Дзета -функции

С этой точки зрения, присоединение к монографии, излагающей термодинамический формализм, небольшой книги того же автора, посвященной анализу динамических дзета-функций для весьма популярного класса динамических систем — одномерных отображений — уже не должно казаться чем-то странным — ведь понятие дзета-функции встречается уже в самой [c.14]

Следовательно, степенной ряд (5.32) сходится при г < ехр[—Р(А)] к некоторой голоморфной функции. В силу пунктов (с) и (с ) следствия 5.6 это утверждение остается справедливым даже для случая, когда система (Оо, Ь) не является перемешивающей или транзитивной. Нетрудно проверить, что при 2 = ехр[—Р(А)] ряд (5.32) расходится. Таким образом,сходимости ряда (5.32) равен ехр[—Р(т1)] и при г < ехр[—Р(А)] этот ряд определяет голоморфную функцию, которая называется дзета-функцией ассоциированной с функцией А). [c.120]

Сейчас мы покажем, что если функция А принадлежит пространству то область аналитичности дзета-функции может быть расширена. [c.120]

Введение в динамические дзета-функции [c.185]

Не сразу очевидно, что динамические дзета-функции, которые мы определим ниже, интересны с математической точки зрения. Наша цель в этой главе — показать, что в действительности они представляют собой интересный и естественный объект для изучения. Попутно мы вводим здесь понятия, необходимые для главы 9, что делает изложение в известном смысле замкнутым. [c.185]

Введем дзета-функцию Лефшеца [c.190]

В общей ситуации имеет смысл попытаться свести изучение динамической дзета-функции к изучению дзета-функции Лефшеца (последняя в некотором смысле более естественна и ее легче анализировать). [c.191]

Исторические замечания от дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям [c.192]

От дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям 193 [c.193]

Пусть к — конечное поле, состоящее из q элементов, и I/ — несингулярное проективное алгебраическое многообразие размерности п, определенное над к (заметим, что координаты точек V принадлежат алгебраическому замыканию поля к, но коэффициенты уравнений, определяющих V, принадлежат самому к). Если iV, — число точек многообразия V, координаты которых лежат в расширении степени т поля к, можно определить дзета-функцию многообразия V, положив [c.193]

Число (7) можно интерпретировать как период периодической орбиты геодезического потока (/ ) на М. Этим подсказывается следующее определение дзета-функции потока (/ ) [c.194]

Свойства динамических дзета-функций 195 [c.195]

Оказалось, что динамические дзета-функции тесно связаны с проблемами эргодической теории (убыванием корреляций, термодинамическим формализмом). [c.195]

Свойства динамических дзета-функций [c.195]

Если мы сравним свойства теоретико-числовых дзета-функций и динамических дзета-функций, то убедимся, что для последних имеют место [c.195]

Параллелизм бросается в глаза. Если, однако, мы посмотрим на (ко)гомологическую интерпретацию дзета-функции Лефшеца ( 8.5), то обнаружим, что она полностью разрушается в результате введения весов. В действительности, вместо возможности выразить дзета-функцию в терминах действия динамической системы на конечномерных группах когомологий, мы можем только выразить ее в терминах действия динамической системы на бесконечномерных группах коцепей. [c.195]

Если динамическая система М, f) и д голоморфны (или вещественно аналитичны) и если f растягивает, то с помощью результатов предыдущего параграфа можно доказать, что С улучшает аналитичность. Следовательно, существует корректно определенный определитель Фредгольма Det(l — ZС), являющийся целой функцией от z. Это приводит к дзета-функции, мероморфной на всей комплексной плоскости. [c.204]

Теперь сделаем несколько замечаний технического характера. При переводе мы старались в максимальной степени сохранить довольно своеобразный стиль автора, в частности, нигде не употребляющего слово доказательство . Другая особенность этого стиля — его лаконичность (здесь можно только согласиться с мнением Дж. Галловотти, редактора серии, в которой вышел Термодинамический формализм ), и чтобы помочь читателю хотя бы на первых порах, мы сочли полезным кое-где поместить кpaтю e подстрочные пояснения (в первых главах книги их больше, чем в последующих). Лишь в одном случае потребовался более длинный комментарий, который был включен непосредственно в текст и оговорен в примечании. Клига о динамичесю4х дзета-функциях представлена в данном издании в виде последних двух глав — восьмой и девятой. В этих главах нумерация [c.15]

Термодинамический формализм берет свое начало в физике, но он уже проник в топологическую и дифференциальную динамику, а среди его приложений — изучение инвариантных мер диффеоморфизмов Аносова (Сипай [3]) и вопрос о мероморфности дзета-функции Сельберга (Рюэль [7]). Данный текст представляет собой введение как в эту проблематику, так и в более традиционные задачи статистической механики, такие как фазовые переходы. Я достаточно подробно развиваю общую теорию, обладающую значительным единством, но оставляю в стороне специальную технику, которая важна при обсуждении примеров фазовых переходов, но должна быть объектом отдельного изучения. [c.17]

Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию Ф сопряжена с оператором ii для трансфер-матрицы справедлив аналог теоремы Перона-Фробениуса . Е имеет положительное собственное значение, которое совпадает со спектральным радиусом это собственное значение равно ехр Р . Спектральные свойства if связаны с кластерными свойствами гиббсовского состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные факты оправдывают изучение оператора if, которое мы провели при помощи нового метода. [c.124]

Единственность гиббсовского состояния — это один аспект отсутствия фазовых переходов в одномерных системах. Другой его аспект проявляется в вещественной аналитичности давления Р, ограниченного на подходящее подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убывающие взаимодействия и установили аналитичность функции Р, показав, что ехр Р является изолированным собственным значением оператора if (здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным квантовым спиновым системам см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение В). В параграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета т-периодических точек, взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет полюс в точке ехр(—Р ), соответствующей собственному значению ехрР " оператора if. Другие свойства систем с экспоненциально убывающими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности. [c.124]

Для более подробного ознакомления с материалом этой главы мы рекомендуем монографию Перри и Полликотта [33] и обзорную статью Балади [3] в них содержатся также многочисленные ссылки на литературу по динамическим дзета-функциям. [c.185]

Продакт-формула (см. ниже 4) показывает, что определения (1.1) и (1.2) тесно связаны одно с другим. Мы будем называть объекты только что введенного типа динамическими дзета-функциями. В них суммируются периодические орбиты (отображений и потоков) с весами (определяемыми функцией ip). [c.187]

Предложение 2.1 (формула Боуэна-Лэнфорда). Дзета-функция [c.187]

Эта формула (в которой мы игнорируем проблему сходимости) связывает дзета-функцию для полупотока и дзета-функцию для отображепия. [c.190]

Теперь естественно определить динамическую дзета-функцию Лефще-ца по формуле [c.191]

Эта продакт-формула была открыта Эйлером в XVIII веке, но подробное аналитическое исследование функции ( бьию проведено Риманом в XIX веке, отсюда и ее название — дзета-функция Римана. [c.192]

И, следовательно, ряд (6.1) имеет ненулевой радиус сходимости. Затем Смейл [46] предположил, что для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А, которые он ввел, дзета-функция Артина-Мазура рациональна. Впоследствии это было доказано Гукенхеймером [17] и Мэннингом [25] (см. также Боуэн [8] и Фрид [13]). [c.194]

Как мы видели, рассмотрение арифметических дзета-функцгт естественным образом приводит к определениям (6.1) и (6.3) дзета-функций. [c.194]

Упомянутое выше действие динамической системы на группах цепей задается так называемыми трансфер-операторами, а динамическая дзета-функция выражается через детерминанты этих операторов. В некоторых случаях детерминанты трансфер-операторов — это просто определители Фредгольма (в смысле Гротендика, см. ниже, 11). Но в других случаях теория Фредгольма-Гротендика требует обобщения. [c.196]

Замечательно, что Дворк уже на ранней стадии использовал транс-фер-операторы в р-адической ситуации для изучения дзета-функций алгебраических гиперповерхностей над конечным полем. Аналогитаые более поздние исследования касались гельдеровской дифференцируемой и аналитической ситуаций. [c.196]

Нетривиальные результаты аналитического характера были получены также для дзета-функций, связанных с кусочно-монотонными отображениями интервала. Для этих отображений Хофбауэр построил марковское расширение (в действительности бесконечное марковское разбиение), а Хофбауэр и Келлер (и многие другие) изучили динамику во всех подробностях и в различных направлениях. Первый результат, касающийся дзета-функций, был получен Балади и Келлером [1]. Дальнейшие результаты см. в работах Келлера и Новицкого [1] Рюэля [13]. В следующей главе мы докажем обобщенный вариант теоремы Балади и Келлера. [c.206]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология