Матрица Якоби

Пример П-З. Для технологаческого оператора разделения, рассмотренного в примере П-1, с помош ью функциональной матрицы Якоби определить независимые уравнения, входяшре в следующую систему уравнений материальных балансов [c.48]

Итак, при решении прямой кинетической задачи основные трудности вызываются плохой обусловленностью матрицы Якоби. Суш ествуют два принципиальных подхода к решению этой проблемы. Первый из них состоит в том, чтобы развязать исходную систему взаимосвязанных уравнений и превратить ее в систему несвязанных одиночных уравнений, каждое пз которых затем решается отдельно. В этом случае не возникает проблемы выбора шага, так как говорить об определении жесткости для системы (3.78) или (3.79) не пмеет смысла, и каждое уравнение решается со своим шагом. [c.173]

Чтобы установить независимость уравнений, составляем функциональную матрицу Якоби, отвечающую системе уравнений (1) — (6) [c.48]

В вопросе определения независимости уравнений и совместности системы уравнений балансов важную роль играет рассмотрение функциональной матрицы Якоби [1], отвечающей данной системе уравнений. Каждый элемент этой матрицы равен [c.46]

I — единичная матрица I — матрица Якоби. [c.147]

Существуют различные методь, )/совершенствующие последний метод, путём изменения итерационного процесса. Нагфимер, аппроксимируют матрицу Якоби. 1 (или матрицу Н), корректируют Я из соотношения ц-ой и я+1 -ой нормы функций или используют одновременно оба [c.22]

Здесь дР/дв — матрица Якоби (МхР), вектор-строки которой представляют собой вектор-градиенты, являющиеся элементами вектор-функции 7 ,(0, и), I), [c.211]

Теорема 1. Для любых 1п е Л" матрица Якоби системы (И) строго положительно определена, и, следовательно, система имеет единственное решение. [c.40]

Формально система уравнений (3.78) квалифицируется как жесткая (см., например, [18, 90]), если собственные значения матрицы Якоби 1(г/, t) = Ц г, к — = 1,. . ., 7V, вычисленные на произвольном частном решении, удовлетворяют условиям [c.172]

Если система уравнений балансов линейна, то анализировать функциональную матрицу Якоби необязательно, поскольку в этом случае Якобиан совпадает с матрицей системы линейных уравнений, для определения совместности которых при ненулевых решениях используют известные из линейной алгебры теоремы. [c.46]

Матрица Якоби для преобразованной задачи имеет вид 1( , Ъ) = ехр (- Р)[1(г, /) - Р1 ехр ( Р) = [c.174]

Вычисление р (у, х). В данном случае матрица Якоби дg Чдy является единичной, поэтому [c.451]

Преимущества и недостатки метода Ньютона применительно к задаче оптимизации рассмотрены в работе [11, с. 268] остановимся на наиболее существенном недостатке. Метод Ньютона требует определения матрицы Якоби — левых частей системы уравнений (II, 8). В случае расчета стационарных режимов ХТС аналитическое определение матрицы Якоби обычно требует очень трудоемкой подготовительной работы. Конечно, положение изменится, когда будут созданы системы программ моделирования ХТС, использующие математический аппарат сопряженного процесса [1, с. 139], позволяющий вычислять требуемые производные. Однако, поскольку таких программ, полностью автоматизирующих аналитическое определение матрицы Якоби, пока еще нет, метод Ньютона с аналитическим вычислением производных применяется очень редко. В связи с этим ставится задача использования метода Ньютона с некоторой аппроксимацией матрицы Якоби. Наиболее простым способом получения аппроксимации матрицы Якоби является разностный. В этом случае элементы р матрицы J подсчитываются следующим образом [c.31]

Вектор [ Ах/йру, АХ/йр является одним из бесконечного ряда недействительных векторов п у. (п + I) матрицы Якоби, в соответствии с полной / производной Я х, X), а именно [ х) -- У ] чей ранг принимается равным п. [c.269]

Обозначим матрицу, обратную матрице Якоби системы, через //, т. е. Н = ( )" . С учетом этого обозначения формула (П1.10) метода Ньютона будет иметь следующий вид [c.69]

Основной идеей квазиньютоновских методов является объединение этапов сбора информации и поиска. Причем информация, которую получают во время поиска, используется для построения аппроксимации В] матрицы Якоби Jj либо аппроксимации Н] матрицы, обратной к матрице Якоби. По аналогии с соотношениями (I, 15), (II, 16) направление поиска определяется либо решением системы линейных уравнений [c.31]

Таким образом, на каждой итерации происходит уточнение (к + 1)-го приближения и матрицы, обратной матрице Якоби системы, по формулам [c.70]

В качестве // часто используют разностную аппроксимацию обратной матрицы Якоби, что снижает длительность итерационных процедур. [c.70]

В методе Ньютона с разностной аппроксимацией матрицы Якоби можно выделить два этапа на каждом шаге это сбор информации для построения аппроксимации матрицы Якоби и собственно поиск. На первом этапе поочередно даются приращения всем аргументам функции / (х), причем функция / (х) вычисляется в (л + 1) точках, и вычисляются элементы матрицы Якоби с помощью уравнения (II, 21). Второй этап — это собственно поиск, при котором в начале определяется направление поиска с помощью выражения (II, 15), а затем делается шаг в этом направлении. Благодаря тому, что эти два этапа разделены, на каждом шаге приходится вычислять функции / (х) Б (л + 1)-й точке. В этом заключен большой недостаток метода, особенно существенный, когда размерность системы (II, 8) велика. [c.31]

С целью ускорения решен ия, после корректировки температур по методу Бройдена во внутреннем кситуре алгоритма (я котором определяются 7) при фиксированных набор матрицы частных производных не производится, а используется апгфоксимированная отрицательная обратная матрица Якоби предыдущей итерации (Н = -1" ). Расчётными исследованиями было установлено, что при этом общее число итераций для достижения функции цели во внутреннем контуре остагтся неизменным, но время расчёта существенно сокращается за счёт сокращения действий, связанных с вычислением частных производных. [c.59]

Следующая точка итерации определяется с помощью формулы (II, 14). Преимущество аппроксимации обратной матрицы Якоби состоит в том, что в этом случае не нужно решать систему линейных уравнений. Однако аппроксимация самой матрицы Якоби имеет свои преимущества, которые мы обсудим ниже. Конечно, информация относительно функции / (х), получаемая во время поиска и используемая для построения матриц Bj, Hj, должна быть достаточно качественной . Ясно, что если точки поиска Xj достаточно долго будут находиться либо в гиперплоскости, либо в близкой к ней окрестности, то построить аппроксимацию матрицы Якоби будет трудно. Можно отметить некоторую аналогию с методами активного и пассивного эксперимента в теории планирования эксперимента. В методах активного эксперимента для построения математической модели объекта используются специальные возмущения, наносимые на объект. Для построения же математической модели с помощью методов пассивного эксперимента оперируют данными нормальной эксплуатации объекта. [c.32]

Возникает вопрос — почему взят такой критерий Можно ли строго доказать, что надо использовать именно этот критерий, а не другой На это может быть дан только один ответ — отрицательный не может быть строгого обоснования выбора в качестве критерия нормы Фробениуса. Однако в качестве обоснования обычно приводят следующие качественные соображения. Минимизация критерия (П, 41) обеспечивает наименьшее из возможных изменение матрицы В при наложении некоторых дополнительных ограничений, т. е. использование такого критерия обеспечивает максимальную близость матрицы В +1 к матрице В . Отсюда, если В обладала какими-либо хорошими свойствами (например, была близка к матрице Якоби), то матрица В + должна в какой-то степени их сохранить. Конечно, приведенные рассуждения ни в коем случае не являются строгим обоснованием выбора критерия (II, 41). Единственным действительным обоснованием может служить эффективность тех алгоритмов, которые могут быть получены на основе этого критерия (11,41), т. е. только вычислительная практика. Не исключено, что практика подскажет [c.34]

Итак, в линейном приближении матрица Якоби удовлетворяет равенству (II, 24). Потребуем, чтобы матрицы удовлетворяли соотношению, которое аналогично тому, которому удовлетворяет сама матрица Якоби [241 [c.32]

Рассмотрим теперь случай, когда строится приближение к обратной матрице Якоби. Из (II, 24) имеем [c.33]

Таким образом, квазиньютоновские методы 1-го рода являются методами с глубиной памяти, равной 1, и для построения матрицы Якоби (обратной матрицы Якоби) в (/ 4- 1)-й точке они используют только информацию в данной точке [векторы Sj, у в соотношениях (11,25), (11,31)]. В то же время для построения матриц Bj, Н] методы с глубиной памяти q используют и предыдущую информацию. Методы 2-го рода отличаются тем, что глубина памяти q увеличивается в них на 1 на каждом ш аге (при i < п). [c.33]

Вначале найдем приближение к самой матрице Якоби. Удобнее искать матрицу в виде [c.34]

Повышение надёжности следует из более точного составления коэффициентов матрицы Якоб не зависимы х от шага дифференщфования. Ускорение достигается за счёт резкого уменьшения количества решаемых систем линейных уравнений покомпоне1Ггного материального баланса, при расчёте коэффициентов матрицы Якоби. [c.118]

I - матрица частных произиодных системы ( матрица Якоби). [c.22]

Для корректировки Т, в метсде Бройдена используется матрица Якоби по невязкам теплового баланса и логарифмической форме (3.7). [c.118]

Преимущество метода Бройдена состоит в том, что он не требует вычисления производных и решения системы линейных уравнений на каждой итерации. Этот метод использует приближенное значение матрицы, обратной матрице Якоби системы, и корректирует эту матрицу после каждой оценки функции. Кроме того, в этом методе предусмотрено выполнение неравенства (П1.11). [c.69]

Заполняем матрицу Якоби, используя блок расчёта аналитических производных по Т, (см. приложеннЕ N I ), которая используется для корректировки Т В методе Бройдена, По достижении начения функции невязок по тепловому балансу [c.54]

При описании метода Бринкли не обращали внимания па вопросы единственности получаемого решения, а также сходимости процесса в зависимости от начального приближения. Сравнительно недавно появилась работа [4], в которой описывается метод расчета, по существу совпадающий с методом Бринкли. Однако описанная там модификация, на наш взгляд, лишь ухудшает метод и чрезвычайно неэффективна с вычислительной точки зрения (достаточно упомянуть, что авторы решают систему линейных уравнений, находя все собственные значения и собственные векторы матрицы коэффициентов). Упомянутая работа содержит также некорректные доказательства единственности решения и невырожденности матрицы Якоби W. Докажем в [c.39]

Бабушек В. И., Новиков Е. А. Генератор правой части и матрицы Якоби для дифференциальных уравнении химической кинетики Препр. ВЦ СО АН СССР Л 359. Новосибирск, 1982. 26 с. [c.360]

Доказательство. Так как матрица Якоби системы (И) симметрична, то выполнены условия [5], гарантирующие существование отображення у. -> В, такого, что [c.40]

Полные выражения для (9) опускаем ввиду их громоздкости. Тем не менее эти выражения вычисляются сравнительно легко необходимую для метода Ньютона обратную матрицу Якоби системы уравнений (56), (8) можно вьпислить по формуле Фро-бениуса [5]. [c.179]

Выпишем соотношение (II, 24) для всех предыдущих точек, начиная с нулевой Хо,. .., (/ < п). При этом предположим, что точки Хо,. .., XJ l находятся вблизи решения системы (II, 8) и что в его окрестности эта система близка к линейной. При этом предположении элементы матрицы Якоби можно считать постоянными, не зависящими от номера точки. Отсюда равенства (II, 24) для / = О, [c.32]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология