ограничиться четырехмерным тетраэдрическим гексаэдроидом, конфигурация которого соответствует взаимоотношениям компонентов системы. Что же касается температуры, то ее можно будет изображать в проекции в виде изотерм. [c.109]

Рис. 3. Проекции первого типа на нлоскости чертежа а — пгнтатсп б — тетраэдрический гексаэдроид в — призматический гексаэдроид

Тетраэдрический гексаэдроид, который служит для изображения систем вида 4//2, имеет две проекции третьего типа. Одна из них (см. рис. 8, а) получена при проектировании лзгчами, параллельными одной из квадратных граней фигуры. Так как два ребра этой квадратной грани параллельны двум другим ребрам гексаэдроида, то эти ребра также параллельны проекционным лучам и поэтому на проекции вырождаются в точки. Иначе говоря, на полученной проекции происходит не только вырождение одной из граней в точку, но и вырождение двух других ребер четырехмерной фигуры, не входящих в параллельную грань. [c.18]

Известно, что для изображения четверных систем второго класса (вида 3//2) наиболее пригодна трехгранпая призма, а для пятерных систем (вида 4//2) — тетраэдрический гексаэдроид. В обоих случаях двум анионам системы отвечает прямая линия высота призмы или гексаэдроида), в то время как основаниями служат треугольники или соответственно тетраэдры. Таким образом, основаниями служат симплексы с числом вершин, соответ- [c.26]

Такие фигуры представляют собой сечения симплексов более высокой мерности и, в свою очередь, могут быть подразделены на симплексы. Енеке показал, что трехмерная трехгранная призма подразделяется двумя треугольными сечениями на три тетраэдра. Радищев установил, что четырехмерный тетраэдрический гексаэдроид разделяется тремя тетраэдрами на четыре пентатопа [19], Отсюда следует, что аналогичная фигура пятого измерения может быть разбита при помощи четырех нентатопов на пять гексатопов, что вообще фигура данного типа п-го измерения может быть разбита при помощи (п — 1) правильных симплексов (п — 1)-го измерения на п симплексов п-го измерения Укажем, что если бы мы захотели изображать систему второго класса КЦ2 при помощи симплексов, то каждый такой симплекс отвечал бы примерно 1/К части системы. Неудобство заключалось бы при этом не только в большом числе фигур, но в диаграммах состояния приходилось бы считаться с возможностью распространения областей кристаллизации отдельных фаз, образованных (К—1)-компонентами, вне пределов соответствующего симплекса. Но такое весьма вероятное положение, ввиду обратимости реакций взаимного обмена, создало бы дополнительные трудности. [c.28]

Тетраэдрический гексаэдроид, который служит для изображения пятерных систем второго класса, например 4S I)//5F, в числе своих проекций на координатные пространства имеет две проекции первого типа и две второго. [c.46]

При исследовании конкретных систем, помимо трех четырехмерных фигур — пентатопа, тетраэдрического гексаэдроида и призматического гексаэдроида, наиболее пригодных для изображения пятикомпонентных систем первого, второго и третьего классов,— очень большое значение имеет еще одна фигура — призматический гептаэдроид. Необходимость ее применения возникает во всех случаях, когда желательно изобразить пятерную систему, независимыми переменными которой служат не только концентрации компонентов, но какие-нибудь другие факторы равновесия (например, температура, давление, время) или свойства системы. [c.50]

При изображении многокомпонентных взаимных систем с растворителем наиболее удобно ограничиться солевым составом, представляя воду (или иной растворитель) в виде изолиний на диаграмме составов. Тогда размерность геометрической фигуры, при помощи которой система должна быть изображена, снижается на единицу ввиду того, что один из компонентов опущен. Таким образом, в рассматриваемом случае можно опустить воду и для изображения девятикомпонентного солевого состава избрать восьмимерный аналог тетраэдрического гексаэдроида. Конечно, эта [c.77]

Тетраэдрический гексаэдроид принадлежит к числу тех четырехмерных фигур, которые хорошо известны в физикохимическом анализе. До сих пор его применяли главным образом для изображения взаимных пятикомпонентных систем, образованных четырьмя ионами одного знака и двумя ионами другого знака (т. е. типа АВСО МЫ или AB MNPQ. где А, В, С, О—различные катиоиы, а М, N. Р, Q — анионы). Между структурой тетраэдрического гексаэдроида и низшими системами, входящими в состав взаимных пятикомпонентных систем указанного типа, имеется полное соответствие. [c.24]

На фиг. 10 показана объемная проекция тетраэдрического гексаэдроида, который имеет восемь вершин, шестнадцать ребер, четыр надцать граней (в том числе восемь треугольных и шесть квадратных), наконец, шесть ограничивающих трех-(Мерных фигур (два тетраэдра и четыре трехгранные призмы). По числу ограиичивающих трехмерных фигур т по наиболее характерным их признакам нами было предложено назвать данную четырехмерную фигуру тетраэдрическим гексаэдроидом. (В математической литературе она известна под общим азванием четырехмерной призмы первого рода). [c.24]

В пятакомпонентной взаимной оистеме, типа АВСВ МЫ, вершинам тетраэдрического гексаэдроида соответствуют восемь однокомпонентных систем — простых солей, образующихся при сочетании каждого катиона с каждым анионом его ребрам — шестнадцать двойных систем, граням — восемь простых и шесть взаимных тройных систем наконец, ограничивающим трехмерным фигурам — две простые и четыре взаимные четверные системы. [c.24]

Ни пентатоп, ни тетраэдрический гексаэдроид не имеют такого числа вершин, ребер и других геометрических элементов. Поэтому для построения диаграмм состояния пятикомпонентных взаимных систем из трех катионов и трех анионов требуется особая четырехмерная фигура — призматический гексаэдроид. Она впервые была описана Соммервилем [48], [c.26]

Примем, что все ребра тетраэдрического гексаэдроида равны между собой пусть, наприхмер, каждое ребро равно двум Тогда, если учесть, что центр равностороннего треугольника [c.36]

Проекция на координатную плоскость ХТ (фиг. 21,в) получена путем проектирования тетраэдрического гексаэдроида на две смежные грани ЛСЛ1С1 и ВСВхС]. В результате обе эти грани на проекции полностью совмещены, а вершины Л и В, Л1 и В] слиты попарно. Вершины гексаэдроида В и Ох расположены на данной проекции между вершинами Л и С или Л) и С], а ребро ООх пересекает проекцию обеих смежных граней, что приводит к неравномерному сжатию и наложению различных частей гексаэдроида. Поэтому фиг. 21,в мало пригодна, хотя и обладает некоторым преимуществом, по сравнению с двумя предыдущими. Преимущество заключается в том, что проекции вершин С м. С изображены здесь в виде индивидуальных вершин квадрата, не совмещенных с проекциями других вершин четырехмерной фигуры. Так как различные составы системы, обогащенные компонентами, которым отвечают вершины С и С), в большинстве случаев находятся в равновесии с одинаковыми твердыми фазами, то при пользовании проекцией на координатную плоскость ХТ области кристаллизации этих фаз не заслонены. [c.40]

В качестве примера практического применения тетраэдрического гексаэдроида приведем две взаимные системы указанного типа диаграмму растворимости морской системы, т. е. водносолевой системы из хлоридов и сульфатов калия, натрия, кальция, магния, и диаграмму плавкости системы из фторидов, хлоридов, бромидов и иодидов калия и натрия. [c.102]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология