Функции квадратичные формы

Используем в качестве функции Ляпунова квадратичную форму [c.163]

Рассмотрим часто используемый прием построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. [c.162]

В некоторых случаях для систем второго порядка функцией Ляпунова может служить простейшая квадратичная форма [c.164]

Квадратичная форма (V,5), которую мы хотим использовать в качестве функции Ляпунова, будет иметь вид [c.165]

Возьмем в качестве предполагаемой функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.167]

Для исследования устойчивости выбираем в качестве функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.172]

Для положительных значений а и р, удовлетворяющих этому неравенству, квадратичная форма (У,23) является функцией Ляпунова, а исследуемое невозмущенное движение для соответствующей области пространства параметров является асимптотически устойчивым. [c.173]

Условие (3.159) соответствует не только точкам минимума, но и точкам максимума и седловым точкам. Квадратичная форма в (3.160) положительно определена для минимумов, отрицательно определена для максимумов и знакопеременна в седловинах. При овражном типе рельефа линии уровня на разных участках имеют разную крутизну и характеризуются наличием точек излома. Геометрическое место точек излома называется истинным оврагом, если угол направлен в сторону возрастания функции, и гребнем, если он направлен в сторону убывания. Геометрическое место точек с наибольшей локальной кривизной есть разрешимый овраг. Смешанный рельеф — неупорядоченная совокупность двух первых типов рельефа. [c.213]

Наличие в статистике критерия квадратичной формы определяет существенный недостаток этого критерия необходимо быть осторожным при выводе о верности проверяемой гипотезы. Известны случаи, когда проверка по критерию приводит к отбрасыванию заведомо верной гипотезы [196]. Критерий Колмогорова неприменим, когда параметры априорного аппроксимирующего закона распределения оцениваются ио той же выборке, по которой рассчитывается статистика критерия [197, 198]. Кроме того, этот критерий применяется только для непрерывных функций распределения. [c.157]

Поиск функции Ляпунова, удовлетворяющей перечисленным условиям, обычно производится путем выбора в качестве V (х) положительно определенной квадратичной формы V (х)=< х, Рх)>, где Q — положительно определенная симметричная матрица, удовлетворяющая равенству [c.429]

Значительная часть описываемых в книге методов минимизации относится к группе квадратичных методов, основанных на аппроксимации минимизируемой функции в точке ее минимума квадратичной формой. [c.28]

Тогда в качестве подходящей функции Ляпунова можно рассмотреть отрицательно определенную квадратичную форму [c.75]

В точках, далеких от минимума, алгоритмы, использующие сопряженные направления, также могут давать хорошее направление спуска, если в окрестности этих точек целевая функция может быть аппроксимирована квадратичной формой с положительно определенной матрицей. [c.42]

Квадратичной формой от л переменных. ......... называется следующая функция [c.262]

В окрестности минимума функция / х) может быть достаточно хорошо аппроксимирована квадратичной формой с положительно определенной матрицей. Это значит, что в достаточно малой окрестности точки минимума функции / гессиан G будет положительно определенным [c.87]

Для крупных частиц, которые движутся в области квадратичного закона сопротивления, коэффициент сопротивления является функцией только формы частицы. В этом случае скорость витания частицы может быть рассчитана как = а шара/К/Сф, где г шара— скорость витания шара, эквивалентного по объему данной частице Кф — коэффициент формы, принимается по табл. 2-4 (по В. А. Успенскому). [c.57]

Поскольку вторые производные в выражении (111,11) вычисляются в точке -х они могут рассматриваться как постоянные числа. В этом случае для анализа знака правой части выражения (111,11) не обязательно требовать малости величин 8Хг. Таким образом, вопрос о знаке приращения функции Д может решаться анализом знака квадратичной формы [c.100]

Если условия положительной определенности не выполняются, но все главные миноры матрицы (111,15), имеющие нечетный порядок, отрицательны, т. е. для миноров нечетного порядка в неравенствах (III, 14) знак неравенств изменяется на обратный, то квадратичная форма (111,12) будет отрицательно определенной и, следовательно, функция R(x) в точке х№ имеет максимум. - [c.101]

Сделана попытка сравнить методы градиента, наискорейшего спуска и поочередного изменения переменных для функции цели квадратичной формы [13]. Показано, что средние потери на поиск для всех этих методов примерно одинаковы, если принять, что в методе градиента и методе поочередного изменения переменных используется один и тот же шаг спуска. [c.543]

Представляет интерес сравнение градиентных методов с методами случайного поиска, поскольку последние относительно просто реализуются на вычислительных машинах. Такое сопоставление проведено для случая, когда в процессе отыскания оптимума целевой функции, заданной в виде квадратичной формы, используются методы градиента и случайных направлений с одинаковыми размерами шагов [8]. Оказывается, что эти методы в смысле вычислительных затрат имеют примерно одинаковую эффективность при размерности задачи, равной 3, и достаточно большом [c.544]

Выбор в качестве функции Ляпунова 6 5, а не какой-либо другой квадратичной формы, находит свое оправдание в ее физическом значении в терминах флуктуаций в теории Эйнштейна [1]. Для учета конвективных процессов в сплошной среде Гленсдорф и Пригожин ввели новую функцию Ляпунова [c.304]

В качестве функции Ляпунова для данной системы используется следующая квадратичная форма [c.55]

Это положительная квадратичная величина в квадратных скобках указаны соответствующие независимые переменные. Рассматривая совместно уравнения (2.58) и (2.62), так же, как (6.23) и (6.24), получим в качестве функций Ляпунова отрицательно определенную квадратичную форму [c.76]

Различные выражения условий устойчивости (6.38) и (6.39) можно получить, вводя подходящую весовую функцию в основную квадратичную форму (6.25). Можно, например, исходить из функции Ляпунова [c.79]

Если же условия положительной и отрицательной определенностей квадратичной формы (111,12) не выполняются, но все главные миноры отличны от нуля, то в исследуемой точке л функция R (х) не имеет ИИ максимума, ни минимума. При обращении в р[уль главных миноров матрицы (П1,15) вопрос о наличии SK TpeNiyMa в исследуемой точке решается сложнее, с использованием нроиэводных более высокого порядка. [c.96]

Ляпуновым был предложен следующий способ использования квадратичных форм для построения функций V. Система линеаризуется, а функция V задается в виде квадратичной формы (V, 3) с неопределенными коэффициентами. Затем ко эффициенты функции V определяются из условия, что эта функция и ее производная будут знакоопределенными функциями противоположных знаков. [c.163]

Потребуем, чтобы производная по времени от функции V(х) в силу уравнения (V, 4) была заданной знакоотрицательной квадратичной формой [c.163]

Эта производная является знакоотрицательной в области фазовой плоскости, соответствующей >—1 и т] >—1. Следовательно, квадратичная форма (V, 15) является функцией Ляпунова для системы (V, 14), которая обладает асимптотической устойчивостью в указанной выше области. Но, так как мы условились, что 5 = г/ ,- = 1, а концентрации не могут быть отрицательными, то значение и т], меньшие, чем —1, не имеют физического смысла. Значит, асимптотическая устойчивость имеет место во всей имеющей смысл части фазовой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что система (V, 14), а следовательно, и исходная система (V,12) (при коэффициентах, соответствующих 5 = /5=1), обладают устойчивостью в целом. [c.167]

Бели построить итерационный процесс (4) для произвольной дважды дифферепцируемон функции / (х), полученный метод совпадает с методом Ньютона для решения системы уравнений (т) = О и будет методом Ньютона для минимизации функции / (х). Метод Ньютона является квадратичным. Это связано с тем, что для положительно определенной квадратичной формы метод (4) находит минимум За один шаг. [c.268]

Аналогично, используя вместо у другие положительно (или отрицательно) определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами, можно получить различные достаточные условия устойчивости. Знакоопределенная функция типа которая приводит к условию устойчивости (6.5), называется функцией Ляпунова . [c.70]

Как уже подчеркивалось в разд. 6.2, в качестве функций Ляпунова вместо 6 5 можно рассмотреть, по крайней мере в принципе, целый ряд знакоопределенных квадратичных форм, чтобы затем использовать их в теории устойчивости. Выясним основную причину, по которой выбор пал на функцию 6 5. В системе соотношений (6.12) и (6.13) этот выбор совершенно логичен, так как он дает и равновесную и неравновесную теории устойчивости. И все же это само по себе не может служить достаточным оправданием. [c.73]

Однако с функциями, содержащими члены типа бГй бГ или б (ре) 6 (ре), было бы очень трудно оггерировать в общей теории. В первом случае потому, что д[8Т не вытекает непосредственно из уравнений баланса, а во втором — потому, что 6(ре) ие связана прямо с граничными условиями. По той же самой причине другие квадратичные формы, встречающиеся в (2.63), не могут быть выбраны в качестве функций Ляпунова, так как они приводят к очень громоздким выражениям, которые вряд ли могут быть полезны. Из этих же соображений мы не начали исследование устойчивости с обобщенного принципа Ле Шателье — Брауна (разд. 6.4). Чтобы оценить по достоинству эти замечания, необходимо прочесть сначала следующую главу, где выведены точные условия устойчивости. В конце концов, оказывается, что только 6 5 или 6 (р5) и некоторые другие знакоопределенные функции, тесно связанные с этими выражениями ), представляют интерес в теории устойчивости. Вместе с тем и по физическому смыслу теория устойчивости должна исходить из свойств величины 6 5. В самом деле эта величина по формуле Эйнштейна непосредственно связана со статистической макроскопической теорией флуктуаций (гл. 8). Таким образом, наш подход приводит [c.74]

Преобразования (1,3) и (1,3 а) являются вполне произвольными, хотя и на них накладываются некоторые ограничения дифференцируемость функции и ср нужное число раз, необращение в нуль Якобиана преобразования и другие, в соответствии с условиями той или иной задачи. Соотношение (1,8) показывает, что величина входящая в выражение (1,5) основной квадратичной формы для интервала й5, является ковариантным тензором 2-го ранга, который называется метрическим. Пространство называется евклидовым, если в нем можно построить такую систему [c.15]

Лля того, чтобы определить, является ли заданная квадратичная форма знакоопределенной, следует воспользоваться кpнтepиe.v Сильвестра, который представляет собой достаточное условие знакоопределенностп квадратичной фор.мы и соответственно дает ответ на вопрос, какого типа экстремум у функции / имеется в стационарной точке. [c.15]

Квадратичные формы Приведение к каноническому ввду Квадратичной формой называется функция вцда [c.219]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология