Преобразование Лежандра

Преобразование Лежандра [6], использованное в зависимости (3-14), приводит к уравнению Гиббса—Дюгема [c.29]

Преобразование Лежандра. Гомогенные функции и теорема Эйлера [c.85]

Лежандр Адриен Мари (1752 - 1833) - французекий математик, член Парижской Академии наук. Первым открыл и применил в вычислениях метод наименьших квадратов. Ввел полиномы Лежандра, преобразование Лежандра, в вариационном исчислении установил признак существования экстремума. [c.87]

Попробуем, используя (1.26). составить новое характеристическое уравнение в других переменных — температуры и объема. Для этого произведем преобразование Лежандра, смысл которого состоит в том, что одновременно с заменой переменных в правой части (1.26) заменим функцию под знаком дифференциала в левой части. Добавляя и отнимая (Т8), после преобразований получим [c.28]

Еще одну характеристическую функцию можно получить проведением преобразований Лежандра над уравнением (1.29) с переходом от переменных 8, Р к переменным Т, Р. Вычитание из обеих частей уравнения (1.29) (Т8) дает [c.28]

Такой подход давно известен в теории функций многих переменных. Ими являются преобразования Лежандра. Поскольку P Xh — функция состояния, любая вспомогательная функция вида [c.53]

Преобразования у х) (р), определенные с помощью приведенных уравнений, называются преобразованиями Лежандра. V (р) — результат преобразования Лежандра функции у х). Преобразования Лежандра являются частным случаем преобразований прикосновения. Они встречаются в классической механике при переходе от формулировок Лагранжа к формулировкам Гамильтона. Важными для нас являются следующие свойства. [c.88]

Результаты преобразования Лежандра фундаментального уравнения в энергетическом выражении называют термодинамическими потенциалами. Поэтому общее определение термодинамических потенциалов записывается [c.101]

Преобразования Лежандра однозначно и обратимо превращают не каждую точку плоскости х,у в точку плоскости 1 ), р, а каждую точку кривой у х) в точку кривой (р). [c.88]

В формулировке (17.2) дополнительные условия экстремальной задачи выражены через экстенсивные параметры всей системы в целом, относящиеся к представлению энергии. Поэтому можно ожидать, что при формулировке условий равновесия при помощи результата преобразования Лежандра внутренней энергии одно или несколько дополнительных условий можно выразить через интенсивный параметр всей системы в целом. Это предположение (правильность которого будет доказана) ясно показывает природу задачи, которая здесь возникает. В то время как именно для гетерогенной системы каждый экстенсивный параметр равен сумме соответствующих экстенсивных параметров фазы, интенсивные параметры, согласно 15, определены только для каждой фазы, но не для всей системы в целом. Определение экстенсивных параметров для всей системы в целом основано на фундаментальном свойстве (20.6). Аналогичным образом определение интенсивных параметров основано на фундаментальном свойстве [c.112]

Обобщение этого рассуждения на функцию (19.1) п независимых переменных требует перенесения рассмотрения с плоскости в (л + 1)-мерное пространство, что, впрочем, не представляет трудностей. Не будем это приводить подробно, а дадим лишь формулы. Рассмотрим особенно важный для применения случай преобразования только под-набора х ,. .., х полного набора х .....х . Геометрически это значит, что преобразование проводится в ( + I)-мерном подпространстве (п + 1)-мерного пространства, причем, естественно, подпространство должно содержать координату у. При таком г-кратном преобразовании Лежандра переменные. .... х следует рассматривать [c.88]

Последнее требование говорит о том, что трансформируемая функция должна так же обладать свойствами характеристической функции. Сразу видно, что это является постановкой задачи, приведенной в 19, и что проблема может быть решена при помощи преобразований Лежандра фундаментального уравнения. [c.100]

Преобразование Лежандра можно применять как к энтропийному выражению, так и к энергетическому выражению фундаментального уравнения, что приводит к двум рядам характеристических функций. В этом параграфе ограничимся рассмотрением энергетического выражения, которое в рамках термодинамики имеет несравненно большее значение. [c.101]

Здесь расположенные накрест величины всегда относятся к одной (i-й или k-vi) степени свободы, поскольку с помощью преобразований Лежандра производится замена переменных только в пределах каждого отдельного слагаемого в фундаментальном уравнении Гиббса и не может затрагиваться распределение термодинамических параметров между различными слагаемыми. Поэтому с точностью до знака соотношения Максвелла легко запомнить и написать без вывода. Например, из уравнения [c.55]

Вывод преобразованных условий равновесия состоит из двух частей. Сначала условие (17.2) приводят в эквивалентную форму, которая больше не содержит дополнительных условий, а содержит их в формулировке экстремальной задачи. Далее, из этой формулировки при помощи преобразования Лежандра (21.4) выводят условия равновесия для термодинамических потенциалов. Прежде всего предположим, что между параметрами Х ( > к) не существует никаких дополнительных соотношений. [c.113]

До сих пор термодинамические потенциалы рассматривались как результат преобразования Лежандра внутренней энергии. Конечно, можно также при помощи преобразований Лежандра перейти от термодинамического потенциала f к другому термодинамическому потенциалу (k > I). Тогда [c.118]

Вывод остальных следствий (которые имеют не только формальный интерес) возможен, но довольно громоздок. Причина этого заключается в структуре фундаментального уравнения, рассмотренной в 21. Поэтому возникает аналогичная 23 задача выразить условия стабильности через результат преобразования Лежандра для фундаментального уравнения. [c.207]

При необходимости заменить в уравнении (И.6) любую координату Xh как независимую переменную на отвечающую ей обобщенную силу Ph, используют преобразования Лежандра [c.53]

Преобразование Лежандра для функции ш определяется равенствами [c.180]

На основании (1Х.65), используя преобразование Лежандра, получим общее выражение для термодинамических потенциалов [c.218]

В математике производимые таким образом замены переменных носят названия преобразований Лежандра, С помощью таких преобразований можно менять ролями зависимые и неза- [c.82]

Чтобы заменить независимую переменную е на ф, вновь воспользуемся преобразованием Лежандра и введем тождественно функцию О [c.57]

Умножим уравнение (35) на х,- и проинтегрируем по объему тела V с применением преобразований Лежандра [c.19]

Из (1.5) и (1.6) обычным путем, используя преобразование Лежандра, получаем другие фундаментальные уравнения и формулировки принципа равновесия, выраженные через [c.7]

Эти зависимости развивались естественным путем, однако математически они выводятся из исходного фундаментального уравнения (2.22) с помощью преобразования Лежандра [86]. Другая группа переменных, из которых получают все другие термодинамические данные, [c.119]

Введение этой функции осуществим, использовав, так называемое, преобразование Лежандра преобразование прикосновением). С помощью этого преобразования меняются ролями зависимые и независимые переменные. [c.15]

Применим преобразование Лежандра для уравнения (1.9), записав его относительно dU. [c.16]

Применяя преобразование Лежандра и перейдя от переменных F, Т к переменным V", Т, т. е. записав dF = dG — d PV), получим [c.36]

Результат преобразования Лежандра фундаментального уравнения в энтропийном выражении называют функциями Массье —Планка. Общее определение функций Массье — Планка записывают следующим образом [c.109]

Так как при преобразовании Лежандра полностью сохраняется физическая информация, то можно сформулировать общие условия равновесия и стабильности также при помощи результата преобразования Лежандра фундаментального уравнения, т. е. термодинамических потенциалов или функций Массье — Планка. Проведем эти преобразования для термодинамических потенциалов, а для функций Массье — Планка, поскольку доказательство производится аналогично, дадим лишь конечный результат. [c.112]

Чтобы ввести в уравнение (10.27) нужную нам величину МйН, ирименим преобразование Лежандра, обра зовав новую функцию [c.295]

Э. относится к группе термодинамич. ф-ций, называемых ф-циями Массье-Планка. Другие ф-ции, принадлежащие к этой группе - ф-ция Массье Ф, = 5 - (1/Г) С/ и ф-ция Планка ф = 3 - 1Т)и — (р1Т)У, м. б. получены в результате применения к Э. преобразования Лежандра. [c.482]

Здесь f,g, p — векторы объемных сил, поверхностных нагрузок и перемещений V — вектор внешней нормали к поверхности тела индекс (i, /) означает симметризацию по /,/ = 1, 2, 3 U(ei ), Ф((Ту) — потенциалы напряжений и деформаций, связанные преобразованием Лежандра Ф(о у) = = Ofj e j — С/ ( i/ ). Для почти одинаковых контактирующих поверхностей можно ввести общий вектор нормали v. Направленная вдоль него компонента перемещений щ и напряжений = a jVjV , а также ортогональная компонента удовлетворяют следующим условиям на (контакт упругого тела с жестким) или на Гк1 и Гк2 (контакт двух деформируемых тел 1 и 2) [c.142]

Как будет показано в дальнейшем, применение преобразования Лежандра к функции и позволит получить ряд важнейших термодпнамрр1еских функций. [c.16]

Используя преобразование Лежандра для TdS = d TS) — SdT и PdV = d PV) — VdP, a также тот факт, что G = i i i и что dG = lidNi + YjNidfii, преобразуем уравнение (2.80) к следующему виду, перенеся все члены в правую часть и сгруппировав дифференциалы произведений PV и TS с внутренней энергией U [c.39]

На практике удобно измерять изменение поверхностного натяжения ири варьировании концентрации или активности компонентов системы. Поэто му от переменных ilwNi перейдем к переменным 7 и pi, применяя к урав-нешж) (11.13) преобразование Лежандра. Тогда [c.242]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология