Еще раз о кванторах

Замкнутый терм Открытая формула Замкнутая формула Связ- ка Квантор Открытый терм [c.85]

Центральное место, которое занимает в нашем анализе требование полноты, обязывает уточнить, что мы имеем в виду под квантором (прим. 2). Мы определяем квантор <Э как такое двухместное отношение между классом Т (например, множеством истинных альтернатив) и классом 5 (например, [c.58]

Разумность такого ограничения в выборе кванторов подтверждается нашим наблюдением, согласно которому степень полноты выбора 5 лучше всего понимается тогда, когда говорится о том, сколько истинных альтернатив из множества Т не попало в выбор (т. е. когда рассуждают в терминах мощности множества Т, 5) по сравнению с общим числом всех истинных альтернатив, т. е. с мощностью множества Т. Представляется, что мощность множества Т г 8 здесь не играет роли и что кванторы пересечения , такие, как квантор существования, не могут быть разумно использованы в формулировке различных требований полноты. Поэтому допустим, что для предпосылки вопроса определение формы требования полноты равносильно определению отсутствия либо этого требования, либо квантора разности-пересечения и что каждая не пустая абстрактная спецификация требования полноты (в противоположность лексической) может быть представлена таким квантором. В отличие от ситуации, которая преобладает в случае спецификации выбора числа, из отождествления спецификации требования полноты с серией кванторов вместо одного нельзя, на наш взгляд, извлечь [c.59]

Далее, мы должны побеспокоиться только о спецификации требования максимальной полноты. Поскольку абстрактная спецификация требования максимальной полноты представляет собой квантор общности, будем исполь- [c.63]

Кванторы. При исследовании вопросов, относящихся к кванторам, сталкиваются с большими сложностями. Коснусь их лишь слегка, полностью сознавая, что их детальное исследование существенно для решения стоящей перед нами задачи. [c.233]

Во-первых, возникает вопрос, является ли наша область действия кванторов конечной или бесконечной. Оба случая одинаково правдоподобны. В последнем проблема заключается в том, как компьютер должен представлять бесконечную информацию при своих конечных возможностях. Из существования такой проблемы не следует, однако, делать вывод, что компьютер не может или не должен иметь дело с кванторами по бесконечным областям. Конечно, компьютеру должно быть разрешено отвечать (если он может) на вопросы типа Существует ли число, такое, что. . [c.233]

Во-вторых, возникает вопрос, будет ли компьютер иметь имена для всех объектов в нашей области с тем, чтобы мы могли использовать подстановочную интерпретацию кванторов, или же компьютер не имеет имен для всех объектов, и [c.233]

В действительности проблема состоит не в том, чтобы отвечать на вопросы о формулах с кванторами (хотя на практике и здесь могут возникнуть трудности), а в том, как интерпретировать такие формулы на входе. Очевидно, что мы хотели бы иметь для квантора существования если формула [c.252]

Некоторые вопросы, которые еще надо обсудить, лучше рассмотреть после следующего раздела, поэтому пока оставим обсуждение проблемы кванторов. [c.253]

В связи с определением требования максимальной полноты, определяющей, что ответы должны утверждать наличие в выборе всех истинных альтернатив, а также в связи с различными разновидностями требования полноты (например, 5% всех X, таких, что А х)->>, большинство х, таких, что А (х) ИТ. п.) требуется дать общее определение так называемым кванторным выражениям (все некоторые все, кроме одного 5% большинство и т. п.), т. е. требуется использовать некоторое понятие обобщенного квантора. [c.269]

В [1] А. Мостовский дал определение обобщенных кванторов, частным случаем которых являются обычные кванто- [c.269]

Квантором, ограниченным на U, называется функция Q, которая отображает множество всех одноместных предикатов, заданных на U, в О, 1 так, что удовлетворяется условие инвариантности Q F)=Q F ) для каждого F и каждой перестановки ф множества U (т. е. для каждого автоморфизма U). [c.270]

Теорема. Qr есть квантор, заданный на i) для каждого квантора Q, заданного на U, найдется Г, такое, что Qi=Q. [c.270]

Пусть Г (т , П ) = Г(П , Ш ), тогда квантор, определенный посредством Г, называют дуалом Qr и обозначают посредством Qp. [c.270]

Неограниченным квантором (или просто квантором) называется функция, которая относит квантор Qц, ограничен- [c.270]

Таким образом, квантор Qr есть бинарное отношение кардинальных чисел [c.271]

MxF x) равносильно т >1Ц, где Мх — квантор большинства. [c.271]

Примерами кванторов в смысле А. Мостовского являются также нумерические кванторы, введенные А. Тарским [21, а также кванторы существует счетное множество х, таких, что F x) >) и т. п. [c.271]

Этим самым установлены необходимые и достаточные условия для суждений об элементах гр)пппы С Импликация в правой части выражения (2.6) утверждает, что элементы подмножества пересечения множеств Ог и с необходимостью входят в группу С , при этом, коль скоро правая часть стоит под квантором общности, то все элементы пересечения и с необходимостью входят во множество С при достаточном условии вхождения этих элементов в это же множество. Составлением таблиц истинности [259] для правой части выражения (2.6) нетрудно показать, что оно всегда истинно, если имеет место совмещение хотя бы одной прорези статора с прорезью ротора. [c.69]

Отметим, что требование различения связано с особенностями естественного языка и отсутствует у вопросов, адресованных к информационной системе требование же полноты ответа тесно связано с коэс зфнциентом полноты информационных систем (под коэффициентом полноты поиска понимают отношение числа релевантных документов, найденных при поиске для ответа на данный вопрос, к числу всех документов информационной системы, релевантных данному вопросу). Н. Белнап и Т. Стил обнаружили очень интересную связь между требованием полноты ответа и понятием обобщенного квантора по А. Мостовскому (см. в связи с этим прим. 2 в списке примечаний редакторов, помещенном в конце книги). [c.8]

Язык Ь содержит не более чем счетное множество индивидных констант и счетное множество индивидных пгре-менных. Для обозначения индивидных переменных из Ь в качестве метаязыковых переменных употребляются символы w, X, у и 2, иногда с индексами. Язык 1 содержит также списки п-арных функциональных и п-арных предикатных констант. Для первых в качестве метаязыковых переменных используются символы f и g, а для вторых — символы Р и О, арности которых могут определяться из контекста. В Ь входят следующие символы = для обозначения равенства, —для конъюнкции, V — для дизъюнкции,-(или иногда — для отрицания, з — для материальной импликации и = — для материальной эквиваленции. Далее, язык Ь имеет символы з и у, которые употребляются соответственно для обозначения квантора существования дл и квантора общности ух. Скобки используются обычным образом, а термы и формулы определяются, как обычно, рекурсивно, за одним, однако, исключением если А-,, , А — формулы, то мы полагаем, что не только (Лх Ла), но также и (Л . . . Л ) являются формулами. Аналогично формулой считается выражение [c.18]

В тех особых ситуациях, когда понадобится иметь, к примеру, четное число альтернатив, можно ожидать, что глубинный ассерторический язык будет достаточно сильным, чтобы выразить этот факт, представив его как часть субъекта. В наши предпосылки вопрооон мы включаем только те спецификации, которые, подобно связкам и кванторам ассерторической логики, являются нейтральными по своей теме . [c.48]

Требование полноты для какой-вопросов следует трактовать как относящееся к полноте реального выбора по сравнению со всем множеством реальных истинных альтернатив из реальной области вопроса. И хотя для требования максимальной полноты несущественно, реальному или номинальному выбору отдано предпочтение, важно, чтобы весь референциальный класс для кванторов, используемых при выражении этого требования, был реальным, а не номинальным. Это нужно для того, чтобы не считать ложным ответ, согласно которому Цицерон был единственным обвинителем Катилины, когда верно, что обвинителем Ка-тилины был также и Туллий (=Цицерон). [c.58]

По-видимому, для логики вопросов и ответов основной интерес представляют лишь кванторы разности-пересечения , т. е. такие кванторы Q, что выполнимость или невыполнимость Q T, 8) зависит только от мощности разности Т 5 или, что то же, от пересечения Г П 5, а также от мощности всего референциального класса Т. [c.59]

Каждый квантор может быть представлен в виде множества J упорядоченных пар кардиналов со следующим отношением между Q и У (3 (Т, 5) выполняется тогда, и только тогда, когда пара <1, с1>, где г — кардинал пересечения ТПЗ, а й— кардинал разности (т. е. кардинал пересечения Т[]3) принадлежит J. Например, квантор общности все, использующийся в требовании максимальной полноты, можно представить как такое множество J, что пара <1, принадлежит J, если и только если d=0 квантор большинство — как множество пар <1, й(>, у которых с больше с1. Квантор разн<х ть-пересеченве может быть представлен множеством У, таким, что если пара <г, б > принадлежит J, то и каждая пара < , й у, где d ==d, а сумма i +d =i d тоже принадлежит J. [c.59]

Безусловно, что не все кванторы разности-пересечения выражают интересные для эротетической логики разновидности требований полноты. Так, легко заметить, что кванторы, предназначенные для различения градаций бесконечности, бесполезны. Не исключено, что из всего множества кванторов можно выделить естественное подмножество таких, которые выражают требования полноты, однако за неимением более определенной информации по этому вопросу мы ограничимся в дальнейшем только одним квантором и одной формой требования полноты — квантором общности, выражающим требование максимальной полноты. Еще одна причина введенного ограничения заключается в том, что наш базисный ассерторический язык обладает небольшими возможностями кванторного выражения, и поэтому для эротетических рассуждений лучше всего выбирать те кванторы, которые соответствуют возможностям базисного языка. [c.60]

В описанном нами языке исчисления предикатов первого порядка есть шесть основных частей речи открытые и замкнутые формулы, открытые и замкнутые термы, функционально-истинностные связки и кванторы. Какой-вопрос представляет собой открытую формулу (матрицу), которую требуется заполнить замкнутыми термами (именами). Про эту формулу будем говорить, что она лежит в основании /са/соы-вопроса, а про термы — что они являются ее дезидератами. Конкретный вид альтернативы устанавливается обычным способом путем соединения открытой формулы с именами, т. е. применяется подста- [c.84]

Если теперь обратиться к интеррогативу (100), то очевидно, что (y4vfi) > где F — произвольная формула в том же смысле, в котором Тз(Лу ) не является полным ответом, есть полный ответ Т здесь некоторая длинная и сложная формула с кванторами, являющаяся логически истинной. Если отвечающий предлагает спрашивающему в качестве ответа формулу A /B) F, тот легко может вывести из нее прямой ответ А /В, но, для того чтобы получить его из ответа Tzi А /В), ему сначала надо установить, что Т является логически истинной формулой, с чем он может и не справиться. Различие между этими случаями реальное, но его нельзя выразить семантически. Мы должны перейти к прагматике (или обратиться к теории доказательств), введя параметр К, обозначающий множество способов вывода. В этом случае, определив полноту относительно множества способов К., получится, что для интересных К. формула А j В) f будет полным ответом на (100), а Т (А /В) не будет. Такое решение, возможно, с теоретической точки зрения большого интереса не представляет, однако оно исключительно полезно для практических нриложений к искусственным вопросно-ответным системам. Воспользуемся случаем, чтобы сделать замечание о том, что соотнесение со способами вывода применимо и к понятиям, определяемым ниже, в особен-нЬсти к понятиям имеет ответ и коррекция . [c.131]

Имеющиеся в настоящее время вопросно-ответные информационные языки обычно неудовлетворительны в том отношении, что сложность формулируемых запросов на этих языках, как правило, крайне ограниченна. Обычно увеличение допустимой сложности достигается за счет композиции связок пропозиционального исчисления и соответствующих им операций в алгебре множеств. Использование кванторов в вопросно-ответных системах в лучшем случае спорадическое, а обычно неполное и непоследовательное. Адекватное усовершенствование эротетической логики, как мы полагаем, позволит создать и внедрить информационные вопросно-ответные языки и системы, значительно более мощные и полезные, чем те, что имеются в нашем распоряжении на сегодняшний день. [c.148]

Строится предварительный вариант логического исчисления для вопросов. Пусть J есть множество выражений, замкнутых относительно логических связок и кванторов. Множество J UP1LIP2 называется интеррогативным расширением J. Pi есть множество основных вопросов это минимальное множество, такое, что 1) если Р принадлежит J, то / принадлежит Рь 2) если X, Y принадлежат Pi, то X / У и X К также принадлежат Pi ( / и читаются соответственно как или и и ). Ра — наименьшее множество, такое, что 1) если R(Xi.. . xj принадлежит J, то .. . и т. д. могут быть как угодно переставлены), и 2) то же самое, что и в пункте 2) определения множества Pi. Ра называется множеством дополнительных вопросов (sup- [c.169]

Попытка построить смысловое представление вопросов. Используя систему обозначений, которую ввел для записи предложений Е. Кинан, ка/сон-вопросы представляются с использованием га/со -квантора, определяющего также область действия переменной в вопросе. Например, вопрос Кто устал записывается как (wh, человек, х) (устал х), а вопрос Кто живет один и застал — как ((wh, человек, х) (живет один х), у) (устал у). Анализ распространяется и на да-нет-вопросы. Условия истинности ответа формулируются в стандартных семантических терминах. В конце работы обсуждаются возможные расширения предлагаемого формального языка на случай вставленных (embedded) вопросов, омонимичных вопросов и вопросов относительно предиката. [c.184]

Во всяком случае, семантика, приданная связкам, распространяется на кванторы общности и существования очевидным образом, и я буду предполагать, что это уже сделано. Оказывается, что различные альтернативные возможности не требуют каких-либо различий в отношении логики (за исключением, очевидно, случая, когда область конечна и все объекты имеют имена) общезначимые следования первой степени из работы Ан)1ерсона и Белнапа [19651 также годятся (дополненные для конечного случая законом, в соответствии с которым конъюнкция, пробегающая по всей области, влечет соответствующее универсальное утверждение). [c.234]

Кванторы опять приводят к трудностям, которые следует разрешить, но которые я еще полностью разрешить не в силах. Основная трудность заключается в том, что нам нужно следить, чтобы сетапы и эпистемические состояния компьютера были конечными, тогда как предложения с кванторами, в случае если область действия кванторов бесконечна, содержат бесконечную информацию. Мы обсудим здесь только отдельные пункты, касающиеся указанной проблемы. [c.252]

Серьезную проблему представляет квантор общности. В этом случае мы можем прийти от конечного состояния Е (т. е. конечной совокупности конечных сетапов) к бесконечному состоянию Е. Возможно, что наилучший способ справиться с этой трудностью состоит в том, чтобы использовать квантор общности только какое-то ограниченное время (минимально изменяя состояние и делая какой-нибудь частный случай формулы истинным). Компьютер вынужден будет при этом запомнить формулу с квантором общности с тем, чтобы в случае необходимости обращаться к ней впоследствии ( необходимости в том смысле, в каком необходимо ответить на заданный вопрос). Различные конечные состояния, полученные таким образом, имеют своим пределом минимальное искажение, в котором V х)А (х) есть Истина . [c.253]

Таким способом мы придаем смысл паре, состоящей из эпистемического состояния и множества правил R. Состояние i jR°(E) получается применением правил к Е всеми возможными способами. Именно про это состояние мы хотим получать ответы на наши вопросы по данным Е и R. Конечно, R (Е) может бесконечно отличаться от Е. Это определенно случится, если компьютер обращается к бесконечному множеству объектов, а некоторое правило имеет квантор общности. Поэтому практически ответ Мне неизвестно может означать либо Я не могу достаточно долго считать , либо У меня нет данных, чтобы мне jmo было сказано . [c.264]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология