Процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями

Процессы в реакторе (при условии, что можно пренебречь переносом тепла и вещества по радиусу) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, отражающими изменение концентраций и тем-лератур по длине реактора [c.27]

В случае особых управлений условие максимума (VI, 8) не позволяет однозначно исключить параметры управления из задачи и свести последнюю к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных а и г з. Особые управления часто появляются в случае, когда процесс описывается системой дифференциальных уравнений, линейных относительно управлений [c.125]

Круг рассматриваемых вопросов ограничен рамками тех физико-химических процессов, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. из рассмотрения исключены методы решения уравнений в частных производных при этом все изложение остается в рамках единого математического аппарата. [c.6]

Процесс крекинга в прямоточном реакторе описывается дифференциальным уравнением в частных производных, однако во всех известных работах, посвященных этой проблеме, математическая модель представляется в виде обыкновенного дифференциального уравнения (системы уравнений), где аргументом является либо длина реактора, либо условное время контакта сырья н катализатора. [c.95]

Координаты точек разбиения, их число и значения концентрации и температуры в них должны храниться в памяти машины, поскольку в сечениях с этими координатами определяются переходные процессы, описываемые уравнениями (У,204) и (У,205). Начальными данными для указанных процессов являются храня-ш иеся в памяти машины (попарно) концентрации и температуры. Далее в точке Ь = О наносят то или иное возмущение (по температуре, концентрации или величине потока) , а затем в каждой точке разбиения длины реакционной зоны от р = 1 до р = т решают систему уравнений (У,204) и (У,205) с хранящимися в памяти машины начальными условиями. Это выполняется при помощи уже однажды использованной стандартной программы решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученное решение описывает переходный процесс в том или ином сечении. [c.153]

Принцип максимума представляет собой совокупность ряда теорем теории оптимальных процессов, содержание которых устанавливает необходимые условия для построения оптимального закона управления объектом . Было показано , что эти условия в большинстве случаев являются и достаточными. При этом предполагается, что управляемый объект описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.163]

Для изучения динамики разделим всю ректификационную установку на три части, как это было сделано на фиг. 13.1. К первой части относятся куб и отгонная колонна, ко второй части— 8 участок колонны без отгонной и верх-ней частей, к третьей — верхняя часть колонны с дефлегматором, конденсатором и сборником конденсата (фиг. 13.8). Изучением динамики первой и третьей частей ректификационной колонны мы не будем заниматься в этой главе, так как они по существу были рассмотрены в гл. 8. Хотя для этих частей ректификационной установки все сводится к динамике последней или первой тарелки колонны, описание их легко свести к описанию динамики обычной тарелки. Приведем обзор полученных к настоящему времени результатов нестационарных процессов изменения состава, расхода и давления в собственно ректификационных колоннах, Динамику тарельчатых колонн можно описать с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку они представляют собой системы с сосредоточенными параметрами (тогда как колонны с большим числом тарелок можно рассматривать как непрерывные), а динамику насадочных колонн следует описывать дифференциальными уравнениями в частных производных, так как они представляют собой системы с распределенными параметрами. Решение уравнений динамики насадочных колонн гораздо сложнее, и этому вопросу посвящено гораздо меньше работ, чем тарельчатым колоннам. [c.458]

В данной главе монографии при построении математических моделей тепло- и массообменных процессов в псевдоожиженном слое предполагалось, что тепло- и массообмен между твердыми частицами и омывающим их потоком газа описывается при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, вид которых считался известным. Однако определение вида такой зависимости представляет собой сложную самостоятельную задачу. Тепло- и массообмен между твердой частицей и омывающим ее потоком газа в псевдоожиженном слое складывается из двух стадий переноса тепла или массы в газовой фазе в области, прилегающей к поверхности твердой частицы, и переноса тепла (или массы) внутри твердой частицы. [c.253]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

Будем предполагать, что составляющие схему реакторы являются реакторами идеального вытеснения (с теплоотводом охлаждающей жидкостью или адиабатическими), В таких реакторах, как известно, протекающий процесс описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда может быть рассмотрена следующая общая формулировка оптимальной задачи, для которой задачи примеров 1-3 являются частными случаями (см, рис, 4), [c.340]

Процесс решения линейных уравнений в частных производных, которыми описываются нестационарные процессы, протекающие в хроматографической колонке, сводится к следующему 1. Исходная система уравнений преобразуется по Лапласу. 2. Выписывается аналитическое решение получившейся системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.92]

Система адсорбционно-диффузионных уравнений (IV.33) — (IV.35) и (IV.41) при заданных гидродинамическом режиме и начальных условиях полностью описывает процесс адсорбции смеси поверхностно-активных веществ в динамических условиях. Однако решение такой системы в общем виде является затруднительным. Поэтому мы обратимся к более простому случаю, когда диффузионные процессы идут намного быстрее адсорбционных [для каждого поверхностно-активного вещества выполняется неравенство (IV. 19)] и кинетику можно считать чисто адсорбционной. В этих условиях концентрации с, в приповерхностной зоне можно считать постоянными и равными концентрациям с в глубине раствора (верхний индекс а, относящийся к объемной фазе, не нужно путать с обозначением коэффициента десорбции) и система уравнений (IV.33) — (IV.35) и (IV.41) переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений [c.87]

Технологическая схема осушки хлора в операторном виде представлена на рис. 1У-10. Основными аппаратами технологического процесса являются две абсорбционные башни с насадкой, орошаемой серной кислотой. При этом из хлора, который подают в низ башни, поглощается влага. Процесс поглощения влаги сопровождается выделением значительного количества тепла, поэтому одновременно с процессами массопередачи протекают процессы теплопередачи между газом и жидкостью, что не учитывается известными математическими моделями абсорбционных процессов [4, 132, 133]. В общем случае процесс массообмена в абсорберах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4, 132, 133]. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями. В реальных условиях производства процесс осушки протекает в условиях, близких к стационарным входные параметры процесса либо не меняются, либо меняются весьма медленно. Для стационарного процесса, который рассматривается ниже, исходная система уравнений в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений [140]. Для получения такой системы уравнений рассмотрим балансовые зависимости для элементарно- [c.147]

В предыдущих главах проводилось математическое описание в осповном несложных процессов тепло- и массообмена, протекающих преимущественно в отдельных аппаратах идеального смешения. Все эти процессы описывались системой обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. [c.152]

Ход процесса диссоциации сульфита магния в кипящем слое приближенно описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [1]. В рассматриваемом примере имеется зависимость скорости реакции от температуры, использование которой делает всю систему нелинейной и исключает возможность применения аналитических методов решения. [c.164]

Будем рассматривать переходы между состояниями 8г, комплекса переносчиков как марковский процесс с конечным числом состояний и непрерывным временем. В этом случае переходы комплекса из одного состояния в другое описываются системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вероятностей [c.80]

На химической стадии радиолиза в процессе, протекающем в объеме системы, участвует, как правило, значительное число (несколько десятков видов) промежуточных частиц и конечных продуктов, причем каждая из частиц может участвовать не в единственной реакции. Кинетика процесса на этой стадии описывается системой из N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (где —общее число видов промежуточных и конечных продуктов радиолиза данной системы). Такую систему уравнений можно решать только численными методами. Для условий радиолиза системы обыкновенных дифференциальных уравнений относят к числу так называемых жестких систем, поскольку концентрации различных частиц, участвующих в процессе, могут различаться на много порядков (см. ниже) из-за различия в константах скорости реакций. [c.189]

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

Есть еще одно важное обстоятельство. Во многих случаях нас интересуют не процессы, идущие в реакторах идеального перемешивания, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений (которым и посвящена основная часть книги), а более сложные объекты. Это процессы, развивающиеся и во времени, и в пространстве. В книге они фигурируют в главе, называющейся Осложняющие факторы . И действительно, с точки зрения математической химии, анализировать возникающие при описании таких явлений уравнения в частных производных гораздо сложнее, и строгих результатов тут намного меньше. Но, с другой стороны, даже то немногое, что удалось выяснить о таких системах, показывает, что мы стоим на берегу океана новых возможностей. [c.315]

Все воспроизводимые в модели процессы описываются в традиционной для всех рассмотренных выше моделей форме — в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных. Исключение составляет уравнение для изменения величины биомассы зообентоса. Поскольку передвижения зообентоса по дну водоема в модели не учитываются, для зообентоса используется обыкновенное дифференциальное уравнение, параметрически зависящее от координат точек дна, в которых записывается это уравнение. [c.276]

Процесс изотермической дифференциальной конденсации в точной постановке описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.175]

В точной постановке процесс дифференциальной конденсации многокомпонентной смеси описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Широкое использование их в инженерных расчетах требует применения многомерных зависимостей компонентного состава паровой и жидкой фаз от давления и состава фаз при постоянной температуре. Объем экспериментальных исследований для построения этих зависимостей настолько велик, что это становится практически невыполнимым. [c.377]

Нестационарные режимы тарельчатых ректификационных колонн описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирование которых позволяет рассчитать переходные процессы при различных возмущениях. Основные затруднения, возникающие при расчетах нестационарных режимов ректификационных колонн, связаны с возможной неустойчивостью численных алгоритмов интегрирования систем дифференциальных уравнений, которая в особенности проявляется при интегрировании систем уравнений высокого порядка. Для преодоления неустойчивости необходимо использовать или алгоритмы с ограничением максимального шага интегрирования, или специальные приемы. [c.318]

Переходные процессы в объектах с сосредоточенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных, в которых в качестве независимой переменной рассматривается время I. Например, изменение концентрации С[ 1) вещества С[ в непрерывно работающем реакторе идеального смешения характеризуется уравнением [c.37]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Таким образам, непрерывная форма модели процесса ректификации описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Число дифференциальных уравнений равно р—1, так как концентрация одного из компонентов, например р, может быть найдена из уравнения [c.25]

Одномерная модель горения в жидкостном ракетном двигателе. Капли, которые взаимодействуют с потоком газа, содержащим продукты их горения, описываются математической моделью жидкостного ракетного двигателя, которая обсуждается в гл. 8. Эта модель при некоторых упрощающих предположениях описывается обыкновенными аналитически решаемыми дифференциальными уравнениями. Следовательно, можно вывести алгебраическую формулу длины камеры, необходимой для полного сгорания. В модели учитываются процессы, происходящие при горении капли, а также аэродинамическое сопротивление. Модель составлена из модели горения капли жидкого топлива в неподвижном воздухе и модели одномерного течения в канале. [c.10]

Процесс многокомпонентной ректификации в аппаратах со ступенчатым контактом (в частности, тарельчатых) описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, неразрешимых относительно неизвестных. Описание процесса в аппаратах с непрерывным контактом (насадочных колоннах) представляет собой систему обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений с граничными условиями (заданными системой алгебраических уравнений). [c.375]

Устойчивость реакторов с полным перемешиванием для гомогенных процессов являлась предметом изучения многих исследователей. Система в этом случае описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. В случае гетерогенных каталитических процессов задача сильно усложняется. Модель реактора с неподвижным слоем катализатора рассматривали Лин Шин-лин и Амундсон Анализировался адиабатический реактор, в котором отсутствует радиальный тепло- и массоперенос. Выло принято также, что тепло- и массоперенос в осевом направлении осушествляются только за счет вынужденной конвекции. Скорость потока считалась равномерной по всему сечению реактора, а влияние длины реактора и изменения температуры на скорость потока — пренебрежимо малыми. Тепло- и массообмен происходил на пористой поверхности зерен катализатора. Исследовалась необратимая реакция первого порядка типа А—-В. Более сложные реакции также могут быть рассмотрены с помошью этого метода без введения дополнительных параметров. Полученная система дифференциальных уравнений была решена методом характеристик. [c.262]

Аналитическое изучение объекта сводится к сопоставлению уравнений, характеризующих АВО в равновесном состоянии и переходном режиме. В общем виде динамические характеристики объектов регулирования описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Числовые коэффициенты, входящие в уравнения, зависят от конструктивных особенностей АВО, характера движения теплоносителей, теплопередающей способности аппаратов. Надо сказать, что аналитически невозможно охарактеризовать все многообразие независимых переменных, влияющих на регулируемый параметр <вых, поэтому свойства АВО исследуют экспериментально, снимая на действующих аппаратах статические и динамические характеристики. Для систем, характеризуемых одной входной t и одной выходной величиной Ibhx, процессы регулирования могут быть описаны обобщенным уравнением вида [c.117]

В данном примере выходным параметром системы служит текущая температура нагреваемого тела T t). С помощью уравнения (2.1.12) и начального условия (2.1.13) задается функциональный оператор А, ставящий в соответствие каждой входной функции 7 вх(0 выходную функцию Т(t) =АТвл(1). В рассматриваемом процессе теплообмена, который описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (2.1.12), различие между температурой нагревателя ТвхЦ) как входным параметром и температурой нагреваемого тела Т(t) как выходны,м параметром носит условный характер. Фактически при таком описании пренебрегают реальным распределением всех параметров по пространственной координате, поэтому здесь неприменимы понятия вход и выход, если понимать их в строгом простаатотвенном смысле. Разница между 7 вх(<) и T (i) = Гвых(0 состоит в том, что 7 вх(0 может произвольно меняться во времени, а Т (t) зависит от выбора Гвх(0. [c.44]

Процессы в компартментальных моделях описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, что позволяет широко использовать при их исследовании методы пространства состояний, рассмотренные в гл. 5. Если система описывается дифференциальными уравнениями в частных производных (например, если предполагается непрерывное изменение плотности распределения каких-либо веществ в пространстве), то модель не относится к компартментальным. Поскольку уравнения в частных производных используются для описания потоков вещества и энергии в пространстве, такие системы — в противовес компартментальным моделям — иногда называют потоковыми моделями flow systems — англ.). Таковы, например, модель био-аквоценоза [111], в которой рассматривается непрерывное изменение характеристик системы — освещенности и концентраций биомассы по глубине, модель терморегуляции в организме человека [298], где потоки тепла описываются уравнениями теплопроводности. Однако компартментальные модели и в этом случае могут служить хорошим приближенным описанием системы. [c.163]

Рассмотрим теперь процессы, в которых имеются звенья с распределенными параметрами. Пусть звенья с номерами от 1 до М по-прежнему описываются уравнениями (VIII,26), а звенья с номерами от ТУ + 1 до ТУ — системами обыкновенных дифференциальных уравнений [c.207]

Мы не можем в данной книге описывать все подробности рассматриваемого вопроса, однако укажем, что для случая, когда модель процесса состоит из нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Грюел и Гловер [34] пришли к очень важному выводу. Они установили, что если набор параметров линеаризованной модели структурно идентифицируем как а, то набор параметров нелинейной модели также структурно идентифицируем как а. Этот результат показывает, что использование оценивания коэффициентов как средства для выявления и диагностики неполадок намного более перспективен, чем это можно было предполагать ранее. [c.207]

Процесс взаимодействия УВ со слоем насыпной плотности, лежащим на дне вертикальной ударной трубы, моделируется с помощью точечной математической модели. Она основана на предположении о том, что участок слоя пыли можно заменить некоторым объемом, обладающим точечной массой. Эта масса находится под действием кулонова трения и упругой силы с постоянным коэффициентом упругости. При этих предположениях модель представляется в виде обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для которого поставлена задача Коши. Входные параметры модели (коэффициенты кулонова трения, упругости и др.) определяются из экспериментального распределения давления во времени для слоя толщиной 14 мм. Утверждается, что экспериментальные данные по давлению и при других толщинах слоя неплохо описываются этой моделью, при толщинах слоя, меньших 20...25 мм. [c.192]

В данной работе изучается возможность применения электронных аналоговых вычислительных машин (ЭАВМ) для исследования различных режимов протекания высокотемпературного процесса конверсии метана в ацетилен и закалки ацетилена. Предполагается, что этот процесс описывается, так же как и в работе 1], системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений химической кинетики и гидродинамики. [c.232]