Геделит

В 1940 году Гедель опубликовал доказательство непротиворечивости общепринятой системы аксиом теории множеств, дополненной гипотезой Кантора. Иными словами, он доказал, что гипотезу Кантора невозможно опровергнуть, исходя из обычной системы аксиом теории множеств. Через двадцать три года Паул Коэн обнаружил, что, исходя из этой же системы аксиом, невозможно доказать гипотезу Кантора. Из этих двух замечательных результатов вытекает важное следствие общего характера принятая в настоящее время система аксиом теории множеств не является полной, то есть она недостаточна для того, чтобы судить об истинности или ложности каждого мыслимого утверждения, сделанного в терминах теории множеств. Иными словами, имеются утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью принятой системы аксиом теории множеств. Итак, существующую систему аксиом следует дополнить. Подчеркнем, что это нужно сделать не столько для решения проблемы континуума, сколько для получения прочной основы теории множеств. [c.95]

Задолго до описанных событий, а именно в 1931 г., было сделано не менее фундаментальное открытие. Математик Курт Гедель (1906— 1978) доказал, что ни одна непротиворечивая система аксиом, включая систему аксиом арифметики, не может быть полной. [c.95]

Изомерный состав продуктов алкилирования мошалкил бензо-лов бп]Геделяется правилами ориентации в ряду бензола, и в пер- [c.23]

Заметим, что при расширении системы аксиом, то есть при добавлении новых аксиом, некоторые недоказуемые ранее положения могут перейти в разряд истинных. Поэтому теорема Геделя не означает, что суш,ествуют неразрешимые вопросы. Стоит только добавить несколько аксиом, и вопрос решится с помощью традиционных математических методов. Но спросим себя, откуда возьмутся эти новые аксиомы Ответ очевиден оттуда же, откуда появились старые аксиомы, то есть из наблюдений, накопленного опыта, из эксперимента. Что же, математика является экспериментальной наукой Вероятно, нет. Вернемся к идее Гильберта. Если существует несколько взаимоисключающих систем аксиом, то математик волен работать с любой из них, а пользователь (возможно, другой математик) решит, подходит ли ему именно эта система. [c.96]

Как бы то ни было, после работ Геделя интерес к основаниям математики несколько уменьшился. Тонкие вопросы математической логики разрабатываются, разумеется, с прежним упорством. Однако теорема Геделя показала, какими вопросами не следует заниматься, подобно тому как в свое время закон сохранения энергии показал, что не стоит изобретать вечный двигатель. [c.96]

Вторая проблема Гильберта. В 1900 г. на съезде математиков Г ильберт в ряду других актуальных проблем поставил задачу, которая мало кому показалась актуальной. Речь идет о знаменитой второй проблеме Гильберта — доказать состоятельность системы аксиом арифметики. Система аксиом называется состоятельной, если она непротиворечива и полна. В свете теории Геделя следует сузить формулировку второй проблемы Гильберта и исследовать непротиворечивость системы аксиом арифметики вместо ее состоятельности. Если система непротиворечива, то она не полна. Последнее не означает, что такой системой аксиом нельзя пользоваться. Поскольку она непротиворечива, то все сделанные с ее помощью выводы справедливы для любых объектов, описываемых этой системой. Коль скоро необходимые выводы получены и цель исследования достигнута, исследователю совершенно не существенно то, что среди не относящихся к исследованию положений скрываются и недоказуемые. [c.96]

Итак, следует примириться с тем, что любая непротиворечивая система аксиом, а только такими и можно пользоваться, не может дать ответ на все возникающие вопросы. Нечто похожее имеет место в физике элементарных частиц, которая не отвергает предположения о бесконечной сложности материи. Как показывает история физики, расширение наших знаний происходит путем добавления новых физических законов, дополняющих и видоизменяющих старые. Этот процесс аналогичен (а по сути дела, тождественен) добавлению новых аксиом к той или иной системе старых . Новые аксиомы позволяют однозначно ответить на некоторые ранее неразрешимые вопросы. Теорема Геделя показывает, что сколько бы новых аксиом мы ни добавляли, всегда останутся или возникнут новые неразрешимые вопросы. Важно только, что выводы, получаемые на каждом шаге данного процесса, соответствуют действительности, если этим качеством обладают присоединяемые аксиомы. [c.97]

Еще раз подчеркнем, что все выводы, которые удается получить с помощью неполной системы аксиом, являются истинными, коль скоро истинна каждая аксиома используемой системы. Теорема Геделя не может опровергнуть ни одной из уже добытых истин. Совокупность законов современной физики можно рассматривать как ее систему аксиом. К счастью, исследования, проводимые на базе этих законов-аксиом, не используют строгих канонов математической логики. Аксиоматизация физики, по крайней мере в настоящее время, представляется ненужной. [c.97]

Пример III. 1. Оп[Геделить давление паров диизопропиловога эфира при 205 С, используя приведенное уравнение Кирхгофа. Нормальная темп атура кипения 341,3 К, критические свойства Гс = 500,ГК, Рс = 28,4 атм. Полученный результат сравнить с экспериментальным значением, равным 20,2 атм [6]. Решение. Находим Ту г [c.138]

Хранение, передача и размножение химико-аналитической информации, хранящейся в памяти ЭВМ, не представляет значительных трудностей. Большой прогресс в этом направлении обещает внедрение голографических способов запоминания и считывания. На начальной стадии разработки общих информационных банков в способы кодирования химико-аналитических понятий должно специально вводиться избыточное разнообразие. В отличие от специализированных информационных банков в них должна выполняться теорема Геделя о неполноте, оправдывающая необходимость некоторой неопределенности в определениях, являющейся источником противоречий и диалектического развития любого вопроса [28, с. 27]. [c.28]

Все три рассмотренные формализованные теории алгоритмов ведут к единому понятию вычислимых функций. Это ставит вопрос о том, являются ли все математические функции вычислимыми. Отрицательный ответ на этот вопрос получен немецким математиком и логиком К. Геделем в виде теоремы о неполноте любой непротиво-28 [c.28]

Теорема Геделя. Существуют математически корректно определенные функции, которые не являются вычислимыми. Другими словами, существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. [c.29]

Обращу внимание еще на одну интересную деталь. На поздней стадии развития науки возникает желание (в том числе и у крупных ученых) осмыслить свой предмет с эстетической точки зрения, взглянуть на него как на часть культуры, сравнить с искусством. Особенно здесь преуспели математики как представители древнейщей науки Для информатики и компьютерных наук знаковой стала замечательная книга Д. Хофштадтера Гедель, Эщер, Бах эта бесконечная гирлянда , переведенная на множество языков. Но такая работа — прекрасная поэма в прозе — появилась и в химии — это книга А. И. Бучаченко Химия как музыка, или Химические ноты и новые мелодии нового века И это естественно — сначала дом строят, потом украшают и, наконец, им любуются. [c.322]

Штепсу, пытавшемуся кухонным ножом убить Наполеона, являлся в видении сам Бог. Родные Штепса задолго до покушения считали его психически больным. О. Беккер стреляет в прусского короля Вильгельма (1861), Кульман стреляет в Бисмарка, а Гедель — бродяга, вор и нищий — перед покушением на императора Вильгельма заказывает множество своих фотографий в расчете на будущий интерес к его личности. Алибо (1836) стреляет в Луи Филиппа. Священник М. Мерино ранит кинжалом (1852) королеву Изабеллу Испанскую. [c.204]

Если на макроуровне для 1-го и 2-го классов ПО характерна независимость результата от субъекта, начальных условий и последовательности исследовательских операций, то для 3-го класса характерна контекстная ассоциативность и уже конкретные примеры, аналогии, метафоры имеют преимущественное значение. Если методы исследования 1-го класса монотонно приближают к пониманию ПО(Р), то методика 2-го класса - это попытка угадать их скачком. Если ПО 2-го класса формально замкнуты и подпадают под теорему Геделя "о неполноте" [127], то ПО 1-го класса, хотя конечны, но функционально самодостаточны, чтобы поддерживать процессы, подчиняющиеся Р. ПО же 3-го класса вообще не ограничены, и ориентированы на формирование даже новых Р (см. далее в параграфе [c.19]

Интересно, что в (1.19) и (1.20) проявляются уже качественно новые свойства системы (см. выше "Качество" в параграфе 1.2), отсутствующие в (1.18). Это свойство эмердасентности снимает ограничения теорем Геделя и второго начала термодинамики, превращая любую физически замкнутую систему, начиная с определенного уровня ее структурно функциональной сложности, в неограниченно эволюционирующую информационную среду, кгк совокупность ФС й ИС. Причем, в соответствии с (1.20), динамика эволюции сложных систем (ИС) имеет взрывообразНый характер, и чем больше качественное разнообразие компонент элементов (мерности), тем более выражен ее экспоненциальный характер. Эта тенденция приводит как к росту иерархического согласования гармонизации) всех элементов системы, так и к повышению эффективности хранения и обработки в отдельных ее узлах. [c.36]

Отметим, что стохастичность нашего мира есть одно из необходимых условий развития разума (антропный принцип). Неопределенность теоремы Геделя в (гильбертовой, аксиоматической) математике и принцип неопределенности Гейзенберга в физике - это звенья одной цепи (Р) - отрывающие путь свободного развития ИС до высот творчества. [c.153]

Конечность скорости распространения сигнала является и положительным разрешением запрета теоремы Геделя о верифицирумо-сти вывода для ИС. Наличие ИС в замкнутой ПО (Вселенной) делает процессы уже принципиально не вычисляемыми, а творимыми ИИС, и в той мере, в какой ИИС обладает интеллектом, духовностью и Свободой. [c.154]

Геделя [115,137]). Тем более, что логика не может вместить в себя все многообразие и богатство мира. [c.158]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология