Инвариантные функции определение

Наконец, характерной особенностью многих золей является неподчинение их зависимостям, выражаемым уравнениями Ньютона и Пуазейля. Для обычных жидкостей объем жидкости, протекшей через капилляр в единицу времени, прямо пропорционален разности давлений р на концах капилляра. Точно так же для обычных жидкостей наблюдается прямая зависимость между углом поворота внутреннего цилиндра и скоростью вращения наружного цилиндра в ротационном приборе типа вискозиметра Ф. Н. Шведова. Для многих же золей, эмульсий и растворов высокомолекулярных веществ такая зависимость отсутствует, а вычисленная по соответствующему уравнению вязкость имеет переменное значение и является функцией градиента скорости. Иными словами, вязкость многих дисперсных систем не является инвариантной характеристикой системы, а зависит от условий ее определения, например от скорости течения жидкости в вискозиметре, от типа и размеров прибора. [c.327]

Если инвариантная функция известна при данных гидродинамических условиях растворения, то ее можно использовать для определения кинетики растворения в тех же гидродинамических условиях, но при любом законе изменения концентрации раствора со временем. Рассмотрим в качестве примера преобразование, которое символически удобно обозначить в виде [c.74]

Перейдем теперь к непрерывным аналогам введенных выше понятий. Удобнее действовать в рамках теории обобщенных случайных процессов. Пусть фиксировано какое-либо пространство основных функций, определенных на / . Предположим, что группы сдвигов и подобия оставляют пространство инвариантным, т. е. [c.168]

Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения <я Ь> и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Из соображений инвариантности, коэффициенты а, Ь, с могут быть только функциями = и,и,. Л ы их будем считать разложениями по степеням с коэффициентами, подлежащими определению. Для этого подставляют средние величины, вычисленные при помощи функций распределения [c.61]

Основное преимущество кинетической функции перед зависимостью (2.46) состоит в том, что в большинстве случаев растворения функция "У (б) оказывается инвариантной относительно концентрации окружающей среды, температуры и гидродинамической обстановки процесса растворения. Следовательно, каждому значению относительного времени 0 соответствует только одно определенное значение относительной степени растворения у при любых, но постоянных с, t, Г. Физически такая инвариантность является следствием того, что влияние гидродинамики, концентрации и температуры на кинетику растворения заключено здесь в величине времени полного растворения Тт с, I, Г). [c.95]

Следовательно, кинетическая функция (б). определяемая уравнением (2.51), инвариантна относительно концентрации в окружающей среде, температуры и гидродинамики процесса. Здесь оказывается безразличным, какой конкретный вид имеет функция р2(с, Г). Важно лишь то, что переменные в уравнении (2.48) разделяются. Физически это означает, что зависимость скорости растворения от концентрации и температуры не должна изменяться в процессе растворения. Наличие или отсутствие инвариантности в общем случае должно устанавливаться экспериментально в процессе определения кинетической функции. Имеющийся экспериментальный материал [3] свидетельствует о том, что инвариантность кинетической функции относительно концентрации и температуры наблюдается весьма часто, в том числе и для частиц неправильной формы. Отклонения экспериментальных данных от кривой единой кинетической функции (рис. 2.6) в области малых величин у и значениях времени, близких к полному времени растворения, становятся сравнимыми с погрешностями экспериментальных измерений. Согласно определению кинетической функции, опыты по растворению исследуемого материала естественнее всего проводить, обеспечив условие постоянства концентрации растворителя и температуры процесса. Эксперимент состоит в периодическом отборе проб растворяющегося материала и анализе его на долю нерастворившегося вещества у. В конце опыта определяется время полного растворения всей твердой фазы Хт- [c.96]

Сильный консерватизм в этом отношении обнаруживают также некоторые остатки Gly. На первый взгляд эго до некоторой степени неожиданно, поскольку Gly не несет боковой цепи, которая могла бы выполнять определенную функцию. Однако анализ трехмерной структуры белков показал, что для таких инвариантных положений Gly (как, например, в положении контакта между спиралями В и Е в семействе глобинов [145, 277[ или в положении 7 рис. 7.8 между двумя а-спиралями цитохромов с-типа [4951) именно отсутствие боковой цепи имеет решающее значение. Только в этом случае спирали могут упаковываться достаточно плотно введение боковой цепи привело бы к уменьшению плотности упаковки, а следовательно, и стабильности (разд. 3.6). Инвариантные остатки Gly были обнаружены также в третьем положении в шести реверсивных поворотах цепи типа П у белков семейства цитохрома с [4951. Как видно из рис. 5.7, б, боковая цепь в этом положении невозможна по стерическим причинам. [c.204]

В общем случае наличие или отсутствие инвариантности должно устанавливаться экспериментально в процессе определения кинетической функции в каждом конкретном случае. Однако имеющиеся экспериментальные данные [7] свидетельствуют о том, что инвариантность кинетической функции имеет место достаточно часто (рис. 2.4). Некоторые отклонения экспериментальных точек от обобщенной кривой может наблюдаться в области малых значений у и, соответственно, при временах, близких к времени полного растворения материала. [c.109]

При наличии линейно зависимых потоков и сил коэффициенты aij также зависят друг от друга. Между тем они относятся к величинам, подлежащим экспериментальному определению, поэтому важно заранее установить связи между ними и выделить среди них независимые. Решение данной задачи достигается вместе с линейным преобразованием зависимых потоков и сил в независимые на основе инвариантности локальной диссипативной функции (1.27.21) относительно такого преобразования. [c.85]

Каждой совокупности линейно независимых потоков и сил (Г = 1,. .., / ), полученных в результате преобразований исходных зависимых потоков и сил Х, с учетом требования инвариантности локальной диссипативной функции, соответствует вполне определенная система линейных феноменологических уравнений вида [c.88]

Имеющиеся в литературе данные по характеристической вязкости гребнеобразных полимеров позволяют получить удобное соотношение для определения параметров длинноцепной разветвленности [62]. Оказалось, что с хорошим приближением г является однозначной функцией ут (рис. 7.5). Ири этом не прослеживается влияние длины хребта на эту закономерность. Эта инвариантная зависимость О (ут ) может быть использована для определения параметров у ж т при проведении прививки на цепную молекулу, так как увеличение массы привитого полимера по сравнению с исходным дает величину ут. [c.282]

Прежде всего заметим, что из определения (1.25) вытекает следующее свойства силовой матрицы в к-представлении А (к) = == А (—к). Это значит, что и решение уравнения (1.27) будет обладать таким же свойством, а именно закон дисперсии описывается функцией, инвариантной относительно инверсии в обратном пространстве [c.38]

В большинстве случаев кинетическая функция ((-с) инвариантна или приблизительно инвариантна относительно концентрации в объеме жидкости и температуры, т. е. при любых постоянных значениях концентрации и температуры каждому значению безразмерного времени т соответствует одно и то же определенное значение ш. При эгом скорость процесса может удовлетворять одному из возможных дифференциальных уравнений [c.451]

Если все п элементов объема достаточно удалены друг от друга, можно предположить, что g("> обращается в единицу. Изотропия, присущая жидкости в ее объеме, проявляется в том, что функция инвариантна относительно вращений и сдвигов, которые сохраняют неизменными все расстояния между элементами объема. Введенным здесь корреляционным функциям необходимо дать четкое математическое определение, исходя из основных понятий статистической механики. Ранее уже была введена [c.107]

Удобство кинетической функции у = / (Э) заключается в том, что в большинстве случаев она инвариантна относительно концентрации активного компонента и температуры, т. е. что каждому значению безразмерного времени 0 соответствует одно определенное значение 7 при любых постоянных значениях концентрации и температуры в определенном гидродинамическом режиме. [c.164]

Решающее преимущество кинетической функции со (х) по сравнению с зависимостью со ( ) состоит в том, что для подавляющего большинства процессов кинетическая функция инвариантна относительно концентрации активного реагента и температуры. Иными словами, каждому значению безразмерного времени х соответствует вполне определенное значение со, одно и то же для любых постоянных значений С и Т. [c.62]

Для процессов растворения, протекающих во внешнедиффузионной области, время полного растворения т, которое является масштабом безразмерного времени х, должно соответствовать не только постоянным значениям температуры и концентрации реагента, но и вполне определенным гидродинамическим условиям. Оказалось, что ели под безразмерным временем х подразумевать отношение продолжительности растворения t ко времени полного растворения т в указанном смысле, то кинетическая функция со (.г) инвариантна и относительно гидродинамических условий. [c.74]

Результаты одного лабораторного периодического опыта в принципе позволяют определить кинетическую функцию со (а ). В действительности, однако, нужно провести серию опытов в диапазоне интересующих нас значений концентрации активного реагента и температуры. Ясно, что это увеличит надежность определения кинетической функции. Кроме того, проведение серии опытов необходимо для экспериментального подтверждения инвариантности кинетической функции относительно концентрации и температуры. [c.93]

Основным достоинством кинетической функции по сравнению с другими, более традиционными кинетическими характеристиками является ее инвариантность относительно температуры и концентрации растворение определенного продукта при любых постоянных значениях Г и С описывается одной и той же кинетической функцией, не содержащей в явном виде этих параметров. Это свойство кинетической функции иллюстрируется рис. 5.1. Время, необходимое для достижения произвольного значения о при некоторых постоянных значениях Г и С, зависит от этих параметров, поскольку различным их сочетаниям соответствует различная продолжительность растворения и 2, рис. 5.1, а). Если же выражать продолжительность растворения в безразмерных единицах — долях времени полного растворения т, то значению сОх всегда соответствует одно и то же безразмерное время х , одинаковое для любых сочетаний Т ш С (рис. 5.1, б). [c.117]

Рассмотренный выше выбор калибровочных генераторных функций (калибровочных условий) об, дает тем положительным свойством, что он превращает Ж я в величины, однозначно определенные через инвариантные величины и 3 )К Теперь остается показать, что этот выбор исключает возможность получения дефектов, которые в действительности отсутствуют. С этой целью вернемся к задаче, в которой с = ф (Х , Т), т. е. к классической континуальной [c.149]

Проанализировав предельный случай шума чрезвычайно малой интенсивности а , перейдем теперь к исследованию стационарного поведения макроскопических систем при шуме произвольной интенсивности. В частности, нас будут интересовать явления перехода под действием внешнего шума. В этой связи возникают по крайней мере два вопроса что следует понимать под переходом в макроскопической системе, взаимодействующей со случайной средой, и каким образом можно детектировать такой переход Явление неравновесных фазовых переходов в системе с детерминированными внешними связями ныне хорошо известно и было рассмотрено в гл. 1. Поведение нелинейной системы как функции внешнего параметра лучше всего описывать с помощью соответствующей бифуркационной диаграммы. В определенном диапазоне значений внешних параметров стационарные состояния претерпевают только количественные изменения (или остаются инвариантными). Но при некоторых критических значениях внешних параметров происходят качественные изменения в виде неравновесного фазового перехода второго и первого рода (см. гл. 1). Если внешние связи флуктуируют, то [c.160]

В соответствии с определением, бинарные корреляционные функции представляют собой тензоры ранга 2N, где N — ранг тензора (вектора), для которого определяется данная корреляционная функция. Поскольку корреляции находятся для двух точек г и Го, то, вообще говоря, корреляционная функция второго порядка должна зависеть от двух переменных г и Го или г — Го и г+Го. Однако в случае статистической однородности из условия инвариантности относительно преобразования переноса следует независимость корреляционных функций от г + Го. При этом имеет место условие эргодичности, когда пространственное среднее совпадение со средним по ансамблю эквивалентных систем. [c.328]

По некоторым данным [94], величина диаметра капель может изменяться лишь в определенном интервале, ограниченном условиями стабильности капли. Иными словами существуют максимальный и минимальный диаметры капли (" тах и которые являются функцией тол о физико-химических свойств системы и инвариантны относительно конструкции колонны и параметров проведения процесса. Величина диаметра максимальной стабильной капли [c.292]

Прежде чем закончить здесь обсуждение однодетерминантного приближения, отметим, что, так как обе функции плотности Р1 и имеют вид суммы квадратов согласно выражениям (4.3.16), то произвольная однодетерминантная волновая функция должна обладать определенными инвариантными свойствами. Если мы составим линейные комбинации из а-орбиталей (или из Р-орбиталей, или из обоих типов орбиталей вместе) и построим новый набор (орто-нормированных) орбиталей А, В ..., то детерминант, пос- [c.118]

Предположим, что полный гамильтониан молекулы остается инвариантным относительно преобразований некоторой молекулярной точечной группы G. При действии оператора этой группы симметрии, скажем G, на некоторую орбиталь R эта орбиталь, вообще говоря, перейдет в новую R действие этого оператора на детерминант (5.1.1) (или, разумеется, на любой детерминант) переводит его в некоторый новый детерминант. Таким образом, детерминант, построенный из дважды занятых орбиталей, может и не обладать определенной симметрией. Однако в частном случае, когда функция R есть просто линейная комбинация орбиталей А, В,. .., X, из которых построен первоначальный детерминант, столбцы нового детерминанта будут линейными комбинациями столбцов исходного детерминанта. В этом случае новый детерминант идентичен первоначальному и поэтому описывает полностью симметричное состояние. [c.146]

Таким образом, операция симметрии математически определяется как операция, не изменяющая гамильтониана системы. Это свойство инвариантности гамильтониан, однако, вообще говоря, не разделяет со своими собственными функциями соображения симметрии играют большую роль при определении вида этих функций и при выяснении вопросов, связанных с их преобразованиями. [c.346]

Однако справедлива следующая общая обратная теорема если Н — вещественный оператор и если функция ф не является по существу вещественной, то заведомо имеет место определенное вырождение, так как гр дает то же значение энергии. В подобном случае (а на самом деле в зависимости и от того, принадлежит или нет гр исходному пространству) интересно указать на следующее обстоятельство. Из гр и гр можно образовать оптимальные вещественные функции, проводя дальнейший вариационный расчет с гр и гр в качестве базисного набора. Здесь эпитет оптимальные используется для соответствующих функций потому, что, как говорилось выше, они получаются путем применения вариационного метода. Дело просто в том, что данное линейное пространство инвариантно относительно комплексного сопряжения. Поэтому, согласно первой части этого параграфа, отсюда вытекает, что получаемые в итоге ортогональные комбинации гр и гр будут по существу вещественными. Мало того, в качестве дополнительной премии за подобную процедуру мы получаем, что одна из указанных комбинаций должна обладать энергией, меньшей (или по крайней мере не большей) исходного значения Е. Это связано с тем, что в процессе добавочного расчета мы фактически расширяем множество пробных функций. [c.104]

В модели бесконечЕюго гомогенного реактора плотность нейтронов есть пространственно инвариантная функция. Таким образом, условия баланса нейтронов, определенные для некоторого элементарного объема бесконечной системы, выполняются во всех точках пространства. В самом деле, из сказанного выше коэффициент размножения можно представить следующим образом [c.42]

При фиксированном значении у = функция 6 приобретает определенное значение 8 (г/1), но значение у- достигается за разное время в зависимости от концентрации t). Таким образом, функции 0 (у) или у (0) инвариантны по отношению к изменениям концентрации функция 0 ( ), разумеется, таким свойством не обладает. Понятие инвариантной функции можно распространить на нолидисперс-ную смесь частиц. Действительно, для -той частицы можно записать [c.73]

Описанные результаты дают возможность установить аналогичные факты и для дифференциальных операторов, действующих на функциях, определенных на гильбертовом пространстве Я, т. е. операторов в инвариантной форме . Метод их получе-дня введение координатной записи для такого инвариантного оператора и сведение к возмущениям выражений (2) или (4). В результате получаются условия самосопряженности для эллиптических операторов второго порядка иа Я с постоянными старшими коэффициентами и сингулярным потенциалом. [c.655]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Физтески значимые результаты могут быть получены при помощи аппроксимации инвариантных состояний равновесными, если использовать общую теорему о выпуклых функциях, принадлежащую Израэлю (см. приложение А.3.6). Из этой теоремы следует, что в некотором подпространстве или конусе пространства можно найти взаимодействие, которое обладает равновесным состоянием, удовлетворяющим определенным неравенствам. Если эти неравенства выражают отсутствие определенного кластерного свойства, то отсюда можно вывести физические следствия. Доказываемая ниже теорема 3.20 содержит пример взаимодействия, у которого имеется несколько различных равновесных состояний (другие примеры см. в упражнении 1 главы 4). [c.74]

Возможность обобщения экспериментальных закономерностей, полученных в конкретных условиях опыта, связана с необходимостью выполнения определенных общих правил. Отсюда следует, что соотношения между а и 7 не могут быть произвольными. Прежде всего функция / (т , 7 у ) является физическим законом, отражающим реальные свойства материала, не связанные с тем, каким образом этот закон формально записывается. Отсюда вытекает требование инвариантности физического закона, относительно преобразований коррдиадтных осей. Как обсуждалось выше, величины компонентов тейаорив микнГО Ся при поворотах осей, но от этого не изменяются свойства среды и отражающие эти свойства физические соотношения. Поэтому физические особенности деформации должны выражаться через инварианты соответствующих тензоров, не зависящие от выбора координатных осей. [c.50]

Локализованные функции, вычисленные с использованием свойства инвариантности матрицы плотности, являются в определенном смысле эквивалентными молекулярными орбиталями. Такие локализованные орбитали, разумеется, не локализованы только на каких-то отдельных частях молекулы, наоборот они свидетельствуют о наличии определенной ненулевой плотности электронов практически во всем пространстве молекулы. Следовательно, невозможно изолировать электронные пары так, чтобы каждая из них занимала часть молекулы, определяемую исключительно одним или двумя центрами, что было бы идеальным свойством для трансферабельной (переносимой) орбитали, описывающей, например, какую-либо связь, которая не изменяется при переходе от молекулы к молекуле. Эксперименты по комптоновскому рассеянию рентгеновских лучей [10] убедительно подтверждают локализованность и трансферабельность связей в некоторых молекулах и показывают, что теоретический анализ волновых функций молекул с учетом затронутых вопросов имеет практическое значение. [c.304]

Другой известный случай реализации симметрии (У ,— квантовая жидкость Не. Симметрия Ог гамильтониана <2.11) в этом случае есть градиентная инвариантность системы— возможность умножения волновой функции 1 )(х) в представлении вторичного квантования на произвольный фазовый множитель е . В несверхтекучем состоянии фаза является случайной величиной, распределенной равномерно в интервале О < ш < 2я. Ниже Я.-точки возникает бозе- эйнштейновский конденсат, число заполнения состояния с нулевым импульсом обращается в бесконечность, так что соотношение неопределенностей позволяет фазе ш иметь определенное значение. Параметром порядка для Л-перехода, как уже отмечалось, служит волновая функция 1 )(х) сверхтекучей компоненты, являющаяся комплексным полем. Можно также считать г15(х) полем двумерных векторов с компонентами Ке ф(х), 1тф(х). Симметрия О г имеется для сверхпроводников, где упорядочение также описывается (в теории Гинзбурга — Ландау) комплексным полем г15(х). Для О г нет инвариантов и фазовый переход может происходить как фазовый переход второго рода. Группы О г, (Уг, группа движений пространстра — примеры (не единственные) спонтанно нарушающихся непре- [c.52]

Может показаться, что преимущество, связанное с инвариантностью кинетической функции относительно С и Г, является до некоторой степени фиктивным ведь вместо единственной характеристики ( ) мы имеем две характеристики со ос) и т, причем вторая из них по-прежнему зависит ог условий растворения. Суть дела, однако, заключается в том, что мы заменили бесчисленное множество функций са (), зависящих от двух параметров С и Г, единственной функцией ю (ж). Что же касается времени полного растворения т, то эта величина служит масштабным коэффициентом, позволяющим перейти от безразмерного времени х к натуральному t = хх. Разумеется, для любого сочетания С и Т этот коэффициент имеет определенное числовое значение, устанавливаемое экспериментально или те еретически. [c.64]

Легко убедиться в том, что при невыполнении этих условий кинетическая функция перестает быть инвариантной относительно Т и С. В самом деле, представим себе, что в уравнение (3.52) вместо Z (со). входит Z (со, Т, С) или вместо Р (Т, С) — Р (Г, С, оо). Ясно, что> в обоих случаях интегрирование уравнения (3.52) обнаружит более сложную форму связи между жита, неизбежно включающую в себя значения Т и С. Мы тогда уже не сможем утверждать, что каждому значению х соответствует вполне определенное значение (о, потому что при переходе к другим значениям Т ш С оно будет изменяться. Таким образом, сформулированные выше условия инвариантности являются не только достаточными, но и необходилшми. [c.69]

Основные этапы предлагаемого обобщенного алгоритма разработки инвариантных моделей заключаются в построении обоб-щеиной интегральной кривой для всего массива экспериментальных данных нахождении функции нестационарности (характерной для полимеризационных процессов) определении зависимости обобщенной константы скорости от условий проведения реакций и т.д. Блок-схема такого алгоритма состоит из ряда этапов основные части алгоритма выполняют следующие функции [c.86]