Гаусса Зейделя метод

Пожалуй, самым очевидным методом оптимизации является метод Гаусса — Зейделя. Сущность его сводится к следующему. [c.28]

МЕТОД ГАУССА—ЗЕЙДЕЛЯ [c.284]

Описывается классический метод Гаусса — Зейделя. — Ярил. ред. [c.32]

Рис. 1-8. График определения оптимума методом Гаусса — Зейделя.

Структура поиска экстремума методом Гаусса—Зейделя. Шифр БС — МГЗ. [c.285]

Метод Гаусса — Зейделя (МГЗ) прост и удобен. В нем многомерный поиск превращается в последовательность одномерных и не делается никаких прощупываний с целью выбора таких одномерных движений, а только перебираются по очереди все направления коорди ат 1Ь Х осей. Ему свойственны недостатки, присущие другим методам спуска. [c.289]

Метод крутого восхождения. Метод крутого восхождения, или ме тоД Бокса — Уилсона, объединяет в себе положительные стороны трех методов — метода Гаусса — Зейделя, метода градиента и метода полного (или дробного) факторного эксперимента как средства получения математической модели. Решение задачи методом крутого восхождения выполняется так, чтобы шаговое движение осуществлялось в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) [c.252]

Поисковые методы отличаются большим разнообразием с различными модификациями их насчитывают несколько десятков. К основным методам поиска можно отнести метод Гаусса—Зейделя, метод случайного поиска, метод симплексов (безградиентные методы) метод градиента, метод наискорейшего спуска и метод крутого восхождения (градиентные методы). [c.250]

В настоящей главе рассмотрен ряд методов поиска экстремума целевой функции, использованных в различных алгоритмах оптимизации теплообменных аппаратов метод случайного поиска, методы сеток и спуска, метод Гаусса — Зейделя, метод независимого спуска с ранжированием переменных (предложен автором). Разработаны структуры, реализующие эти методы. Проведено сопоставление методов по их алгоритмической сложности. Показаны преимущества предложенного автором метода при оптимизации сложных целевых функций многих пере менных. Приведенные в главе структуры поиска экстремума являются обязательным элементом любых алгоритмов оптимизации теплообменников (см. главу 3). Они служат исходными данными при синтезе систем оптимизации промышленного теплообменного оборудования. [c.280]

Метод спуска (метод Гаусса — Зейделя). В практике часто можно встретить случаи, когда вид зависимости хорошо известен исследователю, но неизвестные коэффициенты входят в нее нелинейно и никакими подстановками зависимость нельзя сделать линейной относительно коэффициентов. В этом случае при использовании метода наименьших квадратов мы получим нелинейную систему уравнений, решение которой обычно сопряжено с большими математическими трудностями. Если исследователь хочет непременно сохранить нелинейный вид зависимости для вычисления коэффициентов можно поступить следующим образом. [c.284]

Решение систем линейных уравнений. Обусловленность систем. Методы Крамера, Гаусса, Зейделя. Алгоритмы методов 2 [c.158]

Структура поиска минимума целевой функции по методу Гаусса—Зейделя представлена на рис. 84. Применение метода описано в работе [66]. [c.284]

Для того чтобы получить решение с точностью 10 по методу Гаусса — Зейделя, необходимо выполнить 8 итераций. Это свидетельствует о том, что метод Гаусса — Зейделя при прочих равных условиях обеспечивает более быструю сходимость. Иногда этот метод может сходиться даже в тех случаях, когда простая итерация не сходится. Однако возможны такие случаи, когда метод Гаусса — Зейделя сходится медленнее простой итерации. [c.262]

Ний, перпендикулярных оси параметра оптимизации, называемых обычно двумерными сечениями, рассмотрены в работах [57, 58]. Для выбора оптимальных режимов можно также использовать методы поиска оптимальной области, заменив эксперимент вычислением значений параметра оптимизации по уравнению регрессии. При ручном счете удобно применять метод Гаусса — Зейделя, метод симплексов, метод Градиента при использовании ЭВМ — метод случайного поиска и др. В главе 6 приведен пример применения метода симплексов для поиска оптимальных режимов выщелачивания германия из зол слоевого сжигания угля. [c.121]

Следующим достаточно эффективным методом направленного поиска является метод покоординатного спуска (метод Гаусса — Зейделя). Суть этого метода заключается в минимизации. многопараметрической функции 3 = 3 (дс ,. ....где индекс О обозначает принадлежность параметра к исходной точке спуска, сначала по одному параметру хи затем по второму дсг и т. д. до последнего параметра Хп. На первом этапе решения задачи фиксируются значения всех параметров, кроме первого, и определяется оптимальное значение этого параметра, т. е. ищется минимум функции 3 = 3(д ,, дс ф, х ф)- Найденное оптимальное значение первого параметра обозначим д . Далее ищется минимум функции 3 (дг ф, х , х° ,. .., дг ф) при изменении только второго параметра хг- При этом первый параметр Х1 фиксируется при найденном выше оптимальном значении, т. е. д , = д ф. Цикл оптимизации заканчивается после определения минимума функции 3 = 3(х ф, д ф,. .., ДС( 1)ф, х ) при изменении параметра Хп, что соответствует установлению его оптимального значения. Один цикл поиска при использовании метода покоординатного пуска, т. е. однократная раздельная оптимизация значений всех параметров X, как правило, не позволяет найти состояние, соответствующее минимуму функции 3(Х) Поэтому необходимо повторение указанного цикла. [c.133]

Для решения задачи (VII,8) можно использовать известный алгоритм минимизации функций многих переменных — метод нулевого порядка Гаусса — Зейделя. Следует, конечно, отметить, что метод Гаусса — Зейделя был развит и применялся для минимизации функций непрерывных переменных. Здесь же он будет использован для минимизации функции F целочисленных переменных. Однако это не должно приводить к каким-либо принципиальным затруднениям. [c.248]

При использовании метода Гаусса — Зейделя условия сходимости, сформулированные теоремой сходимости простой итерации, остаются в силе. [c.261]

Применим метод Гаусса — Зейделя к системе уравнений (10—38). В качестве начального приближения воспользуемся столбцом свободных членов системы. [c.261]

Если же мы используем метод релаксационного типа (например, Гаусса—Зейделя), т. е. изменяем только одну связь (параметр aj ), то данный метод — последовательный. [c.113]

В табл. 16 приведены последовательные приближения, полученные при решении системы уравнений (10—38) методом Гаусса — Зейделя с начальными значениями неизвестных, равными [c.262]

Метод Гаусса — Зейделя хорош лишь для оптимизации простых функций. В более сложных ситуациях (рис. 1-9) он не работает. [c.29]

Метод поочередного изменения переменных, называемый также методом Гаусса—Зейделя, по существу аналогичен рассмотренному выше методу релаксации. Отличие заключается лишь в том, что в этом методе не определяется осевое направление, вдоль которого значение целевой функции изменяется наиболее сильно, а поочередно Изменяются все независимые переменные так, чтобы по каждой из них достигалось наименьшее (наибольшее) значение целевой функции. Очередность варьирования независимых переменных при этом устанавливается произвольно и обычно не меняется в процессе поиска. Заметим, что для двух независимых переменных оба метода поиска, т. е. метод релаксации и метод поочередного изменения переменных, совпадают. [c.507]

Рассмотрим еще один пример. Пусть в схеме имеется последовательно-параллельная совокупность реакторов и требуется найти оптимальное сочетание числа параллельных ветвей с числом реакторов в каждой ветви при сохранении остальной структуры схемы неизменной. Легко видеть, что применение двухуровневой процедуры синтеза приведет к необходимости решения на втором уровне задачи (VI 1,8), где — число ветвей ищ — число реакторов в каждой ветви. Здесь также можно использовать метод Гаусса — Зейделя. [c.249]

Итак, расчет стационарного режима ХТС сводится к решению некоторой системы нелинейных уравнений. Поэтому все дальнейшее изложение будет посвящено методам решения систем нелинейных уравнений. Заметим, что имеется определенная специфика решения систем нелинейных уравнений при использовании последовательного подхода. Действительно, при заданном х мы не можем рассчитать отдельно левую часть одного или нескольких уравнений системы (11,7), рассчитать их можно только вместе. Это не позволяет использовать методы, в которых предусмотрена обработка каждого уравнения системы (II, 7) в отдельности (например, метод Гаусса—Зейделя [20, с. 345] в случае линейных систем, метод Брауна [21 ] в случае нелинейных систем). [c.29]

Двигаясь из исходной точки (л о, уо) по методу Гаусса —Зейделя, мы попадаем в область А и зацикливаемся . Движение к оптимуму будет осуществляться настолько медленно, что применение метода становится нецелесообразным. [c.29]

Для удобства решения системы нормальных уравнений методом Гаусса — Зейделя сформированная в процессе вычислений матрица системы нормировалась (центрирование входных переменных не проводилось). Получен- [c.92]

В работе [7] описываются статистические аналоги методов градиента, Гаусса — Зейделя и другие способы случайного спуска. [c.229]

Поисковые методы оптимизации [107—112] используют математическую модель, полученную экспериментально-статистическими методами. Модель описывает исследуемый объект в некоторой локальной области изменения переменных. Область оптимума в общем случае не совпадает с областью математического описания, поэтому целевая функция служит лишь для выработки стратегии поиска оптимума. К числу основных поисковых методов относят метод Гаусса — Зейделя, метод случайного поиска, метод симплексов, метод градиента, метод наиско-рейшего спуска (крутого восхождения). [c.175]

Условия, Соответствующие у = 100%, определяем по последнему уравнению регрессии методом Гаусса — Зейделя на ЦВМ Минск-22 z y = 90° С 22 = = 50 мин 2з = 90% 24 = 32,5. [c.222]

Задача определения точки, экстремума функции нескольких переменных может быть решена с помощью различных итеративных методов, например методом Гаусса — Зейделя, методом градиента, методом наискорейшего спуска [Л. 2-9]. В качестве примера итеративной процедуры приведем описание метода Гаусса — Зейдеда.. (метода поочередного изменения переменных). (При 4 ----- 51 [c.51]

Разработано много вариантов градиентного метода, обеспечивающих более быструю сходимость к оптимуму. Можно не определять направление градиента на каждом шаге, а перемещаться вдоль направления г° до тех пор, пока. функция Ф не начнет убывать, или до границы области. Этот вариант носит название метода наискорейшего спуска. Перемещение в пространстве переменных Х], хг,. .., х. может происходить не строго в направлении градиента, а вдоль любого допустимого направления, составляющего с градиентом острый угол (метод Гаусса — Зейделя, метод возможных направлений Зойтендей-ка). Сходимость на поверхностях сложных конфигураций (с хребтами, оврагами и седловыми точками) обеспечивается с помощью специальных алгоритмов [c.23]

Метод независимого спуска с ранжированием переменных (МНСР). По простоте и удобству реализации предложенный метод обладает всеми достоинствами метода Гаусса—Зейделя. В отличие от последнего обеспечивается более надежный поиск экстремума за счет двух автономных приемов корректировки точек [c.289]

Условия, соответствующие (/тах = 1007о, определяем по последнему уравнению регрессии методом Гаусса — Зейделя на ЦВМ [c.189]

С позиций стратегии поиска к первому типу относятся методы Розенброка, Пауэлла, Гаусса—Зейделя, симплекс-метод. [c.179]

Метод Гаусса — Зейделя. Этот метод является модификацией метода простой итерации. Отличие заключается в том, что уравнения приведенной системы используются для расчета нового приближения последовательно. При вычислении к 1)-го приближения неизвестной учитываются уже полученные (к 1)-е приближения неизвестных Х1 1. Формульная запись ме- [c.261]

В табл. 26 приведены результаты сравнения двух способов вычисления производных целевой функции [критерий (IV, 147) ]. Использовались следующие три метода безусловной оптимизации без-градиентный Гаусса—Зейделя, наиекорейшего спуска и ОРР. Применение метода сопряженного процесса позволяет сократить число вычислений целевой функции приблизительно в четыре раза. Для учета ограничений использовался метод штрафов, при котором проводилась безусловная минимизация функции (IV, 47) для некоторой последовательности значений параметров а, где г —номер итерации метода штрафов (г = О, 1,2,. ..) а = да [c.162]

Программа решения системы уравнений методом Гаусса — Зейделя приведена ниже. Вычисления по формулам (10—45) оформлены в виде процедуры ZAYDEL. Ее формальными параметрами являются п — порядок системы, А — расширенная матрица коэффициентов системы, X — вектор решения, eps — точность. [c.262]

Следующим достаточно эффективным методом направленного поиска оптимума функции (со. Го, Ию,. . . , с, Т, к f, v , Р,. . .) является метод покоординатного спуска (метод Гаусса—Зейделя). Суть этого метода заключается в минимизации (максимизации) функции сначала по одному параметру, затем по второму и т. д. Основное преимущество перечисленных методов направленного поиска заключается в направленности поиска оптимума, что позволяет заметно снизить число вариаптов перебора по сравнению с перебором вариантов в методах слепого поиска. Среди недостатков методов направленного поиска следует выделить один — основной— возможность нахождения только локального оптимума или особой точки типа седловой. [c.362]

Ркследование [120] показало, что ири числе переменных коэффициентов больше трех и начальном приближении, достаточно далеком от точки минимума, метод случайного поиска оказывается эффективнее, чем метод спуска Гаусса — Зейделя и даже градиентный метод. Кроме того, методы случайного поиска обладают важными преимуществами [c.286]

Для разностной аннроксимацпи конвективных членов системы (8) — (10) используется несимметричная разностная схема первого порядка точности, ориентпрованная против потока [2]. Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже но потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следуюш им образом оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса — Зейделя. Анироксима-ция строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Использовались разностные сетки 21 X 21 и 31 X 31. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. Выход из итерационного процесса осуществлялся при выполнении условия [c.59]

Программа оптимизации по нескольким параметрам. Организуется перебор вариантов с изменением нескольких варьируемых параметров по градиенттшму методу или по методу Гаусса — Зейделя с целью минимизировать целевую функцию, зависящую от результатов расчета по методу конечных элементов. [c.242]

Данный алгоритм реализует метод Гаусса — Зейделя нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств на параметры оптимизации. Размерность оптимизируемого вектора Ут равна 2 для аппаратов типа А Ут = (Сх, ) или 1 для ап паратов типа В и С Ут = ((3х). П > решении аадачи статической оптимизации в качестве критерия оптимальности принимаются приведенные годовые затраты (Я), а при решении задачи приближения — разность между значениями длины трубчатки конденсатора, соответствующей набору Ук, УС, Ф, задаваемым технологическим параметрам X, текущему значению вектора Ут и значением нормализованной длины трубчатки,, к которому осуществляется приближение варьированием координат вектора Ут. Таким образом, в данной постановке алгоритм должен минимизировать выбранные критерии оптимизации. [c.136]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология