Лежандра

Преобразование Лежандра [6], использованное в зависимости (3-14), приводит к уравнению Гиббса—Дюгема [c.29]

Решение уравнения (12.10) будем искать, разлагая выражения для потока и для функции рассеяния в ряды по полиномам Лежандра. При этом для получения функции вероятности рассеяния используем выражение (7.125), а поток запишем в виде [ср. с уравнением (7.74)] [c.557]

Преобразование Лежандра. Гомогенные функции и теорема Эйлера [c.85]

Попробуем, используя (1.26). составить новое характеристическое уравнение в других переменных — температуры и объема. Для этого произведем преобразование Лежандра, смысл которого состоит в том, что одновременно с заменой переменных в правой части (1.26) заменим функцию под знаком дифференциала в левой части. Добавляя и отнимая (Т8), после преобразований получим [c.28]

Еще одну характеристическую функцию можно получить проведением преобразований Лежандра над уравнением (1.29) с переходом от переменных 8, Р к переменным Т, Р. Вычитание из обеих частей уравнения (1.29) (Т8) дает [c.28]

Оценка в три этапа. На нервом этапе пытаются из имеющихся данных извлечь некоторое число статистик, суммирующих наблюдения в таком виде, чтобы они имели какой-либо физический смысл. Нанример, можно представить условное распределение в виде коэффициентов разложения по полиномам Лежандра и дать физическую интерпретацию коэффициентам разложения. На основе этой сводки данных на втором этапе находят первичные оценки параметров. Если данные в таком виде действительно имеют физический смысл, то проблема первичной оценки существенно упрощается. На третьем этапе первичные данные используются как начальные приближения для любых эффективных методов применительно к данным в их первоначальном виде. К сожалению, на практике этот этап, как правило, опускается из-за непонимания того, что на первом этапе может иметь место потеря информации (при суммировании данных), и из-за дефицита времени. В целом, однако, именно такая стратегия поиска является наиболее последовательной и строгой, хотя и наиболее трудоемкой. [c.208]

В качестве функций используются ортогональные полиномы Эрмита, Чебышева и Лежандра. Тогда, если система функций т) , является полной, неизвестная плотность распределения р случайной величины представима в виде [c.182]

Как и ранее, неизвестные А)-, х могут быть определены решением системы нелинейных уравнений аналитически или численными методами [2]. Однако коэффициенты могут быть вычислены исходя из других соображений значительно проще. Оказывается, что местоположения узловых точек, т. е. значения хц, являются корнями полиномов Лежандра [c.214]

Подставляя (П.4.6) в граничные условия (П.4.4) и используя единственность разложения по полиномам Лежандра и линейную независимость синусов и косинусов с учетом соотношений (П.4.8), получим [c.193]

Вычисляя интегралы с использованием рекуррентных соотношений и специальных свойств для полиномов Лежандра, получим [c.197]

В определении f используется аргумент т], поскольку эта величина входит в соотношение энергий (4.15а) в явном виде. Кроме того, функция f представлена в виде разложения по полиномам Лежандра, так как процессы рассеяния не зависят от азимутального угла относительно первоначального направления дви>кения нейтрона v. Таким образом, процесс рассеяния полностью описывается с помощью одной переменной т], которая изменяется в интервале (—1,1), т. е. в интервале, на котором определены функции Р . [c.53]

Так как функция I) зависит только от переменной она может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра Рп(1Ао) [c.239]

Коэффициенты ф,Дж, 1), как обычно, получаются из свойств ортогональности полиномов Лежандра [c.245]

Функция источника 5 х, и, д,) также разлагается в ряд. Подставив эти разложения в уравнение (12.10) и воспользовавшись теоремой сложения (7.20) и свойством ортогональности для полиномов Лежандра, получим для определения коэффициентов ф следующую бесконечную цепочку связанных уравнений [c.557]

Преобразования у х) (р), определенные с помощью приведенных уравнений, называются преобразованиями Лежандра. V (р) — результат преобразования Лежандра функции у х). Преобразования Лежандра являются частным случаем преобразований прикосновения. Они встречаются в классической механике при переходе от формулировок Лагранжа к формулировкам Гамильтона. Важными для нас являются следующие свойства. [c.88]

Преобразования Лежандра однозначно и обратимо превращают не каждую точку плоскости х,у в точку плоскости 1 ), р, а каждую точку кривой у х) в точку кривой (р). [c.88]

Обобщение этого рассуждения на функцию (19.1) п независимых переменных требует перенесения рассмотрения с плоскости в (л + 1)-мерное пространство, что, впрочем, не представляет трудностей. Не будем это приводить подробно, а дадим лишь формулы. Рассмотрим особенно важный для применения случай преобразования только под-набора х ,. .., х полного набора х .....х . Геометрически это значит, что преобразование проводится в ( + I)-мерном подпространстве (п + 1)-мерного пространства, причем, естественно, подпространство должно содержать координату у. При таком г-кратном преобразовании Лежандра переменные. .... х следует рассматривать [c.88]

Последнее требование говорит о том, что трансформируемая функция должна так же обладать свойствами характеристической функции. Сразу видно, что это является постановкой задачи, приведенной в 19, и что проблема может быть решена при помощи преобразований Лежандра фундаментального уравнения. [c.100]

Преобразование Лежандра можно применять как к энтропийному выражению, так и к энергетическому выражению фундаментального уравнения, что приводит к двум рядам характеристических функций. В этом параграфе ограничимся рассмотрением энергетического выражения, которое в рамках термодинамики имеет несравненно большее значение. [c.101]

Результаты преобразования Лежандра фундаментального уравнения в энергетическом выражении называют термодинамическими потенциалами. Поэтому общее определение термодинамических потенциалов записывается [c.101]

Описание сигналов формулами (ГУ.Ю ), (1У.102) и (1У.105) позволяет свести некорректно поставленную задачу нахождения импульсной функции е(х) к устойчивому определению ее с помощью функций Лагерра [130]. Если длительность импульсных одномодальных сигналов ограничена, то интегралы в выражениях (1У.103) и (1У.104) можно определить [131] по квадратурной формуле Г аусса — Лежандра [c.115]

В формулировке (17.2) дополнительные условия экстремальной задачи выражены через экстенсивные параметры всей системы в целом, относящиеся к представлению энергии. Поэтому можно ожидать, что при формулировке условий равновесия при помощи результата преобразования Лежандра внутренней энергии одно или несколько дополнительных условий можно выразить через интенсивный параметр всей системы в целом. Это предположение (правильность которого будет доказана) ясно показывает природу задачи, которая здесь возникает. В то время как именно для гетерогенной системы каждый экстенсивный параметр равен сумме соответствующих экстенсивных параметров фазы, интенсивные параметры, согласно 15, определены только для каждой фазы, но не для всей системы в целом. Определение экстенсивных параметров для всей системы в целом основано на фундаментальном свойстве (20.6). Аналогичным образом определение интенсивных параметров основано на фундаментальном свойстве [c.112]

Вывод преобразованных условий равновесия состоит из двух частей. Сначала условие (17.2) приводят в эквивалентную форму, которая больше не содержит дополнительных условий, а содержит их в формулировке экстремальной задачи. Далее, из этой формулировки при помощи преобразования Лежандра (21.4) выводят условия равновесия для термодинамических потенциалов. Прежде всего предположим, что между параметрами Х ( > к) не существует никаких дополнительных соотношений. [c.113]

До сих пор термодинамические потенциалы рассматривались как результат преобразования Лежандра внутренней энергии. Конечно, можно также при помощи преобразований Лежандра перейти от термодинамического потенциала f к другому термодинамическому потенциалу (k > I). Тогда [c.118]

Вывод остальных следствий (которые имеют не только формальный интерес) возможен, но довольно громоздок. Причина этого заключается в структуре фундаментального уравнения, рассмотренной в 21. Поэтому возникает аналогичная 23 задача выразить условия стабильности через результат преобразования Лежандра для фундаментального уравнения. [c.207]

В этом случае решение системы линейных уравнений для определения коэффициентов Af выполняется проще, поскольку значения корней полиномов Лежандра могут быть заранее протабули- [c.214]

Рассмотрим теперь нелинейпуш конфигурацию атомов. Для выделения угловой зависимости взаимодействия потенциал U обычно представляют в виде суммы симметричной 7., и асимметричной Va частей, последняя исчезает при усреднении по углам у. При достаточно малой асимметрии У,, может быть представлена в виде быстро сходящегося разложения по степеням os у или полиномом Лежандра Р). ( os v). Таким образом, потенциальная энергия системы мтом + двухатомная молекула записывается в виде [c.65]

Результат преобразования Лежандра фундаментального уравнения в энтропийном выражении называют функциями Массье —Планка. Общее определение функций Массье — Планка записывают следующим образом [c.109]

Так как при преобразовании Лежандра полностью сохраняется физическая информация, то можно сформулировать общие условия равновесия и стабильности также при помощи результата преобразования Лежандра фундаментального уравнения, т. е. термодинамических потенциалов или функций Массье — Планка. Проведем эти преобразования для термодинамических потенциалов, а для функций Массье — Планка, поскольку доказательство производится аналогично, дадим лишь конечный результат. [c.112]

Методы оптимизации в химической технологии издание 2 (1975) -- [ c.214 ]

Научные основы химической технологии (1970) -- [ c.29 ]

Основы квантовой химии (1979) -- [ c.34 ]

Теоретическая неорганическая химия Издание 3 (1976) -- [ c.59 ]

Явления переноса (1974) -- [ c.115 ]

Химия Справочник (2000) -- [ c.439 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология