Лежандра функции

Преобразования у х) (р), определенные с помощью приведенных уравнений, называются преобразованиями Лежандра. V (р) — результат преобразования Лежандра функции у х). Преобразования Лежандра являются частным случаем преобразований прикосновения. Они встречаются в классической механике при переходе от формулировок Лагранжа к формулировкам Гамильтона. Важными для нас являются следующие свойства. [c.88]

Следовательно, можно сказать, что Ф есть результат полного преобразования Лежандра функции У. Это утверждение справедливо также и в обратном смысле, так как преобразования (6.169) и (6.175) полностью симметричны относительно переменных Xi, Хг,. .., Xj и Уи г/2,. . , У/ и соответственно относительно функций Ч и Ф. Благодаря этому свойству преобразование Лежандра часто называют дуальным преобразованием ). [c.256]

Попробуем, используя (1.26). составить новое характеристическое уравнение в других переменных — температуры и объема. Для этого произведем преобразование Лежандра, смысл которого состоит в том, что одновременно с заменой переменных в правой части (1.26) заменим функцию под знаком дифференциала в левой части. Добавляя и отнимая (Т8), после преобразований получим [c.28]

Еще одну характеристическую функцию можно получить проведением преобразований Лежандра над уравнением (1.29) с переходом от переменных 8, Р к переменным Т, Р. Вычитание из обеих частей уравнения (1.29) (Т8) дает [c.28]

В качестве функций используются ортогональные полиномы Эрмита, Чебышева и Лежандра. Тогда, если система функций т) , является полной, неизвестная плотность распределения р случайной величины представима в виде [c.182]

В определении f используется аргумент т], поскольку эта величина входит в соотношение энергий (4.15а) в явном виде. Кроме того, функция f представлена в виде разложения по полиномам Лежандра, так как процессы рассеяния не зависят от азимутального угла относительно первоначального направления дви>кения нейтрона v. Таким образом, процесс рассеяния полностью описывается с помощью одной переменной т], которая изменяется в интервале (—1,1), т. е. в интервале, на котором определены функции Р . [c.53]

Так как функция I) зависит только от переменной она может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра Рп(1Ао) [c.239]

Решение уравнения (12.10) будем искать, разлагая выражения для потока и для функции рассеяния в ряды по полиномам Лежандра. При этом для получения функции вероятности рассеяния используем выражение (7.125), а поток запишем в виде [ср. с уравнением (7.74)] [c.557]

Функция источника 5 х, и, д,) также разлагается в ряд. Подставив эти разложения в уравнение (12.10) и воспользовавшись теоремой сложения (7.20) и свойством ортогональности для полиномов Лежандра, получим для определения коэффициентов ф следующую бесконечную цепочку связанных уравнений [c.557]

Преобразование Лежандра. Гомогенные функции и теорема Эйлера [c.85]

Обобщение этого рассуждения на функцию (19.1) п независимых переменных требует перенесения рассмотрения с плоскости в (л + 1)-мерное пространство, что, впрочем, не представляет трудностей. Не будем это приводить подробно, а дадим лишь формулы. Рассмотрим особенно важный для применения случай преобразования только под-набора х ,. .., х полного набора х .....х . Геометрически это значит, что преобразование проводится в ( + I)-мерном подпространстве (п + 1)-мерного пространства, причем, естественно, подпространство должно содержать координату у. При таком г-кратном преобразовании Лежандра переменные. .... х следует рассматривать [c.88]

Последнее требование говорит о том, что трансформируемая функция должна так же обладать свойствами характеристической функции. Сразу видно, что это является постановкой задачи, приведенной в 19, и что проблема может быть решена при помощи преобразований Лежандра фундаментального уравнения. [c.100]

Преобразование Лежандра можно применять как к энтропийному выражению, так и к энергетическому выражению фундаментального уравнения, что приводит к двум рядам характеристических функций. В этом параграфе ограничимся рассмотрением энергетического выражения, которое в рамках термодинамики имеет несравненно большее значение. [c.101]

Преобразование Лежандра для функции ш определяется равенствами [c.180]

Функции ( os в) называют присоединенными полиномами Лежандра и определяют следующим образом [c.29]

Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежандра являются ортогональными функциями, т. е. [c.30]

Учитывая, что 0-функции представляют собой присоединенные полиномы Лежандра (2.23), перепишем (2.63) в виде [c.45]

Функцию 0 находят с помощью присоединенного полинома Лежандра [c.65]

Такой подход давно известен в теории функций многих переменных. Ими являются преобразования Лежандра. Поскольку P Xh — функция состояния, любая вспомогательная функция вида [c.53]

Чтобы заменить независимую переменную е на ф, вновь воспользуемся преобразованием Лежандра и введем тождественно функцию О [c.57]

Описание сигналов формулами (ГУ.Ю ), (1У.102) и (1У.105) позволяет свести некорректно поставленную задачу нахождения импульсной функции е(х) к устойчивому определению ее с помощью функций Лагерра [130]. Если длительность импульсных одномодальных сигналов ограничена, то интегралы в выражениях (1У.103) и (1У.104) можно определить [131] по квадратурной формуле Г аусса — Лежандра [c.115]

Результат преобразования Лежандра фундаментального уравнения в энтропийном выражении называют функциями Массье —Планка. Общее определение функций Массье — Планка записывают следующим образом [c.109]

Так как при преобразовании Лежандра полностью сохраняется физическая информация, то можно сформулировать общие условия равновесия и стабильности также при помощи результата преобразования Лежандра фундаментального уравнения, т. е. термодинамических потенциалов или функций Массье — Планка. Проведем эти преобразования для термодинамических потенциалов, а для функций Массье — Планка, поскольку доказательство производится аналогично, дадим лишь конечный результат. [c.112]

Рассмотрим это более подробно. Любую непрерывную функцию можно разложить по полному набору функций. Полиномы Лягерра, Лежандра и многие другие образуют полную систему функций. Например, непрерывную функцию одной переменной /(х) можно разложить в ряд по полиномам Лягерра [c.117]

Функции Рг"Чсоз0) называются присоединенными полиномами Лежандра и определяются следующим образом [c.26]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология