Иррациональные числа

Начав с листа О , видим, что лист 8 окажется в затененной ориентации по отношению к нему. Чтобы добраться до листа 8 , начиная с нулевого, нужно трижды обогнуть стебель. Отношеие двух чисел, а именно 3/8, показывает, что любой новый лист встречается через каждые 3/8 части стебля. Отношение 3/8 характерно для филлотаксиса (расположение листьев на стебле растения), так же как и значения 1/2, 1/3, 2/5 и даже 5/13. Почти ничего неизвестно об истоках филлотаксиса. Давно было замечено, что числа встречающиеся в этих характеристических соотношениях, таковы I, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. .., а это не что иное, как числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член является суммой двух предыдущих. Числа Фибоначчи можно также найти, рассматривая снизу спиралевидное построение сосновых шишек. На рис. 8-16 можно видеть сосновую шишку в двух аспектах. Вид снизу показывает существование 13 левых и 8 правых спиралей из чешуек. Такие спирали с точными числами Фибоначчи обнаружены и в других растениях. Семечки подсолнечника можно рассматривать как спрессованное множество, расположенное вокруг стебля. На рис. 8-17 дано несколько примеров. Вероятно, больше всего поражает то, что продолжение характеристических соотношений в расположении листьев окончательно приводит к чрезвычайно важному иррациональному числу 0,381966..., выражающему золотое сечение [c.373]

Глава 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА [c.26]

Логарифмы чисел, не являющихся кратными десяти 10" (п = 0, 1, 2, 3,. ..), выражаются иррациональными числами. [c.236]

При выборе метода следует еще иметь в виду, что если функция задана таблично, то в редких случаях можно прямо воспользоваться гауссовскими, формулами, поскольку узловые точки этих формул есть иррациональные числа. Метод Симпсона при этом обычно более удобен, в особенности если функция табулирована в равноотстоящих узлах. Аппроксимация же табличных зависимостей для метода Гаусса может привести к дополнительным ошибкам. [c.218]

Хотя алгоритм решения квадратного уравнения достаточно прост, однако при выполнении математических операций над малыми и иррациональными числами удобнее воспользоваться ЭВМ, например, ПМК. [c.105]

Получение псевдослучайных последовательностей из иррациональных чисел. Этот способ основан на свойстве иррациональных чисел образовывать неупорядоченную последовательность цифр дробной части при вычислении иррационального числа с достаточно высокой степенью точности. В наиболее простой форме данный способ реализуется при расчете дробной части произведения иррационального числа z на последовательность натуральных чисел. При этом алгоритм может быть записан в виде следующей формулы [c.525]

Пусть вблизи молекулы Оо находится такая же молекула Оь причем первая преобразуется во вторую поворотом Р в сочетании со сдвигом X (вводимые здесь обозначения потребуются нам и в дальнейшем). Допустим, что при некоторых конкретных Р и X энергия взаимодействия молекул Оо и О1 намного ниже, чем при любых других (узкий и глубокий минимум на поверхности потенциальной энергии), иными словами, при Р и X относительное расположение оказывается особо выгодным. Для того чтобы такая ситуация реализовалась, форма молекул должна быть весьма экзотической, но нас интересует принципиальная сторона дела. Предположим, далее, что Р — это поворот на иррациональное число градусов. Тогда, пристраивая оптимальным способом молекулу О1 к молекуле Оо, а затем — совершенно аналогично молекулу О2 к молекуле О1 и т. д., мы получим апериодическую спираль. С помощью трансляции (сдвига) построим из таких спиралей энергетически наиболее выгодный слой и, наконец, наложим такие слои оптимальным способом с помощью трансляции t2. Мы получим структуру, которая периодична лишь в двух измерениях, и в то же время она заведомо выгоднее, чем любое трехмерно-периодическое расположение таких молекул, если достаточно глубок и узок минимум, отвечающий данным Р и X. Не исключено, что можно также построить и расположения молекул (или атомов), обладающие минимальной энергией, но лишенные какой бы то ни было периодичности. [c.139]

Иррациональные числа и греческая математика [c.27]

В 1760 г. Иоанн Ламберт (1728-1777) доказал, что отношение длины окружности к ее диаметру — число тг — является иррациональным (точнее, не является рациональным). Он же годом позже установил иррациональность числа е. Следует сказать, что открытие Ламберта не побудило математиков ни тогда, ни потом перестать пользоваться этими числами. Были найдены близкие к ним рациональные числа, и этого оказалось достаточно, чтобы молчаливо присоединить их к совокупности всех рациональных чисел и тем самым обогатить множество используемых в математике чисел. Впоследствии была установлена иррациональность и многих других чисел. По сути дела, подобные исследования были ближе к теории чисел, чем к математическому анализу. Если некоторое число, например тг, возникало в процессе [c.28]

Долгое время не требовалось никакой теории иррациональных чисел. Поясним, в сколь бесправном положении находились в то время иррациональные числа. У них не было определения Ведь отрицательное определение не является определением. Разве можно определить лису словами лиса — это не медведь Хороша была бы систематика животного мира, если бы она строилась с помош,ью подобных определений А чем лучше определение иррациональное число — это не рациональное число Вспомним, как определяется число тг тг — это отношение длины окружности к ее диаметру. Говорит ли данное определение что-нибудь о природе других иррациональных чисел Абсолютно ничего Что же, для каждого такого числа придумывать свое определение Проблему нужно решать как-то иначе. [c.29]

Подчеркнем, что в этом определении не используется понятие иррациональной точки и, тем более, не упоминаются иррациональные числа. [c.33]

Идея Дедекинда состоит в том, что понятие разреза и является определением иррационального числа В качестве иллюстрации рассмотрим разрез, соответствующий числу /2. Нижний класс этого разреза состоит из всех отрицательных рациональных чисел и тех положительных рациональных чисел, квадрат которых меньше двух верхний класс состоит из всех остальных рациональных чисел. [c.33]

Вряд ли современники серьезно отнеслись бы к этой идее, если бы Дедекинд не создал с ее помощью теорию действительных чисел. Присоединяя к совокупности всех рациональных чисел совокупность всех разрезов, мы получим совокупность действительных чисел. Иными словами, каждое действительное число является либо разрезом, либо рациональным числом, или, возвращаясь к привычному словоупотреблению, рациональным либо иррациональным. На первый взгляд мы вернулись к наивному определению иррационального числа как числа, не равного никакому рациональному. В действительности это не так, поскольку теперь мы имеем однозначное определение иррационального числа, а его наивное определение — простое следствие. [c.34]

Вот почему математики высоко ценят иррациональные числа и их теорию. [c.34]

Па первый взгляд предложение представлять иррациональные числа как разрезы множества всех рациональных кажется чудовищным. Но очень скоро становится ясно, что задание разреза, соответствующего числу а, попросту определяет место последнего в строю рациональных чисел. С другой стороны, определение разреза является логически безукоризненным. Поэтому все свойства иррациональных чисел можно вывести, отождествляя их с разрезами. Продемонстрируем это, показав, как вводятся отношения порядка, суммы и произведения. [c.34]

Два иррациональные числа равны друг другу, если их нижние классы совпадают. Число а меньше числа /3, если все рациональные числа нижнего класса а содержатся в нижнем классе 6, но не исчерпывают его (рис. 4.2). [c.34]

Ограничимся случаем, когда а — иррациональное число. Покажем, что а является пределом нашей последовательности. Выберем произвольно число а из нижнего класса и число Ь — из верхнего. Число а не может превосходить все члены последовательности, иначе оно принадлежало бы верхнему классу. Значит, среди членов последовательности найдется число большее а. Пусть к — номер этого числа. Отбросим первые А — 1 членов последовательности. Все оставшиеся числа и подавно больше а, поскольку последовательность является монотонно возрастающей. С другой стороны, все эти числа меньше Ь (по определению 6). Мы видим, что почти все члены последовательности принадлежат окрестности (а, 6). Так как (а, 6) — совершенно произвольная окрестность числа а, это число оказывается пределом [c.36]

Подойдем к этому вопросу с другой стороны. Древним скотоводам было не под силу представить себе три четверти овцы. Античные математики отказались иметь дело с иррациональными числами (кстати, и название у этих чисел отпугивающее). А мы Думаю, математики давно не видят ничего особенного в мнимой единице. [c.52]

На практике обычно используются две системы логарифмов— натуральные логарифмы и десятичные логарифмы. Десятичные логарифмы имеют основание 10, а натуральные — число е. (Число е —это иррациональное число, приблизительно равное 2,718. Определение числа в будет дано в разделе, посвященном пределам.) Для того чтобы каждый раз не указывать величину основания логарифмов, мы не будем пользе- [c.537]

В случае иррационального отношения точки возврата А будут менять свои места и гипоциклоида повторяться не будет. При целол 1 значении у гипоциклоида оудет состоять из I повторяющихся ветвей при 4--иррациональном — число ветвей бесконечно и точки [c.67]

А раз а — иррациональное число, степенями R можно приближённо реализовать любой оператор вида ехр(г<р(т ), который в указанном [c.172]

Можно вывести общую формулу для бесконечного ряда и найти численное значение, к которому он сходится. Это значение характеризует тип структуры и не зависит от того, какие конкретно ионы в ней присутствуют. Оно называется постоянной Маделунга и обозначается, например, для хлорида натрия Mm h В действительности это иррациональное число, значение которого можно получить с любой необходимой степенью точности, например 1,747... или 1,747558... или еще точнее. Постоянные Маделунга рассчитаны для многих известных ионных структур, и некоторые из [c.115]

У многих слово функция (как математический термин) ассоциируется с кривыми. Между тем, о функции можно сказать очень многое, не обраш,аясь к кривым. С другой стороны, далеко не каждую функцию можно изобразить кривой. Приведем простой пример. Определим функцию у х) следуюш,им образом. Если х — рациональное число, то соответствуюш,ее значение у равно единице, в противном случае у равен нулю. Невозможно построить график этой функции, так как невозможно изобразить на графике просветы между рациональными точками то же, разумеется, относится и к иррациональным точкам. Приведем еш,е один пример неизображаемой функции. Пусть если X — несократимая дробь х — т/п, то у — 1/п, если же х — иррациональное число, то у = 0. Существуют элементарные функции, которые нельзя изобразить, не отрывая карандаша от бумаги. В качестве примера приведем функцию (рис. 7.1) [c.63]

Кантор также обнаружил, что действительные числа перенумеровать невозможно как бы мы ни использовали целые числа для нумерации некоторого набора иррациональных чисел, полученный набор никогда не охватит все множество этих чисел. Поэтому мощность множества всех действительных чисел, называемого континуумом (от латинского слова ontinuous — непрерываемый), больше мощности множества рациональных чисел, которое то и дело прерывается иррациональными числами. Воспроизведем рассуждения Кантора. [c.79]

Смотреть страницы где упоминается термин Иррациональные числа: [c.527] [c.258] [c.30] [c.31] [c.704] [c.285] [c.26] [c.27] [c.28] [c.29] [c.30] [c.31] [c.32] [c.33] [c.34] [c.35] [c.36] [c.37] [c.38] [c.39] [c.22] [c.143]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология