Сходимость рядов

Область применимости вириального разложения определяется сходимостью ряда. Показано, что в критической точке и для жидкостей вириальное разложение расходится. Наиболее полезным вириальное уравнение оказывается при рассмотрении свойств, газов малой и умеренной плотности, когда 1/ц является малым параметром и члены разложения быстро убывают. [c.17]

С увеличением расхода сходимость рядов замедляется так, что при сохранении той же точности двух-, трехчленная формула может быть использована только при 2 л 0,5 -ь 1 м в зависимости от г. Интересно сравнить полученное решение с результатами работы [4]. Как и следовало ожидать из физических соображений, отличие полученого решения состоит в появлении члена, пропорционального объемному источнику тепловыделения. Рассматривая выражение (2.4.10), можно видеть, что он быстро возрастает с ростом г, приводя к увеличению температуры с ростом высоты. Асимптотическое значение члена, зависящего от источника, определяется выражением, параболически зависящим от радиуса [c.120]

Может показаться неоправданным то особое внимание, которое уделяется вириальному уравнению состояния. В самом деле, если подходить к нему только как к эмпирическому уравнению состояния, то оно не заслуживает такого внимания, так как в этом отношении имеет ряд недостатков. Например, сходимость ряда, как это следует из его формы, не очень хорошая, за исключением области относительно низкой плотности. Действительно, при высоких плотностях указанный ряд расходится, что подтверждается экспериментальными данными [5]. Кроме того, при высоких плотностях для удовлетворительного описания экспериментальных данных необходимо включить большое число членов ряда, а это означает, что нужно определять экспериментально большое число параметров (вириальных коэффициентов). Часто тот же набор экспериментальных р—о—Т-д.ан-ных можно описать с помощью других эмпирических уравнений с меньшим числом параметров. [c.8]

Экспоненциальная сходимость ряда (XI,68) позволяет надеяться, что во многих случаях можно будет ограничиться небольшим числом членов разложения. Покажем теперь, что если этот подход применить для случая гомогенного реактора, получится тот же результат, что и в предыдущем разделе. Действительно, в данном случае матрица U имеет равные диагональные элементы следовательно, и матрица V будет иметь равные диагональные элементы. Пусть — [c.242]

Практически, задаваясь заранее определенным выражением для линейного члена А, трудно получить удобный для исследования нелинейный член g (х). Поэтому правильнее при выборе линейного разложения сразу строить его таким образом, чтобы нелинейный член удовлетворял условию (IV, 24). Структура линейного члена при таком способе действий оказывается более сложной, однако работать со сложными линейными выражениями все же легче Разложение, которое автоматически удовлетворяет условию (IV, 24) можно построить, если правую часть (IV, 21) в окрестности стацио парного состояния можно представить сходящимся рядом Тейлора Заметим сразу, что условие сходимости ряда Тейлора не наклады вает серьезных ограничений, так как используемые в большинстве инженерных моделей нелинейные функции удовлетворяют необходимым условиям. [c.82]

В численной процедуре суммирование ряда (3.113) производится до тех пор, пока норма последнего вычисляемого слагаемого не становится существенно меньше нормы вычисленной суммы. Начальный шаг интегрирования выбирается из малости нормы что обеспечивает быструю сходимость ряда. [c.82]

Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Действия над рядами. Необходимый признак сходимости ряда. [c.151]

Таким образом, сходимость ряда, определяющего значение [уравнение (XI,15)1 при увеличении j Д01 азана, так как каждый член этого ряда меньше соответствующего члена выражения (XI,16). Поэтому сумма ряда, обозначаемая как v Jd., меньше суммы, определяемой уравнением (XI,18). Эти ряды и для каждого из оставшихся компонентов стремятся к пределу по мере неограниченного возрастания /. Однако порядок доказательства, принятый для компонента 1, неприемлем к остальным компонентам, поскольку для некоторых из них (при < 1) может оказаться, что 1 (в частности, для компонента с, [c.251]

По характеру сходимости ряда (1У-67) можно судить, что для не слишком короткого промежутка времени, точнее, когда Ро>0,5, можно остановиться на первом члене ряда, получив приближенную зависимость энтальпии плиты от времени [c.292]

Расчеты с учетом КВ и даже МКВ широко распространены для учета энергии корреляции. Главная трудность КВ — слабая сходимость ряда (4.87), поэтому необходимо учитывать большое число конфигураций. Многие из них вносят малый вклад в энергию основного состояния ( 10 эВ), но пренебречь ими нельзя, так как их число довольно значительно (иногда 10 —10 ). Поэтому полный вклад всех этих конфигураций может быть 2—3 эВ. Так, конкретные расчеты по МКВ показали, что для получения правильной величины и знака дипольного момента СО необходимо учесть 5000 конфигураций в разложении (4.87). Развиты различные схемы, ускоряющие сходимость ряда (4.87), из которых наиболее эффективно, но и трудоемко так называемое приближение связанных электронных пар (СЕРА). [c.125]

В совокупности две рассмотренные характеристики определяют преимущество рентгеноструктурного анализа. Быстрая сходимость ряда Фурье электронографии обходится дорого из-за размытости максимумов в распределении паттерсоновского типа пропадают многие существенные детали, без которых расшифровка распределения часто становится невозможной. Наоборот, обрыв ряда Фурье, неизбежный в нейтронографии, приводит к значительным искажениям паттерсоновского распределения и к появлению в нем ложных максимумов, что также мешает выявлению структуры. Нейтронографический эксперимент в этом смысле более полезен на заключительной стадии исследования при уточнении уже найденных координат атомов. [c.127]

Для сходимости ряда необходимо, чтобы функции / х) и все ее производные на бесконечности были равны нулю. [c.221]

Область применимости вириального разложения определяется сходимостью ряда. Показано, что в критической точке и для жидкости вириальное разложение расходится. Наиболее полезным оказывается вириальное уравнение при рассмотрении свойств газов малой и умеренной плотности, когда величина 1/У является малым параметром и члены разложения быстро убывают. При обычных давлениях часто можно ограничиться лишь членом со вторым вириальным коэффициентом . В качестве иллюстрации того, как с изменением давления изменяется вклад в величину pV/RT, обусловленный различными членами разложения, приведем следующие данные для азота (t = 0° С) [c.293]

Полученный ряд сходится при условии 4Св < Ка. НА. с учетом этого условия в области сходимости ряда уравнение изотермы приобретает удобный для дальнейшей обработки вид [c.146]

Давление сходимости ряда бинарных систем может быть найдено как функция температуры (рис. П-14,а) константы фазового равновесия— как функции давления сходимости и температуры (рис. И-14,б). [c.185]

При приближении к горячей границе (х 1) функция / стремится к нулю и вместе с ней стремится к нулю величина 3) (Хг) (см. формулу (98)). Тогда из формулы (112) следует, что при п 1 функции на горячей границе стремятся к нулю, поэтому определяемый формулой (109) ряд должен быстро сходиться нри приближении к адиабатической температуре пламени. Следовательно, основные характеристики пламени, например, скорость горения, могут быть определены с достаточной точностью, если в формуле (109) сохранить лишь несколько членов. С другой стороны, вблизи холодной границы величина Ь мала, поэтому при удалении вверх по потоку от горячей границы (см. формулу (112)) сходимость рядов ухудшается. [c.190]

Следовательно, степенной ряд (5.32) сходится при г < ехр[—Р(А)] к некоторой голоморфной функции. В силу пунктов (с) и (с ) следствия 5.6 это утверждение остается справедливым даже для случая, когда система (Оо, Ь) не является перемешивающей или транзитивной. Нетрудно проверить, что при 2 = ехр[—Р(А)] ряд (5.32) расходится. Таким образом,сходимости ряда (5.32) равен ехр[—Р(т1)] и при г < ехр[—Р(А)] этот ряд определяет голоморфную функцию, которая называется дзета-функцией ассоциированной с функцией А). [c.120]

Поэтому радиус сходимости ряда [c.123]

Так как > О, правая часть этого равенства имеет вид где г — радиус сходимости ряда [c.246]

Таким образом, невозмущенные уровни энергии можно в существенной степени выбирать произвольно, влияя тем самым на сходимость ряда теории возмущений. При этом соответственным образом будет меняться лишь диагональная часть матрицы V. [c.161]

Строго говоря, прежде чем идти дальше, надо было бы доказать сходимость рядов (5.5). В курсах уравнений математической физики приводятся соответствуюш,ие теоремы, которые позволяют судить о том, какие ограничения следует наложить на функции Д ( ) и / (1) (5.2), чтобы их можно было разложить в ряд по функциям, стоящим в прямых скобках в выражениях (5.5). Этот вопрос и ряд примыкающих к нему вопросов математического характера здесь исследоваться не будут, главным образом потому, что в дальнейшем задачи с начальными условиями не рассматриваются интересующиеся найдут соответствующие сведения в специальных руководствах. [c.45]

Если принять, что то указанное преобразование позволит улучшить сходимость рядов (11.58) и (П.59). [c.38]

Сходимость рядов, которыми представляются функции (22.16), такова, что уже при Ро > 0,1 можно ограничиться первым членом ряда. [c.284]

Область применения вириального разложения определяется сходимостью ряда. При высоких давлениях, в критической области, для жидкости оно расходится. Уравнение полезно при малых н умеренных давлениях. Однако следует отметить, что при сильно выраженной неидеальности пара, в системах с химическим взаимодействием компонентов в паре, сильной ассоциацией (например, системы, включающие уксусную или муравьиную кислоты), вириальное разложение может расходиться даже при малых давлениях. К подобным системам уравнения (П. 13), (П. 14) применять не следует. [c.29]

Отметим, что из сходимости ряда и - -и2 -. > > не следует сходимость ряда а, 4- г Поэтому, если дан ряд, члены которого имеют любые знаки, и если этот ряд сходится, то могут быть, два случая [c.266]

Применяя признак Даламбера для определения сходимости ряда, найдем, что степенной ряд (4) сходится, если отношение ( [c.268]

Число называется радиусом сходимости ряда. Еслн то ряд будет расходящимся. При J = ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. [c.268]

Можно, показать, что степенной ряд можно дифференцировать почленно и можно интегрировать почленно между любыми пределами ачЬ, удовлетворяющими условию — - <й<й< ,где радиус сходимости ряда. При этом радиус сходимости рядов, полу-268 [c.268]

К Пределу, большему 1, то данный ряд (2) расходится если этот предел оказывается равным 1, то, пользуясь данным признаком нельзя решить вопрос о сходимости ряда. [c.388]

Отметим, что из сходимости ряда +. . . не следует схо- [c.388]

СХОДЯТСЯ. Сравнение аналогичного ряда,. записанного для компонента, с рядом, определяемым уравнением (Xi,20), дока. ывает сходимость первого, поскольку каждый член этого ряда мопьше соответствующего члена уравнения (XI,20). Аналогично доказывается сходимость ряда для каждого из оставшихся компонентов. Таким образом [c.252]

Сходимость рядов Фурье. Поскольку ядра практически точечные, поток нейтронов рассеивается ядром почти одинаково интенсивно под любыми углами рассеяния. Размытость электронной плотности атомов приводит к ослаблению рассеяния с увеличением угла О (что и фиксируется табличными функциями /рент (sin Ь/Х)). Еще быстрее затухают с увеличением угла атомные амплитуды рассеяния электронов /олект (sin /Х) (рис. 46, б). Поскольку атомные амплитуды входят в формулы структурных амплитуд как размерные коэффициенты, они определяют и относительную быстроту снижения ве- [c.126]

Сходимость рядов Фурье. Поскольку ядра практически точечные, поток нейтронов рассеивается ядром почти одинаково интенсивно под любыми углами рассеяния. Размытость электронной плотности атомов приводит к ослаблению рассеяния с увеличением угла [что и фиксируется табличными функциями /рент (sin О/Л) ]. Еще быстрее затухают с увеличением угла О атомные амплитуды рассеяния электронов /элект (sin / .) (рис. 59, б), идним словом, чем более размыты склоны максимума рассеивающей плотности атома р(г), тем резче ослабляется рассеяние с увеличением угла рассеяния и уменьшением длины волны Х [быстрее снижается функция /(sin i>A)]. Поскольку атомные амплитуды входят в формулы структурных амплитуд как размерные коэффициенты, они определяют и относительную быстроту снижения величины F hkl) с увеличением индексов отражений. Поэтому сходимость ряда Фурье находится в обратной зависимости от остроты максимумов плотности материи она падает в ряду [c.171]

Как мы видим, сходимость ряда плохая, и при подсчете постоянной Маделунга требуется учитывать очень большое число членов. Предложены методы улучшения сходимости ряда путем группировки членов ряда специальным образом. Точный расчет для кристалла типа Na l дает а = 1,747558. [c.318]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология