Спектр оператора

Спектр оператора Ь есть объединение спектров радиальных операторов. Каждое его собственное значение / вырождено с кратностью 4/ + 2. Набор функций [c.120]

Если хоть одно из одноэлектронных слагаемых, составляющих полную энергию Е, неотрицательно, то это значение Е принадлежит непрерывному спектру оператора Но, т.е. непрерывный спектр Но состоит из всех чисел Е вида [c.123]

Согласно теореме 9.10(Ь), можно найти такое 0 > 0, как угодно близкое к 0, что у трансфер-оператора С не существует собственных значений А с I А = 0, а число тех А, для которых А > 0, конечно (и равно, скажем, М). Проектор V, отвечающий той части спектра оператора С, которая лежит в области А А < 0 , является ограниченным оператором в В, и мы можем написать [c.235]

Проекционные операторы можно применять для спектрального разложения произвольного оператора А. Спектр оператора определяется как полный набор его собственных значений [aj, j= 1,. .., п]. Если 1 j) — соответствующие собственные функции, а Pj — связанные с ними проекционные операторы, определяемые выражением (2.1.69), то А можно записать через его собственные значения ( спектральное разложение А) [c.43]

Для этой цели обычно используется спектральный критерий устойчивости Неймана [8], основанный на анализе спектра оператора дискретной задачи. Другое более практическое определение устойчивости алгоритма, связанное с понятием корректности задач с непрерывным аргументом, предложено в [7]. В этом случае счетная устойчивость алгоритма устанавливает непрерывную зависимость решения от входных данных, когда малым вариациям исходных данных соответствуют малые вариации решения. Этот подход и будет использован ниже при решении задач теплопроводности в элементах ВВЭР. [c.175]

Если квадратичная форма (7.13) является положительно определенной (это возможно лишь в том случае, если спектр оператора Я положителен), то любые отклонения бс(г) приводят к т. е. к возрастанию свободной энергии. Последнее свидетельствует о том, что распределение Сц (г) обеспечивает минимум АР. В противоположном случае, когда квадратичная форма (7.13) оказывается отрицательно определенной ( спектр оператора отрицателен), любая вариация бс (г) экстремального распределения Со (г) приводит к 6 АР а О, т. е. к уменьшению свободной энергии. Такой экстремум представляет собой максимум. Нас будет интересовать третья возможность, когда спектр оператора Н содержит как положительные, так и отрицательные собственные значения. В этом случае знак второй вариации Ь АР зависит от выбора вариации бс(г), т. е. от направления в функциональном пространстве, в котором происходит отклонение фигуративной точки, характеризующей состояние системы, от точки экстремума. Эта ситуация является типичной для экстремумов типа седловой точки. [c.84]

Приведенное рассуждение показывает, что определение типа экстремумов свободной энергии сводится к исследованию спектра оператора Н. Этот спектр — набор собственных значений е оператора Н — может быть найден из уравнения [c.84]

В представлениях, соответствующих, операторам дискретного спектра, операторы выражаются матрицами, и все волновые функции являются функциями переменных, пробегающих дискретные значения. Поэтому эти волновые функции можно изображать одностолбцовыми матрицами. Чтобы определить правила нахождения собственных значений и собственных функций операторов в представлениях с дискретным спектром, перейдем в уравнении (29,1) к соответствующему представлению. Для примера рассмотрим -представление тогда, подставляя в [c.139]

Ясно, что такой же вид будет иметь и функция в задаче (4). Если теперь спектр оператора А, лежит в полуплоскости [c.135]

Рассмотрим теперь поведение решений задачи (4) в том случае, когда некоторые точки спектра оператора (А, попадают в полуплоскость Не Л, > О, то есть, когда нулевое решение задачи (4) неустойчиво. Обозначим через подпространство в o (q), состоящее из функций, удовлетворяющих условиям (5) при f[x,u] = О. Пусть o(t) -оператор, сопоставляющий каждой функции Ug(x) решение u(x,t) линейной задачи [c.136]

Теперь мы можем сформулировать основную теорему о структуре спектра оператора н (см. п. 2). [c.191]

Для существования дискретного спектра оператора то есть связанных состояний симметрии о системы с, уровни энергии которых не лежат на сплошном спектре той же симметрии, необходимо и достаточно, чтобы [c.192]

Здесь п - номер собственного значения одномерного оператора, а к= к, кг) — мультииндекс, характеризующий собственное значение оператора Лапласа. Известно [6, 7], что спектр операторов [c.99]

Рис. 5.3. Частота столкновений, потенциал взаимодействия и спектр оператора столкновений для жесткого и мягкого потенциалов.

Шпур в (8) берется и по переменным узлов п/ = О, 1 , и по спектру оператора к, и по коллективным переменным оператора Яз. Учитывая, что по переменным г и по коллективным переменным суммирование ведется при фиксированном числе адатомов Ма, можно преобразовать полный шпур в (7) к шпуру по п/ с переопределением химического потенциала [6, 7] [c.30]

Спектр оператора и физические спектры [c.147]

Современное понятие спектра оператора возникло в результате длительного эволюционного процесса. Оно относится только к линейным операторам, то есть операторам, действующим в том или ином линейном пространстве и обладающим следующими двумя свойствами [c.147]

Какие еще числа, кроме собственных, входят в спектр оператора Оказывается, число v не входит в состав спектра оператора А и называется обыкновенным, если оператор А — иЕ (где Е — единичный оператор) имеет обратный оператор А — vE) и этот последний является ограниченным. Число v принадлежит непрерывному спектру, если оператор А — иЕ имеет обратный оператор, но последний не является ограниченным. Поясним сказанное на примерах. Рассмотрим три разные оператора, связанные с одним и тем же формальным оператором. Оператор называют формальным, если его понимают в максимально широком смысле, то есть без каких-либо дополнительных ограничений области определения. В качестве примера формального оператора можно привести оператор двукратного дифференцирования, определяемый равенством D f x) = (f f/dx . [c.147]

Какова же связь между спектром оператора и различного рода физическими спектрами Любой физический спектр совпадает со спектром некоторого линейного оператора. Одна из задач физики — в каждом случае найти соответствующий оператор. [c.148]

Укажем на основное свойство спектра оператора, действующего в каком-либо т-мерном пространстве L. Такой оператор имеет от одного до т собственных чисел. Данное утверждение напоминает основную теорему алгебры каждое алгебраическое уравнение степени т имеет от одного до т корней. Последнее не случайно именно эта теорема используется для его доказательства. Дело в том, что поиск собственного числа оператора сразу же приводит к уравнению степени т, корнем которого и является искомое число. Это уравнение называется характеристическим. Число различных собственных чисел равно числу различных корней характеристического уравнения. Если это число равно т, то оператор имеет т собственных чисел и столько же собственных векторов. Последние образуют базис в L. [c.148]

Ясно, что -ф(л )= о удовлетворяет уравнению (6.97) при всех значениях х. Это тривиальное решение. Что же касается нетривиальных решений, то уравнение (6.97), вообще говоря, допускает их не при всех значениях i. Те значения параметра х, при которых существует функция (а ), не равная тождественно нулю в интервале (6i, г) и удовлетворяющая уравнению (6.97) с граничным условием (6.98), называются собственными значениями, соответствующие им решения — собственными функциями, а множество всех собственных значений — спектром оператора. Таким образом, для того чтобы найти зависящее от времени решение УФП, мы должны решить задачу на собственные значения. В свою очередь корректная постановка задачи на соб- [c.190]

Теорема Эллиотта. Если ни одна из границ 61 и 62 не является естественной в смысле Феллера (см. стр. 146), то спектр чисто дискретный, совпадает со спектром оператора Штурма — Лиувилля, и собственные функции (л ) обратного уравнения [c.195]

Итак, квантоЕомехан/ ческие операторы физических величин должны быть линейными и эрмитовыми. Оба требования — физические по своему происхождению. Допустим, что спектр оператора дискретен н, решая уравнение вида (21), мы получаем набор соответствующих собственных функций и собственных значений. При этом возможны два случая либо каждому собственному значению L,, отвечает одна собственная функция ijin, так что [c.40]

В дальнейшем спектр оператора предполагается дискретным. Отыскание допустимых значении физической величины для дискретного спектра назы-зается квантованием (от лат. — quantum — определенное количество). [c.12]

Здесь А - произвольный линейный самосопряженный оператор. В зависимости от того, как он выбран, получим те или иные собственные функ-Щ1и фк (при любом выборе А орбитали ф принадлежат одному и тому же подпространству Ям)- В частности, будут ли ф ортогональны друг другу, определяется спектром оператора Р +рАр. Если выбрать А так, что спек тр оператора Е + рАр окажется невырожден, то разные орбитали ф)с будут обязательно ортогональны друг другу как собственные функщ1и одного линейного самосопряженного оператора, соответствующие разным собственным числам. Если же А таков, что спектр оператора Р +рАр окажется вырожденным, то разные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному числу оператора Р + рАр, должны быть только линейно независимы, но не обязаны быть ортогональны. Этим обстоятельством воспользуемся при введении оператора псевдопотенциала (см. гл. 4, 8). [c.99]

Поведение этой функции при / -> качественно зависит от знака Если > О, то а — чисто мнимая величина, а остается ограниченной. Отсюда следует, что любое а > О есть точка спектра. Если < О, то поведение функщ1и / 1° зависит от отношения С1(4)/С2( ). Если такое, что это отношение не равно нулю, то экспоненщ1ально растет при и значение не может быть точкой спектра. Если же ё является корнем уравнения С1(й)/С2( ) = О, то убьтает на бесконечности, причем настолько быстро, что оказьшается интегрируемой с квадратом. Соответствующие значения 1, 2, являются, следовательно, собственными значениями. Заметим, что условие (3.6) и У(г) обеспечивают существование нижней границы спектра (й, > -7 /2). При 7 из условия (3.5) вытекает существование бесконечной последовательности й, < <. .. < О, сходящейся к нулю. Если же Ы> г, то дискретный спектр может состоять из конечного числа точек или вообще отсутствовать. Отметим, что каждой точке спектра соответствует лишь одна функция Р, следовательно, спектр радиального оператора невырожден. Поскольку спектр оператора — замкнутое множество, ему принадлежит и точка = 0. [c.120]

Рассмотрим спектр оператора (3.3) и сначала спектр его собственных значений. Собственные значения одноэлектронного оператора h расположим в неубьшающем порядке [c.121]

В спектре оператора Но вьщелим группу из ш-состояний, которые имеют совпадающие значения энергии Е (/и-кратное вырождение) либо близкие значения энергии. Поправка к энергии в первом приближении теории возмущений Е для вырожденных состояний находят из условия равенства нулю секулярного определителя см. [18] [c.216]

Спектр. В правой части спектра оператором дана метка частоты 50 Гц от ТМС. Согласно принятым критериям (гл. 5, 2) качество спектра удовлет-вopJ[тeльнo. [c.169]

Теорема I. Пусть выполнены все перечисленные усло ВИЯ и спектр оператора А, в , пороаденного дифференциальным выражением д и краевыми условиями в , лежит в поду-плоскости Ее X <-а < О комплексного переменного х > тогда [c.135]

Можно показать, что при Ч > о оператор J(t) вполне непрерывен в с Са). Так как некоторые точки спектра оператора А, лежат в полуплоскости Ее х > О, то оператор и (I) имеет конечное число собственных, чисел, лежащих вне едшшчного круга х [< 1. Допустш, что на единичной окружности 1x1 =1 нет точек спектра оператора и (I) и поло- [c.136]

Моаио показать (см. [ 1 ]), что стационарное решение у(х) задачи (I) будет устойчиво, если нулевое решение линеаризованной задачи (2) устойчиво. В свою очередь, критещем устойчивости нулевого решения задачи (2) является отрщательность вещественных частей всех собственных чисел дифференциального оператора с нулевыми граничными условиями на концах про-мея гтка [а, ъ] Однако такое условие устойчивости не является достаточно удобным с точки зрения приложений, поскольку не существует никаких общих рекомендаций относительно определения границ спектра дифференциального оператора, кроме, разумеется, прямого численного подсчета собственных значений. Возникает задача найти какой-нибудь эффективный критерий того, что спектр оператора С лежит в левой полуплоскости комплексного переменного. В случае одного квазилинейного параболического уравнения второго порядка эта задача решена Т.И.Зеленяком [2], причем нужный критерий сформулирован в терминах того самого стационарного решения, устойчивость которого исследуется. [c.140]

Теорема I. [1,2]. Пусть ст=(а,1,ш) или 0=а. Сплошной спектр оператора (системыс) состоит из всех точек луча[ц°, +оо), где [c.191]

Из известных свойств спектра оператора [5] вытекает что в условиях теореш П число с1СС а) конечно, если а) [c.193]

Ддя однократннх отрицательных ионов атомов, то есть при 2 = п-1 пока доказана конечность дискретного спектра оператора н без учета симметрии (результат не имеет физического смысла) [II]. [c.195]

Для усеченного максвелловского взаимодействия G для г Tq G = О для г > Го1 спектр оператора X является чисто дискретным с единственной точкой накопления v = onst. Кроме того, для максвелловских молекул собственные функции оператора X будут полиномами Эрмита с соответствующими собственными значениями [c.292]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология