Итерационная регуляризация обратных задач

ИТЕРАЦИОННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ [c.151]

Изложены математические результаты, строго обосновывающие метод итерационной регуляризации для решения различных типов линейных обратных задач. [c.242]

Качество решения некорректно поставленной обратной задачи существенно зависит от полноты учета всей имеющейся качественной и количественной априорной информации об искомой величине. Такие сведения могут быть заданы исходя из физических особенностей исследуемых процессов и особенностей проведения эксперимента, а также из условий единственности решения задачи. Достаточно широкие воз -можности для учета априорной информации о некорректной задаче предоставляет итерационная форма регуляризации. [c.190]

Среди рассмотренных в данной книге методов решения обратных задач наиболее универсальным является итерационная регуляризация. Этот метод в настоящее время нашел широкое практическое использование для решения обратных задач различных типов и постановок, что конечно не исключает успешного применения других подходов, которые в ряде случаев могут оказаться более рациональными. В частности, пря-мые методы (алгебраический и численные) решения граничных ОЗТ оказываются особенно полезными и удобными для экспресс-обработки экспериментальных данных и в тех случаях, когда требуется проводить обработку результатов измерений в реальном масштабе времени. [c.266]

Методы решения обратной задачи термо упругости аналогичны рассмотренным выше. Но здесь необходимо отметить, что построение альтернирующего итерационного процесса в этой задаче невозможно ввиду специфики граничных условий, задаваемых на поверхности измерений. Задача не сводится к некоторой корректно-поставленной, минуя использование процедуры регуляризации или конструктивного выделения компактного множества корректности, на котором возможен поиск искомого решения. В то же время рассматриваемая задача характеризуется тем обстоятельством, что искомая величина является скалярной величиной, а отклик ее проявляется в виде тензорной величины. Это весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее во многих случаях получать устойчивые приближения, не пользуясь методом регуляризации. Используя же регуляризацию, можно в широких пределах варьировать эффективную зону измерений, сужая ее до тех пределов, с которых начинает сказываться неустойчивость алгоритма регуляризации. [c.85]

Приведенные результаты по обоснованию итерационной регуляризации относятся к линейным постановкам обратных задач. Применимость такого подхода к решению некорректных задач в нелинейных постановках бьша многократно показана методом вычислительного эксперимента (см,, например, работы [ 5, 8, 10, 14, 15, 17, 78]). [c.154]

Общим математическим методом решения некорректно поставленных задач является метод регуляризации А.Н. Тихонова. Большой вклад в эту область внесли М.М. Лаврентьев, Г.И. Марчук, В.К. Иванов, В.Я. Арсенин, В.А. Морозов, А.Б. Бакушинский, В,Б. Гласко и другие советские математики. Из принципов построения регуляризируюшда алгоритмов наиболее распространен вариационный принцип. Применяются также другие методы и приемы получения устойчивых решений, например, такие как шаговая регуляризация, а также принцип, получивший название итерационной регуляризации. Он предложен и развит в наших исследованиях. Этот подход оказался наиболее удобным и универсальным при решении различных обратных задач, что обусловило его широкое практическое распространение. [c.4]

Во-вторых, граничные ОЗТ с точки зрения получения устойчивых результатов представляют особый методический интерес. Как показывает опыт решения различных обратных задач, граничные ОЗТ по сравнению с коэффищ1ентными и геометрическими задачами имеют большую склонность к искажению результатов, связанному с некорректностью их постановок. К этому следует добавить, что в граничных ОЗТ трудно прогнозировать поведение искомого решения, так как априорная информация о нем бывает довольно ограниченной. С этой точки зрения в коэф фициентных и геометрических ОЗТ обычно наблюдается лучшее положение. Таким образом, отработку методов решения неустойчивых обратных задач целесообразно бывает проводить именно на граничных обратных задачах. Многие из методических подходов, разработанных для граничных ОЗТ, обобщаются также и на другие типы обратных задач. В частности, таким универсальным методом является итерационная регуляризация, которая применительно к граничным ОЗТ рассмотрена в гл. 6, обобщение этого подхода на другие обратные задачи дано в гл. 8. [c.30]

Замечание. Методы минимизации второго порядка (ньютоновского типа) непригодны для рассматриваемой итерационной регуляризации. Это объясняется тем, что в линейном случае они сводятся к непосредственному обращению оператора А исходной обратной задачи Аи = /, а в нелинейном случае требуется обращение производной этого оператора. В то же время оператор А и его производная не являются непрерывными, что исключает такую операцию. Поэтому методы ньютоновского типа могут применяться только при использовании шаговой регуляризации решения или для минимизации сглаживающего функционала при вариационном методе построения регуляризирующего алгоритма. [c.122]

Изложен итерационный метод решения обратных задач теплопроводности, в котором регуляризация осуществляется при помопда согласования числа итераций с величиной погрешности исходных данных Даны экстремальные постановки граничных обратных задач для одномерного и двумерного уравнений теплопроводности, и на основе методов скорейшего спуска и сопряженных градиентов построены регуляризованные алгоритмы их решения [c.134]

Алгоритмы, построенные в гл. 4—7, предназначены для решения граничных ОЗТ. В последнее время область практических применений методологии, основанной на обратных задачах теплообмена, значительно расширилась, что потребовало решения обратных задач и других типов. Как показали проведенные исследования, одним из наиболее эффективных и универсальных подходов к построению устойчивых алгоритмов решения некорректно поставленных обратных задач является итерационная регуляризация (гл. 6), под которой понимается построение параметрических регуляризирующих операторов с параметром регуляриза-Щ1И в виде номера итерации. С помощью этого метода могут быть получены удобные для практического использования алгоритмы решения обратных задач теплообмена в различных постановках (линейных и нелинейных, одномерных и многомерных, в областях с фиксированными и подвижными границами, с минимально необходимым составом исходных данных и переопределенных). Кроме того, оказалось возможным строго обосновать данный метод применительно к широкому классу задач, а также модернизировать итерационные алгоритмы для учета качественной и количественной априорной информации об искомом решении. [c.151]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология