Оператор вполне непрерывный

Оператор является вполне непрерывным. Ограниченный линейный оператор С называется вполне непрерывным, если он обладает следующим свойством. Для любой ограниченной последовательности у п функций пространства 2 (это означает, что -фт 11 й для некоторого R и любого п) последовательность Фтг содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность. Из этого факта и спектральной теоремы ) следует, что Ж имеет дискретный точечный спектр с единственной предельной точкой в начале. [c.292]

Спектр вполне непрерывного эрмитового оператора не пуст [c.155]

Естественно, что спектральная теория не могла ограничиться операторами, действующими в конечномерных пространствах. Первая экспансия в область бесконечномерных пространств произошла в теории интегральных уравнений. Следующий впечатляющий шаг в развитии спектральной теории был сделан при замене интегральных операторов вполне непрерывными. Эта глава спектральной теории операторов заслуживает особого внимания она запечатлела победу аксиоматического подхода и методов функционального анализа. Посвятим ей несколько следующих параграфов. [c.152]

С помощью этой теоремы легко получить спектральное разложение любого вполне непрерывного эрмитова оператора А и обосновать метод Фурье решения уравнений типа [c.163]

Лемма 1 [ Ъ Ъ). Если А — положительно определен-ный оператор, а К — симметрический оператор, вполне непрерывный относительно А, то оператор [c.38]

Будем считать оператор К вполне непрерывным. Этим завершается переход от конкретного интегрального уравнения (20.6) к абстрактному уравнению (20.8), в котором ж и / — элементы абстрактного гильбертова пространства, а К — вполне непрерывный эрмитов оператор. [c.154]

Утверждение доказано. В процессе доказательства были использованы такие понятия функционального анализа, как компактное множество, вполне непрерывный оператор и теорема о непрерывной функции, заданной на компактном множестве. [c.156]

Продолжим изучение спектра вполне непрерывного эрмитового оператора. Чтобы не делать постоянных оговорок, исключим из рассмотрения почти тривиальный случай, когда область значений оператора представляет собой конечномерное подпространство (в этом случае оператор называется вырожденным). [c.156]

Для полного описания спектра вполне непрерывного эрмитового оператора осталось упомянуть еще одно его свойство. Последовательность (20.15) его собственных чисел стремится к нулю. [c.157]

В следующем параграфе мы дадим ответы не все четыре вопроса в предположении, что оператор А является эрмитовым и вполне непрерывным. Тем самым мы представим читателю строгую теорию метода Фурье для данного класса операторов. [c.160]

Исходными понятиями являются абстрактное гильбертово пространство, действующий в этом пространстве вполне непрерывный эрмитов оператор А, а также его собственные векторы и соответствующие им собственные числа, введенные в предыдущем параграфе. Для простоты ограничимся случаем, когда нуль не является собственным числом оператора А. В этом случае не существует отличного от нуля вектора, ортогонального всем собственным векторам оператора А. [c.162]

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений (Лг ),-ф) на пересечении единичной сферы с областью его определения Da и 2) непрерывные спектры операторов A h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). [c.316]

Метод М. ил. Бирмана есть метод сравнения квадратичных форм. Он опирается на теорию К. Фридрихса полуограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н и существенно развивает методы, намеченные этим автором в его фундаментальном исследовании [97(1)], опубликованном еще в 1934 г. Важную роль в применении метода сравнения квадратичных форм играет обобщение М. Ш. Бирмана теоремы Г. Вейля об инвариантности непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях на случай возмущений, вполне непрерывных лишь относительно. При этом, если А есть некоторый положительно определенный (возможно, незамкнутый) оператор в //, а К — некоторый симметрический в Н оператор с областью определения то оператор К называется вполне непрерывным относи- [c.14]

Отметим, что непрерывная часть спектра не обязательно является совершенным множеством, а дискретная — изолированным множеством. Так, например, непрерывная часть спектра любого вполне непрерывного оператора состоит из одной точки Х = 0, а остаточная часть спектра любого [c.19]

Теорема 8 [20(1)]. Если к самосопряженному оператору А прибавить вполне непрерывный самосопряженный оператор К, то непрерывная часть его спектра не изменится, так что будет С А - -К) = С А), [c.28]

Пусть теперь Л есть некоторый положительно определенный (возможно, незамкнутый) оператор с плотной в Я областью определения 2)д, а К — некоторый симметрический (вообще говоря, незамкнутый) оператор с областью определения 3) = Назовем оператор К вполне непрерывным относительно Л, если вполне непрерывен в Яд опера- [c.35]

Теорема 16 [13(5)]. Для того чтобы положительный оператор К был вполне непрерывным относительно положительно определенного оператора Л( д. = д), необходимо и достаточно, чтобы любое А-ограничен-ное множество элементов из 2)д было К-компактным. [c.36]

Следующая теорема, в которой положительность оператора К не предполагается, дает удобный для приложений признак относительной полной непрерывности. Она показывает, что наличие положительной мажоранты оператора АГ, вполне непрерывной относительно Л, влечет полную непрерывность самого оператора К относительно Л. [c.37]

А К на все Яд вполне непрерывно в Яд, то оператор Г представим в в иде [c.39]

С другой стороны, оператор Г, будучи вполне непрерывным в Яд, является в Яд ограниченным, и, обозначая его норму в Яд через ЦТ Цд, имеем [c.40]

Теорема 18. Прибавление к замкнутому линейному оператору Т вполне непрерывного оператора К не изменяет непрерывной части спектра, то есть [c.41]

Основу прямых методов исследования природы спектра составляют метод расщепления и метод сравнения квадратичных форм. Эти методы опираются на общие теоремы теории расширений и спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, а также на известную теорему Г. Вейля о вполне непрерывных возмущениях. К прямым методам качественного спектрального анализа сингулярных краевых задач относится, в частности, мини-максимальный принцип Р. Куранта, применявшийся в случае неограниченных областей Р. Курантом ([54], 1931), Ф. Реллихом ([83(4)], 1948) и Д. Джонсом ([40], 1953). Развитие теоретико-операторных методов исследования природы спектра сингулярных дифференциальных операторов было подготовлено работами Р. Куранта, К. Фридрихса и Ф. Реллиха. [c.11]

Прибавление к операции (33) членов вида (29) при k <Сп оставляет соответствующий оператор ограниченным снизу и не меняет непрерывной части его спектра, так как операторы, определяемые операцией (29), в силу условия (28), вполне непрерывны относительно оператора В, а значит, в силу эквивалентности Л- и Б-метрик, вполне непрерывны относительно Л. [c.213]

Вопрос о собственных значениях на непрерывной части спектра является достаточно сложным. Представление о причинах сложности этого вопроса дает известная теорема Вейля — Неймана, согласно которой при помощи вполне непрерывного возмущения с произвольно малой абсолютной нормой можно превратить весь спектр самосопряженного оператора А в чисто точечный (см. [89]). Это означает, что если даже до возмущения оператор А не имел собственных [c.316]

Теоремой Розенблюма — Като устанавливается, что при возмущении самосопряженного оператора Л вполне непрерывным оператором с конечным абсолютным следом, абсолютно непрерывная часть оператора Л сохраняется с точностью до унитарной эквивалентности. Эта теорема является существенным обобщением теоремы Г. Вейля о сохранении непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях. Теорема Розенблюма — Като тесно связана с вопросом существования операторов рассеяния, введенных в квантовую механику В. Гейзенбергом. [c.317]

В настоящем пункте излагается один алгебраический подход к таким матрицам. В сочетании с теоретико-оператор-ными методами он приводит к некоторым новым результатам относительно характера дискретной части спектра, вносимой в лакуны 5 (Г) вполне непрерывными возмущениями матрицы Т. Приводимые ниже результаты принадлежат П. Б. Найман [71 (2)]. [c.323]

Задача 5.5. Установить, является ли вполне непрерывным Па интервале (ОД) при нулевых граничных условиях оператор dVdx , [c.293]

Оказалось целесообразным ввести специальный термин, который выделяет все операторы, обладающие этим свойством, даже если они неэрмитовы. Их называют вполне непрерывными операторами. [c.154]

Постараемся показать, что любой вполне непрерывный эрмитовый оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Исходной идеей является принцип Дирихле. В нашем случае он выглядит так. [c.155]

Поясним, как найти последовательность собственных векторов с перечисленными свойствами. Сначала находим вектор ех, как это было сделано в 20.6. Затем рассматриваем подпространство Нх, ортогональное б1. Оператор А не выводит векторы этого подпространства за его пределы. Следовательно, можно рассматривать А как оператор, отображающий Н в Н1. При этом он остается вполне непрерывным эрмитовым оператором. Пользуясь уже доказанной теоремой, заключаем, что ив Нх существует собственный вектор 62- Он ортогонален ех, а его собственное число Л2 не превосходит по абсолютному значению Лх. Повторяя счетное число раз описанный процесс, получим последовательность взаимно ортогональных собственных векторов, причем абсолютные значения соответствующих собственных чисел образуют монотонно невозрастающую последовательность. [c.157]

Последовательность (20.16) не содержит ни одной сходяш,ейся подпоследовательности. Мы получили противоречие, поскольку оператор А, будучи вполне непрерывным, переводит всякое ограниченное множество в множество, содержаш ее сходяш уюся последовательность. Следовательно, предположение (20.17) неверно, а последовательность (20.15) стремится к нулю. [c.158]

Грэд [85] показал, что для газа твердых сфер и для любого степенного потенциала с угловым обрезанием оператор вполне непрерьпзен в Яб, Таким образом, оператор равен сумме неограниченного оператора (с-7 ), ограниченного оператора (у) и вполне непрерывного оператора (Х о). [c.111]

Согласно стратегии системного анализа, в К. вначале анализируется гидродинамич. часть общего технол. оператора-основа будущей модели. Эта часть оператора характеризует поведение т. наз. холодного объекта (напр., хим. реактора), т.е. объекта, в к-ром отсутствуют физ.-хим. превращения. Вначале анализируется структура потоков в объекте и ее влияние на процессы переноса и перемешивания компонентов потока. Изучаемые иа данном этапе закономерности, как правило, линейны и описываются линейными дифференц. ур-ниями. Результаты анализа представляются обычно в виде системы дифференц. ур-ний с найденными значениями их параметров. Иногда для описания процессов не удается использовать мат. аппарат детерминированных (изменяющихся непрерывно по вполне определенным законам) ур-ний. В таких случаях применяют статистико-веро-ятностное (стохастич.) описание в виде нек-рых ф-ций распределения св-в процесса (ф-ции распределения частиц в-в по размерам, плотности и др., напр, при псевдоожижеяии ф-ции распределения элементов потока по временам пребывания в аппаратах при диффузии или теплопереносе и т. д. см. также Трассёра метод). Далее анализируется кинетика хим. р-ций и фазовых переходов в условиях, близких к существующим условиям эксплуатации объекта, а также скорости массо- и теплопередачи и составляются соответствующие элементарные функциональные операторы. Кинетич. закономерности хим. превращений, массообмена и фазовых переходов обычно служат осн. источниками нелинейности (р-ции порядка, отличного от нуля и единицы, нелинейные равновесные соотношения, экспоненциальная зависимость кннетич. констант от т-ры и т. п.) в ур-ниях мат описания объекта моделирования. [c.378]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология