Оператор вполне непрерывный спектр

Оператор является вполне непрерывным. Ограниченный линейный оператор С называется вполне непрерывным, если он обладает следующим свойством. Для любой ограниченной последовательности у п функций пространства 2 (это означает, что -фт 11 й для некоторого R и любого п) последовательность Фтг содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность. Из этого факта и спектральной теоремы ) следует, что Ж имеет дискретный точечный спектр с единственной предельной точкой в начале. [c.292]

Спектр вполне непрерывного эрмитового оператора не пуст [c.155]

Продолжим изучение спектра вполне непрерывного эрмитового оператора. Чтобы не делать постоянных оговорок, исключим из рассмотрения почти тривиальный случай, когда область значений оператора представляет собой конечномерное подпространство (в этом случае оператор называется вырожденным). [c.156]

Для полного описания спектра вполне непрерывного эрмитового оператора осталось упомянуть еще одно его свойство. Последовательность (20.15) его собственных чисел стремится к нулю. [c.157]

Основу прямых методов исследования природы спектра составляют метод расщепления и метод сравнения квадратичных форм. Эти методы опираются на общие теоремы теории расширений и спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, а также на известную теорему Г. Вейля о вполне непрерывных возмущениях. К прямым методам качественного спектрального анализа сингулярных краевых задач относится, в частности, мини-максимальный принцип Р. Куранта, применявшийся в случае неограниченных областей Р. Курантом ([54], 1931), Ф. Реллихом ([83(4)], 1948) и Д. Джонсом ([40], 1953). Развитие теоретико-операторных методов исследования природы спектра сингулярных дифференциальных операторов было подготовлено работами Р. Куранта, К. Фридрихса и Ф. Реллиха. [c.11]

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений (Лг ),-ф) на пересечении единичной сферы с областью его определения Da и 2) непрерывные спектры операторов A h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). [c.316]

Метод М. ил. Бирмана есть метод сравнения квадратичных форм. Он опирается на теорию К. Фридрихса полуограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н и существенно развивает методы, намеченные этим автором в его фундаментальном исследовании [97(1)], опубликованном еще в 1934 г. Важную роль в применении метода сравнения квадратичных форм играет обобщение М. Ш. Бирмана теоремы Г. Вейля об инвариантности непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях на случай возмущений, вполне непрерывных лишь относительно. При этом, если А есть некоторый положительно определенный (возможно, незамкнутый) оператор в //, а К — некоторый симметрический в Н оператор с областью определения то оператор К называется вполне непрерывным относи- [c.14]

Отметим, что непрерывная часть спектра не обязательно является совершенным множеством, а дискретная — изолированным множеством. Так, например, непрерывная часть спектра любого вполне непрерывного оператора состоит из одной точки Х = 0, а остаточная часть спектра любого [c.19]

Теорема 8 [20(1)]. Если к самосопряженному оператору А прибавить вполне непрерывный самосопряженный оператор К, то непрерывная часть его спектра не изменится, так что будет С А - -К) = С А), [c.28]

Теорема 18. Прибавление к замкнутому линейному оператору Т вполне непрерывного оператора К не изменяет непрерывной части спектра, то есть [c.41]

Прибавление к операции (33) членов вида (29) при k <Сп оставляет соответствующий оператор ограниченным снизу и не меняет непрерывной части его спектра, так как операторы, определяемые операцией (29), в силу условия (28), вполне непрерывны относительно оператора В, а значит, в силу эквивалентности Л- и Б-метрик, вполне непрерывны относительно Л. [c.213]

Вопрос о собственных значениях на непрерывной части спектра является достаточно сложным. Представление о причинах сложности этого вопроса дает известная теорема Вейля — Неймана, согласно которой при помощи вполне непрерывного возмущения с произвольно малой абсолютной нормой можно превратить весь спектр самосопряженного оператора А в чисто точечный (см. [89]). Это означает, что если даже до возмущения оператор А не имел собственных [c.316]

Теоремой Розенблюма — Като устанавливается, что при возмущении самосопряженного оператора Л вполне непрерывным оператором с конечным абсолютным следом, абсолютно непрерывная часть оператора Л сохраняется с точностью до унитарной эквивалентности. Эта теорема является существенным обобщением теоремы Г. Вейля о сохранении непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях. Теорема Розенблюма — Като тесно связана с вопросом существования операторов рассеяния, введенных в квантовую механику В. Гейзенбергом. [c.317]

В настоящем пункте излагается один алгебраический подход к таким матрицам. В сочетании с теоретико-оператор-ными методами он приводит к некоторым новым результатам относительно характера дискретной части спектра, вносимой в лакуны 5 (Г) вполне непрерывными возмущениями матрицы Т. Приводимые ниже результаты принадлежат П. Б. Найман [71 (2)]. [c.323]