Лежандра ортогональности

Присоединенные полиномы Лежандра ортогональны (см. задачу 2.3), поэтому интеграл (2.66) отличен от нуля только при выполнении соотношения 1=Г+ или /=/ —1, что приводит к правилу отбора по орбитальному числу [c.46]

Обозначим P o( os 0) = Р (х), где Р (х) — полином Лежандра степени га. Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [ +1, —1] с весовой функцией, тождественно равной единице, т. е. [c.147]

Можно доказать, что присоединенные полиномы Лежандра, подобно обычным полиномам Лежандра, ортогональны в имеющем физический смысл интервале —т. е. [c.65]

Полиномы Лежандра ортогональны на отрезке (—1, 1) ( 2 [c.237]

В качестве функций используются ортогональные полиномы Эрмита, Чебышева и Лежандра. Тогда, если система функций т) , является полной, неизвестная плотность распределения р случайной величины представима в виде [c.182]

Коэффициенты ф,Дж, 1), как обычно, получаются из свойств ортогональности полиномов Лежандра [c.245]

Функция источника 5 х, и, д,) также разлагается в ряд. Подставив эти разложения в уравнение (12.10) и воспользовавшись теоремой сложения (7.20) и свойством ортогональности для полиномов Лежандра, получим для определения коэффициентов ф следующую бесконечную цепочку связанных уравнений [c.557]

Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежандра являются ортогональными функциями, т. е. [c.30]

Проверьте ортогональность трех первых полиномов Лежандра (см. табл. 2.1). [c.30]

Однако более удобным в плане расчета является описание g (xi) с помош,ью ортогональных полиномов Лежандра [91 ] [c.112]

В [91 ] предлагается описывать зависимость g от состава жидкой фазы Хх через ортогональные полиномы Лежандра [c.138]

Вместо полиномов Лежандра для описания зависимости g (х ) могут быть использованы и любые другие полиномы, в частности, полиномы Чебышева. Строго говоря, наибольшим преимуществом обладают полиномы, ортогональные в точках отрезка, так как для них коэффициенты полиномов независимы. Одна иа причин, почему предпочтение было отдано полиномам Лежандра,, состоит в том, что первые их члены по своей форме практически совпадают с первыми членами корреляционного уравнения Редлиха—Кистера, которое традиционно используют для описания зависимости коэффициентов активности от состава. Для полиномов Редлиха—Кистера имеем [c.138]

Воспользовавшись теперь выражением (12.15) и условием ортогональности полиномов Лежандра на интервале (-1,1) [c.284]

ОТ угловых координат, имеет вид произведения трех присоединенных полиномов Лежандра, и с учетом соотношений ортогональности между функциями такого типа бесконечный ряд разложения сводится к сумме, состоящей всего из нескольких членов. Вычисление матричных элементов облегчается также в результате применения правил отбора, полученных в разд. 6.5. Подробные сведения по этому вопросу читатель может найти в монографиях, посвященных теориям кристаллического поля и поля лигандов (см., например, [81]). [c.277]

Коэффициенты ряда могут быть найдены благодаря ортогональности полиномов Лежандра Я2л+1( п)- [c.282]

Хотя соответствующее доказательство здесь не приводится, следует отметить, что полиномы Лежандра образуют в интервале — 1 < а < 1 ортогональную систему так что [c.63]

Формула Лежандра—Гаусса выводится с помощью метода наименьших квадратов с использованием ортогональных полиномов [41]. При использовании любой системы ортогональных [c.236]

Без доказательства приведем еще два соотношения, выражающие свойства ортогональности полиномов Лежандра на отрезке от -1 до +1 при т Ф п [c.410]

В Math ad 8,0/2000 PRO было введено около 50 новых функций. Среди них ряд функций Бесселя, гипергеометрические функции и др. Особо следует отметить вычисление ортогональных многочленов Эрмита Her(/j,.v), Якоби Лас(и,лг,й,л ), Лагерра Lag(/i,A )> Лежандра Leg(rt,.v) и Чебышева ТсЬеЬ(н,л ) и U heb(rt,.v). Примеры работы с этими функциями даны ниже [c.49]

Здесь f,g, p — векторы объемных сил, поверхностных нагрузок и перемещений V — вектор внешней нормали к поверхности тела индекс (i, /) означает симметризацию по /,/ = 1, 2, 3 U(ei ), Ф((Ту) — потенциалы напряжений и деформаций, связанные преобразованием Лежандра Ф(о у) = = Ofj e j — С/ ( i/ ). Для почти одинаковых контактирующих поверхностей можно ввести общий вектор нормали v. Направленная вдоль него компонента перемещений щ и напряжений = a jVjV , а также ортогональная компонента удовлетворяют следующим условиям на (контакт упругого тела с жестким) или на Гк1 и Гк2 (контакт двух деформируемых тел 1 и 2) [c.142]

Метод бесконечной системы уравненкй заключается в следующем. Функции Ф р) и p(f ), после соответствующей замены переменных, разлагают по какой-либо системе ортогональных и нормированных функций (например, функций Лежандра). При этом исходное интегральное уравнение можно записать з виде [c.101]

В связи с этим В. А. Стекловым [92] еще в 1921 г. была поставлена проблема об условиях ограниченности ортонормированной системы многочленов на всем интервале ортогональности или на его части (в терминах веса). При этом, ограничиваясь абсолютно непрерывными обложениями о(Х). В. А. Стеклов высказал предположение о равномерной ограниченности любой ортогональной системы многочленов на каждом сегменте [а, ], лежащем внутри интервала ортогональности (О, 1) и не содержащем нулей веса / (Х) = а (Х). Все известные системы многочленов от полиномов Лежандра до недавно построенных Н. И. Ахиезером [6 (3)] многочленов, ортогональных на системе отрезков, оправдывают гипотезу В. А. Стеклова. Однако вопрос о справедливости этой гипотезы все еще остается открытым. [c.294]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология