Полуограниченный оператор

Метод М. ил. Бирмана есть метод сравнения квадратичных форм. Он опирается на теорию К. Фридрихса полуограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н и существенно развивает методы, намеченные этим автором в его фундаментальном исследовании [97(1)], опубликованном еще в 1934 г. Важную роль в применении метода сравнения квадратичных форм играет обобщение М. Ш. Бирмана теоремы Г. Вейля об инвариантности непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях на случай возмущений, вполне непрерывных лишь относительно. При этом, если А есть некоторый положительно определенный (возможно, незамкнутый) оператор в //, а К — некоторый симметрический в Н оператор с областью определения то оператор К называется вполне непрерывным относи- [c.14]

Относительная полная непрерывность симметрических операторов. Начнем с уточнения терминологии, относящейся к полуограниченным операторам. [c.33]

Отметим еще, что теорема 41 в соответствующей формулировке сохраняет силу и для случая ограниченной области Q, когда сингулярность задачи вызывается особенностями коэффициента на границе области. Правда, в этом случае полуограниченность оператора L уже не влечет его самосопряженности. Поэтому указанное в теореме 41 условие дискретности спектра левее нуля, являясь, [c.111]

Теоремы о дискретной части спектра. В этом пункте рассматриваются полуограниченные операторы. Как и в одномерном случае простейшим признаком здесь является Теорема 1 [97(1)]. Если [c.222]

ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЕ ФОРМЫ И ОПЕРАТОРЫ [c.55]

Теорема 3.2. Пусть а — замкнутая полуограниченная билинейная форма с вершиной а Существует действующий в пространстве Но самосопряженный оператор А а такой, что справедливо представление (3.14). Область определения Ф (А) плотна в а) относительно нормы ар [ ]) . В случае неотрицательной а справедлива и формула (3.15). [c.56]

Замечание 2. Понятие форм-суммы может быть обобщено следующим образом. Предположим, что задан оператор Я+ гз % (53) Э Э / ь - 5)/ Я- с плотной в Н-1- областью определения, неотрицательный относительно Яо, т. е. (5>/, /)я 0 (/ 6 Ф (53)). (Можно было бы рассмотреть и случай полуограниченности 3 6 ( /, /)я а (/, /)я (/ Е Ф (53)).) Построим в пространстве Я,, форму [c.62]

Теорема 3.4. Пусть самосопряженный полуограниченный снизу числом г оператор А и стандартно связанная с ним цепочка (2.18) таковы, что для функции а (Я) = (Я — г) " (Я [г, оо) г < г фиксировано) имеем 1 а (Л) 01< оо. Тогда для любого самосопряженного оператора В, имеющего общую базу с А и такого, что на этой базе В > Л, справедлива оценка а (В) О < оо. Таким образом, цепочка [c.267]

Доказательство. Используем известную мультипликативную формулу пусть в гильбертовом пространстве Н действуют самосопряженные полуограниченные снизу операторы Л и V. Обозначим через В замыкание оператора (Л) П 5) (Ю Э / -> Л/ + К/ и предположим, что В самосопряжен. Тогда для каждых t > О я [ Н в смысле сильной сходимости [c.273]

Теорема 1.3. Пусть А—эрмитов полуограниченный снизу оператор. действующий в Н. Предположим, что существует плотное в Н линейное множество Ф z Н такое, что для некоторого Ь > Q при любых Т (О, Ь), Фо, Фг Ф задача Коши [c.391]

Теорема 1.6. Пусть z Н — плотное множество в гильбертовом пространстве Н, на котором определен эрмитов полуограниченный снизу оператор А такой, что Л с 2). Предположим, что при некотором Ь > О для каждых Т (О, Ь), Фо, Ф1 существует вектор-функция [О, Т] Э / ф 2) такая, что 1) при каждом п 2+ вектор-функция [О, Т] Э Л ф (/) Я дважды сильно непрерывно дифференцируема 2) удовлетворяются следующее уравнение и начальные условия [c.395]

Л" ) = /6 (Л)И/6 (Л),. .., оператор Л определяется естественным образом на 2) (Л" ) (т ). Очевидно, 2) (Л) ZD 2) (Л ) zd. .. Пусть п J фиксировано, Л — эрмитов полуограниченный снизу оператор в Я с областью определения 2) (Л), причем 2) (Л ) плотно в Я. Предположим, что при некотором > О для каждых Т 6 (О, fe) и ф , Фх 2) (Л ) существует вектор-функция [О, Т] Э ф (О (Л ) такая, что 1) при каждом т = О,. ..., п вектор-функция [О, Т] t >- Л ф (t) Я дважды сильно непрерывно дифференцируема 2) выполняется условие 2 теоремы 1.6. Тогда ее утверждение сохраняется для Л . [c.397]

Установим еще одну теорему, уточняющую теорему 1.7 для полуограниченных снизу операторов. [c.400]

Теорема 1.9. Пусть А—эрмитов оператор, действующий в Н. Для его существенной самосопряженности необходимо, чтобы для уравнения (1.43) имела место единственность сильных решений задачи Коши, а в случае полуограниченности А снизу такой единственности и достаточно. [c.402]

Подчеркнем, что если А — полуограниченный снизу самосопряженный оператор, то сильное решение и Ц) уравнения (1.43), удовлетворяющее начальному условию ы (0) = Ыо ( )> существует и выражается через полугруппу, порожденную Л [c.403]

Теорема 1.10. Пусть А—эрмитов полуограниченный снизу оператор, действующий в Н. Предположим, что существуют последовательность действующих в Н операторов (А ) = с областями определения (Л ), плотное в Н множество Ф и Ь О, оо], обладающие следующими свойствами [c.403]

IV. Покажем, как рассмотреть полуограниченный снизу потенциал У. Положим Vi (х) = min (У (х), 0), Уз (х) = max (У (х), 0). Тогда V (х) = V, (х) + Уз (- ) (х R), причем функция V, (х) ограничена, а Уз (х) неотрицательна. Вхождение У в некоторое (q g [I, оо]) влечет включение V,, Уз Z-,. Пусть, например, р = оо. Тогда Уз G 2 и оператор D Э / i- A = AJ + VJ существенно самосопряжен. Но тогда существенно самосопряжен и оператор (1.49), так как он отличается от Лз на ограниченный. [c.406]

Рассмотрим ситуацию, когда мера р, вероятностная р, (7 ) = 1. Теперь 1р =) 1 , II II Цг, при 1 < р < < схз. В этом случае теорема 1.11 обобщается на потенциалы V, для которых вместо их полуограниченности налагается требование полуограниченности снизу всего оператора А (и некоторой суммируемости V). Так, справедлива следующая теорема. [c.407]

Лемма 4.7. В условиях теоремы А А (полуограниченность снизу оператора + У не предполагается) задача Коши [c.588]

Эта связь была обнаружена М. Ш. Бирманом, который в 1958 г. получил на этой основе ряд результатов, существенно продвинувших качественную спектральную теорию сингулярных дифференциальных операторов [13(5)]. При этом М. Ш. Бирман следовал пути, связанному с тем подходом к задачам качественного спектрального анализа, который параллельно методу расщепления развивался им для полуограниченных краевых задач. [c.14]

Симметрический оператор Л называется полуограниченным, если для некоторого ][ > —оо при всех выполняется неравенство [c.33]

Теорема 30 [46]. Для полуограниченности и дискретности спектра оператора Ь необходимо и достаточно, чтобы величина Х((о) стремилась к бесконечности, [c.67]

Остановимся на одной важной процедуре расширения полуограниченных операторов до самосопряженных, принадлежащей Фрид-рихсу. Предположим, что в Яр задан эрмитов полуограниченный опе- [c.56]

Оператор Л, действующий в Яо, называется секториальным (с вершиной а g R ), если отвечающая ему билинейная форма (3.19) секториальна (обобщение понятия эрмитова полуограниченного оператора). Доказанная сейчас формула (3.14) показывает, что всякая замкнутая секториальная форма порождается некоторым секториальным оператором, причем этот оператор, в отличие от произвольного секториального, обладает некоторым свойством максимальности, полученным из представления Л = СВ — (1 — а) 1, где В — ограпи- [c.59]

Тогда согласно теореме 3.4 форма а 4- (ф (а -Ь Ь) = Я [ ) полуограничена и замкнута. В силу теоремы 3.2 о представлении существует самосопряженный полуограниченный оператор С в Яц такой, [c.61]

СпектрагНьч я альтернатива для полуограниченных операторов Шредингера. При исследовании характера [c.174]

Далее, используя результаты М. Г. Крейна [53(2)] и М. И. Вишика [24(3)] по теории расширения полуограниченных операторов, можно показать, что собственные значения положительного оператора K = L — М не превосходят последовательных максимумов интеграла [c.318]

Теорема 3.6. Пусть А — самосопряженный полуограниченный снизу числом г оператор, действующий в пространстве (И , dx) по лебеговой мере йх ). Предположим, что резольвента Яг (Л) при некотором г а г является интегральным оператором, ядро которого локально ограничено. Рассмотрим действующий в этом пространстве самосопряженный оператор В, имеющий общую базу с А, и такой, что на этой базе В А. Тогда В — карлемановский оператор. [c.270]

Пусть А — действующий в пространстве ЩЯ, х) самосопряженный полуограниченный снизу карлемановский оператор, а (Я) — соответствующая функция. Предположим, что для любого 1 (О, 1] существует [c.272]

Пример 3.2. Рассмотрим в пространстве (К , йх) оператор В Шредннгера с сингулярным полуограниченным снизу потенциалом — замыкание оператора [c.274]

Пример 1.1. Проиллюстрируем применение теоремы 1,3 в простейшей ситуации. Рассмотрим в пространстве 2 dx) (d IN) оператор Шредингера А — замыкание оператора (IR ) и (х) 2 и) (х) = — (Ди) х) q (х) и (х), где q — вещественнозначный потенциал из С (IR ). Докажем, что если А полуограничен, то он самосопряжен, В самом деле, рассмотрим па [О, T l задачу Коши для гиперболического урав- [c.391]

Теорема 1.5. Пуеть А —эрмитов полуограниченный енизу опера- тор, действующий в Н. Предположим, что существуют последовательность операторов (Л )Г=ь действующих в Н, с областями определения S (AJ), плотное в Н множество Ф и Ь > Q, обладающие следующими свойствами-. 1) для произвольных Т (О, Ь), фо, Фх i Ф существуют последовательности (Фо,п) ь (ф1,г.)п=1 векторов из Н такие, что при гг-> оо в Яфо,п->фо, Фья-> Фх, сильные решения. задач Коши [c.394]

Теорема 1.8. Пусть А —замкнутый эрмитов полуограниченный снизу оператор. Если в Я существует тотальное множество, состоящее из стилтьесовских векторов, то А самосопряжен. [c.400]

Теорема 2.3. Предположим, что потенциал V L2+E (Ф, Yi) некоторым е > О ы полуограничен снизу. Тогда оператор La t V в существенном самосопряжен как на множестве цилиндрических полиномов (Ф )> <з множестве гладких цилиндрических функций yl (Ф )- [c.540]

Пусть коэффициентный оператор А удовлетворяет условию равномерной эллиптичности А а, а > О, а потенциал V задается действительной функцией из 2-i-fi (Ф, 7i), е > О, для которой У I Lp (Ф, 7i). Тогда по следствию из теоремы 2.9 оператор д + + V в существенном самосопряжен на yi (Ф ) и полуограничен снизу, причем теорема 2.7 утверждает, что Еу = infs (La + V) является простым собственным значением и соответствующая собственная функция фк может быть выбрана строго положительной Yi-почти везде. Введем на Ф вероятностную меру = Ф 1, считая фу нормированной в 2 (Ф, 7i). Прежде всего покажем, что мере можно поставить в соответствие оператор Дирихле. [c.559]

Я , ),(, - /2Тг/ = 1/2[(ЯЧ ) рй-Тг/ 1 (л ( К ). (3.19) Действительно, так как потенциал лос 0 " ) полуограничен снизу, оператор —- - V.,, определенный первоначально на (К ), в существенном са- [c.564]

Оценки роста, о которых упоминалось в конце п. 3, имеют следующий вид. Для оператора Шредннгера Л в с полуограниченным снизу непрерывным потенциалом с/ почти каждая (относительно спектральной меры) обобщенная собственная функция (х Я) растет при д - - оо не быстрее с , л (е > О произвольное). Этот результат прн (I — 1 прн помощи классических методов теории уравнения Штурма — Лнувилля получен Шнолем [1], при й > 2 на основании теорин разложений по обобщенным собственным функциям— Березанским, Кацем, Костюченко (см. Березанский [3, 5]). Такими оценками определяется спектр оператора А если при некотором X существует решение уравнения —Ди д (х) и = Хи (х 1Я ) с такой оценкой (и даже более свободной), то X входит в спектр А (Шноль [1], см. также книгу Глазмана [1]), Из физических соображений желательно с , х заменить константой. Выяснение этой возможности — пока что открытый вопрос с достаточно драматической историей, она частично описана в обзоре Саймона [6] (Фари и Саймон внесли свою лепту в этот драматизм). [c.647]

Если оператор А полуограничен снизу, то, очевидно, при некотором [Л > О оператор А- -)х1 будет положительно определенным. Метрики, определяемые на 3)д формулой [c.35]

Если К Л) покрывает всю Х-ось, то / (Л) состоит из верхней и нижней Х-полуплоскостей, всегда принадлежащих полю регулярности П(Л) симметрического оператора А. Если же множество К (Л) не покрывает всю Х-ось, то оно является отрезком либо полуосью. При этом оператор Л ограничен или полуограничен и часть вещественной Х-оси. свободная от точек К (Л), также принадлежит П(Л). [c.119]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология