Лежандра полиномы

Вырождение вращательных состояний. Из выражения для полинома Лежандра — см. уравнение (10.15) — следует, что наивысшая степень х определяется -кратным дифференцированием величины x , и поэтому конечный результат будет содержать х . Следовательно, т-я производная от Р (ж), а стало быть и присоединенный полином Лежандра, в который входит эта производная, превратится в пуль, если т больше . Таким образом, т, которое, как неоднократно указывалось выше, должно быть щ лем или целым числом, может при данном I принимать только значения 0,1,2,..., при условии, что собственная функция ротатора должна быть конечной величиной. Член е п < , входящий в уравнение (11.8), показывает, что каждому целому значению т соответствуют две собственные функции с положительным и отрицательным значением т поэтому при данном I величина тп может быть равна О, 1, 2,. . ., . Следовательно, для каждого значения имеются 11+ возможных значений т, которые соответствуют тому же самому числу собственных функций, представленных уравнением (11.8). Из уравнения (9.68) следует, что число I определяет собственное состояние ротатора. Поэтому каждое энергетическое состояние [c.65]

Здесь К +1/2 (х) — функция Макдональда, ( х) — полином Лежандра всюду берется та ветвь функции У" + 4 , которая на действительной положительной полуоси комплексного переменного 5 принимает положительное значение. Коэффициенты Ап определяются из условий сращивания с (8.12). В результате имеем [c.323]

Рп ( os 9) — полином Лежандра (порядка га) [c.288]

Обозначим P o( os 0) = Р (х), где Р (х) — полином Лежандра степени га. Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [ +1, —1] с весовой функцией, тождественно равной единице, т. е. [c.147]

В произвольной системе координат, в которой ось z не совпадает с направлением вектора R, ориентация векторов г , Гз и R задается сферическими углами (-б- , ср ) ( 2> Фг) = ( ji, фн) = Поскольку полином Лежандра выражается через произведение функций, то формулы (1.4), (1.5) могут быть записаны через сферические углы [c.80]

Здесь г — расстояние между центром ядра и заданной точкой, Р-з—полином Лежандра, угол — угол между осью симметрии ядра и направлением на точку, Q — момент квадруполя [c.435]

P ( os 0) — полином Лежандра /-го порядка. [c.653]

Следует отметить, что поскольку полином Лежандра является решением уравнения Лежандра (10.12), последнее может быть представлено в виде [c.63]

Так как полином Лежандра Pi x) является решением уравнения [c.64]

Чтобы показать, как следует пользоваться соотношениями (3) и (4), рассмотрим случай = 3. Соответствующий полином Лежандра равен [c.237]

Таким образом, чтобы воспользоваться формулой Лежандра — Гаусса (3), сначала следует выбрать степень аппроксимирующего полинома Лежандра, т. е. фиксировать 5. Нули выбранного таким образом полинома Ра(х) могут быть найдены из таблиц или по формулам, данным в сноске на стр. 236. Вычисляя значения функции / (л ) в каждом из нулей Рв х), получаем I (Xj), а Hj находим из формулы (4) или из таблиц. Действительно, величины могут быть определены раз и навсегда, когда только степень полинома фиксирована. Если /(х) —полином степени а степень аппроксимирующего полинома Лежандра равна 5, то при / 25—1 остаточный член в формуле (3) обращается в нуль, так как производная с1р 1йх равна нулю. Другими словами, метод механических квадратур позволяет точно вычислять интеграл от полинома степени с помощью полинома Лежандра меньшей степени, а именно 5 > 1)/2. [c.238]

Функция / у (с) —ПОЛИНОМ степени R, а Р (с) —нормированные полиномы Лежандра степени к, о которых говорилось выше. Величины й, т —коэффициенты, которые обычно находят путем умножения обеих частей равенства на Р, (с), = 0,11 и интегрирования по отрезку (—1, 1). В силу ортонормирован-ности системы [c.239]

Здесь Рп ( os вк/)— полином Лежандра . [c.207]

Полином Лежандра Р х) = О/г" ) d" (х — ) dx . Например, W=Q Pi (x)=r, Pz (x) = % (Здс — 1) и т. д. [c.207]

Здесь ао = 0,53 — постоянная, называемая радпусом Бора (см. с. 47), Р — но минал Лягерра и L — полином Лежандра, некоторые значения которых приведены в табл. 4.2 и 4.3, I = V— 1. [c.54]

Решить задачу расщепления вырожденных термов во внешнем поле, руппой преобразований симметрии для атома является группа симметрии шара, обладающая бесконечным числом элементов и множеством неприводимых представлений. Базисными функциями для этих представлений являются сферические функции [см. (1.8)]Kf ( , ф) = Pf ( os ) где —присоединенный полином Лежандра. Для каждого L имеется 2L + 1 сферических функций с различным М (Л1 = О, 1, 2,. .., Ь), преобразующихся линейно друг через друга при преобразовании симметрии группы и осуществляющих неприводимое представление размерности 2L+1. Атомные термы, следовательно, имеют 2L -Ь 1-кратное вырождение. [c.257]

Потенциал в некоторой точке Р г, 0, ф) по отношению к началу координат может быть расположен по сферическим гармоникам с центром в начале координат [46,152], а поэтому можно Иг разложить как полином Лежандра делается также предположение, чтог<а (т. е. что электрон полностью находится внутри сферы радиуса а), потому что -электроны расположены около иона в начале координат, и потенциал, создаваемый молекулами воды, должен быть отнесен к той же системе координат. [c.223]

Pfe( osYi2) — полином Лежандра аргумента os yi2 = os fl i os 0 24-+ sin ui зш О г соз(ф1 — фг), а одноэлектронные функции в атоме а, Ь, с п d выражаются через шаровые функции по уравнению (11.1). Подставляя эти выражения в (11.21) и используя теорему сложения сферических функций [57, с. 1029] [c.42]

Группой преобразований симметрии для атома служит группа симметрии шара, обладающая бесконечным числом элементов и множеством неприводимых представлений. Базисными функциями для этих представлений являются сферические функции [см. (11.2)] 1 ср) = Р1 созгде — присоединенный полином Лежандра. [c.78]

Pk ( os Y12) — полином Лежандра аргумента os Y12 = os fl i os 2 + -Ь sin i sin 2С05(ф1 — фг), а одноэлектронные функции в атоме а, Ь, с и d выражаются через щаровые функции по уравнению (1.7). Подставляя эти выражения в (VIII. 11) и используя теорему сложения сферических функций [формулу (VIII. 36)1 можно получить [c.223]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология