Гиббсовские состояния

Термодинамический формализм изучает меры, похожие на гиббсовский ансамбль р в известном предельном переходе, при котором пространство О становится бесконечным, но при этом появляются некоторые дополнительные структуры. По аналогии с вариационным принципом указанного выше предложения можно определить равновесные состояния (см. II ниже), а по аналогии с определением (0.1) можно ввести гиббсовские состояния (см. III ниже). [c.21]

Определение. Пусть А е. Вероятностную меру а на пространстве П будем называть гиббсовским состоянием, если [c.26]

Это определение допускает иную формулировку вероятностная мера ст является гиббсовским состоянием, если для любого конечного множества Л условная вероятность того, что Л реализуется в Л при условии того, что 1(2 Л) реализовалось ъТУ К, равна /л(0- [c.26]

В силу (а) равновесные состояния являются вероятностными мерами, условные вероятности которых точно такие же, как и у гиббсовских состояний. Часть (Ь) справедлива относительно более общих условий, чем [c.26]

Теорема 4. Множество гиббсовских состояний для функции Л е является симплексом Шоке. [c.26]

Таким образом, гиббсовское состояние имеет единственное интегральное разложение на крайние ( чистые ) гиббсовские состояния. [c.26]

Крайнее равновесное состояние а может иметь нетривиальное разложение на крайние гиббсовские состояния, которые не обязаны быть инвариантными относительно т (см. теорему 3(Ь)). В этом случае говорят, что имеет место разрушение симметрии (иод разрушенной симметрией мы понимаем инвариантность относительно преобразования т). [c.27]

Главная цель равновесной статистической механики состоит в понимании физической природы фаз и фазовых переходов. Поэтому основным предметом термодинамического формализма является изучение дифференциальных и аналитических свойств функции Р, а также структуры равновесных и гиббсовских состояний. Как уже упоминалось, подробные результаты получены только в специальных случаях. В предлагаемой монографии мы ограничимся рассмотрением общей теории, которая известна на данный момент. [c.27]

Теория гиббсовских состояний [c.30]

Эта глава посвящена общей теории гиббсовских состояний. Инвариантность относительно трансляций не предполагается. [c.30]

Мы будем называть меру а е Е гиббсовским состоянием (для взаимодействия Ф), если для любого конечного множества А С L существует такая вероятностная мера а-ь А на что при всех справедливо [c.34]

В этом параграфе мы докажем, что если р — термодинамический предел гиббсовских ансамблей ц а) Для взаимодействия Ф, то р является гиббсовским состоянием для взаимодействия Ф. [c.34]

В силу утверждения предложения 1.4 это означает, что р является гиббсовским состоянием. [c.35]

V 7/ V т]ь м- После сделанных замечаний легко проверить, что функция, определенная соответствием (1.19), равномерно сходится к своему пределу Г] ехр(— 7л( л) — И л, ь л( л V ))). Таким образом, термодинамический предел (а (Л)17 л) является гиббсовским состоянием. [c.37]

Вероятностная мера а на П является гиббсовским состоянием если и только если для каждого конечного А С Ь условная вероятность того, [c.37]

Заметим, что таким образом мы можем взять ol k = tL hO в (1.14). Из теоремы следует, что слабый предел гиббсовских состояний является гиббсовским состоянием. Таким образом, множество гиббсовских состояний компактно очевидно, оно также выпукло. [c.38]

Замкнутая выпуклая оболочка гиббсовских состояний, полученных в (Ь), совпадает со множеством А ф всех гиббсовских состояний. [c.38]

В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в А ф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция А ем мера <т е Кф, для которых [c.38]

Теорема (Характеристика неразложимых гиббсовских состояний) [c.40]

Обратно, если состояние ст обладает тем свойством, что ст(ййл ) = < ( при любом Л и А, то ст является гиббсовским состоянием.) [c.41]

Если гг = случае множество пусто) и Ф Ггл = = О при Л > 1, то существует единственное гиббсовское состояние а = [c.44]

Два различных неразложимых гиббсовских состояния являются не-пересекающимися (т. е. сингулярными) мерами на О (см. приложение А.5.5). [c.44]

Гиббсовские состояния продолжение [c.45]

Если а — гиббсовское состояние на О. для взаимодействия Р Ф, то Еа — гиббсовское состояние на пространстве И для взаимодействия Ф. [c.47]

Термодинамический формализм Рюэля не был первой монографией по статистической физике, основанной на понятии гиббсовского состояния несколькими годами раньше вышли книги Престона [1] и [2], в которых это понятие играло не менее важную роль. За прошедшие с тех пор два с лишним десятилетия появились и другие изложения этого круга идей (см., например. Синай [5], Келлер [1], Малышев и Минлос [1], Саймон [2], Израэль [3]). Особо отметим монографию Георги [3], вобравшую в себя значительную часть того, что было сделано к середине 80-х годов. Но и на этом фоне книга Рюэля не представляется лишь литературным памятником. От всех перечисленных книг она отличается двумя особенностями. Одна из них — это уже упоминавшийся динамический подход, другая состоит в том, что рассматриваемые модели статистической физию4 на счетном множестве, в частности, на решетке, описываются вероятностными мерами, сосредоточенными, вообще говоря, не на всем пространстве конфигураций, а лишь на множестве допустимых конфигураций. Это обстоятельство, которое автор считает главным признаком общности модели (см. введение), равносильно тому, что потенциал взаимодействия, определяющий модель, принимает как действительные значения, так и значение +оо, или, на другом языке, что у частиц может быть твердая сердцевина. Стоит заметить, что именно модели с твердой сердцевиной, как правило, возникают при изучении динамических систем методами символической динамики, хотя теория таких моделей гораздо менее продвинута, чем теория моделей без твердой сердцевины. Таким образом, две упомянутые особенности подхода Рюэля связаны между собой. [c.15]

Теорема 5. Если выполнены все упомянутые выше условия, то функция Р К является вещественно-аналитической. Кроме того, для любого А существует только одно гиббсовское состояние, которое также является единственным равновесным состшнпем. [c.27]

В главах 1 и 2 дана теория гиббсовских состояний без предположения об их трансляционной инвариантности (в этом случае вместо решетки рассматривается бесконечное счетное множество Ь). В главе 3 предполагается ипвариаптпость отпосительпо сдвига и развивается теория топологического давления и равновесных состояний для классических решетчатых систем. Кроме того, получены общие результаты по фазовым переходам. Глава 4 является центральной, в ней устанавливается связь между гиббсовскими и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам и, таким образом, предваряет главу 7. В главе 6 теория равновесных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство О. заменяется произвольным метрическим компактным пространством, на котором группа ТУ действует гомеоморфизмами. Глава 7 обобщает теорию гиббсовских состояний (и все соответствующие понятия) на конкретный класс компактных метрических пространств, называемых пространствами Смейла, на которых группа й действует гомеоморфизмами. Пространства Смейла включают в себя базисные множества с аксиомой А и, в частности, многообразия с диффеоморфизмами Аносова. [c.28]

Теперь мы можем охарактеризовать крайние точки множества Кф гиббсовских состояний неразлож1Шые гиббсовские состояния). [c.40]

В этом случае каждое гиббсовское состояние а имеет полный носитель, т. е. supp 7 = (это прямо следует из определения (1.14) гиббсовского состояния). Таким образом, если выполнено (D ), то условия (А ), (В ), (С ) теоремы 1.13 эквивалентны. [c.43]

Если F Q Q — изоморфизм, то F является биекцией множества гиббсовсЕсих состояний для взаимодействия Р Ф на Q в множество гиббсовских состояний для Ф на пространстве Q. Это вытекает из предложения 2.5 и из (2.4), (2.5). [c.49]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология