Линейные операторы и некоторые их свойства

Оператор является вполне непрерывным. Ограниченный линейный оператор С называется вполне непрерывным, если он обладает следующим свойством. Для любой ограниченной последовательности у п функций пространства 2 (это означает, что -фт 11 й для некоторого R и любого п) последовательность Фтг содержит по крайней мере одну сходящуюся подпоследовательность. Из этого факта и спектральной теоремы ) следует, что Ж имеет дискретный точечный спектр с единственной предельной точкой в начале. [c.292]

При рассмотрении электронной задачи предполагают, что геометрия молекулы фиксирована. В ряде случаев она известна из эксперимента. При отсутствии соответствующих данных в задачу входит и поиск оптимальной геометрии, что особенно важно в теории межмолекулярных взаимодействий, при рассмотрении структуры промежуточного комплекса в теории химических реакций и в других задачах. При рассмотрении адиабатического приближения (гл. 2, 1) уже упоминалось, что электронные и ядерные переменные не всегда удается разделить. Однако и в этих случаях на первом этапе исследования при расчете электронных характеристик исходят из некоторой заданной геометрии молекулы. Оператор энергии атома и оператор энергии молекулы характеризуются определенными свойствами симметрии, а именно инвариантностью относительно линейных преобразований электронных переменных. При переходе от теории атома к теории молекул изменяется пространственная симметрия, что следует принять во внимание при классификации электронных состояний. [c.187]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемещиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (0 ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При 0а(0 ) = О уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 00 (л , t) При этом для получения решения о(а , t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию QL x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q(i, т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию y(i). [c.43]

Принцип суперпозиции и требование линейности операторов квантовой механики, отвечающих наблюдаемым физическим величинам, весьма родственны, хотя и не тождественны. Далее мы будем широко использовать свойство линейности, тогда как принцип суперпозиции будет играть роль некоторой исходной посылки. [c.43]

Линейные операторы и некоторые их свойства [c.49]

Некоторые из важнейших квантовомеханических операторов связаны с наблюдаемыми свойствами физической системы — с ее динамическими переменными. Несколько важных линейных операторов перечислены в табл. А-1. Часть из них совпадает с самими переменными, тогда как в состав других входят производные. [c.424]

Важное свойство некоторых уравнений, содержащих линейные операторы, заключается в том, что линейные комбинации частных решений уравнения также являются его решениями. Пусть А представляет собой линейный оператор, содержащий только те переменные х , Х2,..., х , которые входят в функцию / х ,х ,..., х ), или сокращенно /(х). Предположим, что имеет место равенство [c.45]

При втором методе нахождения эмпирических уравнений, описывающих динамику объекта, считают, что динамические свойства объекта могут быть охарактеризованы некоторым формальным математическим описанием в виде произведения оператора чистого запаздывания и оператора, задаваемого с помощью системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Коэффициенты этих уравнений определяются по опытным данным методом наименьших квадратов или методом моментов. [c.271]

Будем далее предполагать, что 1) точки Х/ ",. . Х> находятся в достаточно малой окрестности точки X 2) в достаточно малой окрестности точки X оператор Ф с некоторой степенью приближения обладает свойством линейности. Воспользовавшись предположением 2 , выражение (35) можно приближенно переписать в впде [c.319]

Основным инструментом при доказательстве теорем существования и единственности в банаховом пространстве является теорема Хилле—Иосиды, устанавливающая свойства инфинитезимальных производящих операторов полугрупп (см. учебники [101, 227]). Поскольку в гильбертовом пространстве существует скалярное произведение, в нем несколько легче указать эти свойства. Назовем линейный оператор А, область определения В А) и область значений / (Л) которого принадлежат вещественному гильбертову пространству Ж, диссипативным, если для любого/ В А) имеет место неравенство А/, Теорема Филлипса и Люмера (см. [227]) гласит если область определения В А) плотна в Ж, то оператор А является инфинитезимальным производящим оператором сжимающей полугруппы класса (Со), заданной на 76, в том и только в том случае, когда А — диссипативный оператор и когда при некотором А>0 Щ%1—А) 76, В качестве следствия можно доказать, что если А — замкнутый линейный оператор, область определения Ъ А) которого плотна область значений Я(А) принадлежит Ж, и если А и сопряженный ему оператор А диссипативные, то и в этом случае А является инфинитезимальным производящим оператором сжимающей полугруппы класса (Со). [c.111]

Состояния атома, таким образом, зависят от четырех квантовых чисел L, М, S и Ms. Соответствующие им волновые функции (LAiSyils) находятся как линейные комбинации функции 0(mitns ttiinis), так чтобы они были собственными функциями и 2, Zz и Sz. Методы их нахождения, основанные на использовании свойств симметрии этих операторов, можно найти в специальных руководствах [9, 40, 44]. В частности, если известны функции для некоторых значений М и Л , то первые могут быть найдены и для других посредством соотнощений [c.222]

Ключом к решению задачи является тот факт, что Ж и Ж удовлетворяют соотношениям йЖ = = 0 -= Ж , и, следовательно, большинство вопртеов будет разрешено, к только мы однозначно выразим Ж через О так, чтобы Однако именно для этого и служит оператор линейной гомотопии в исчислении внешних дифференциальных форм (относительно свойств этого оператора см. работу [3, гл. V приложения]). Пусть Хо = хД Го —некоторая выделенная точка в Е . Построим на Е векторное поле [c.148]

Важным отличительным свойством любой совокупности энергетических собственных функций осуществляющих неприводимое представление Da группы, относительно которой инвариантен оператор Гамильтона, является наличие вырождения у этих функций. В основном теория групп и применяется в квантовой химии при рассмотрении вопросов вырождения и снятия этих вырождений. Чтобы пояснить это, вернемся к формуле (6) и заметим, что если1 1 есть собственная функция с энергией Е, то и Кч будет собственной функцией с той же энергией , а это означает, что Нг должна быть линейной комбинацией полного набора собственных функций, соответствующих этому собственному значению (эта линейная комбинация представляет наиболее общее решение с данной энергией Е), а отсюда следует, что каждая собственная функция при вращении переходит в линейную комбинацию, составленную из нее самой и вырожденных с ней собственных функций. Другими словами, каждая совокупность выронаденных функций осуществляет некоторое представление Оа группы [c.354]

Пусть в том представлении, в котором мы работаем, гамильтониан Н — явно вепдественный оператор. Тогда, если собственное значение не вырождено, соответствующая собственная функция автоматически будет по существу вещественной, т. е. г 1 = Р > Р — некоторая постоянная, а значит, подходящим выбором фазы функция может быть сделана выщественной. С другой стороны, если собственное значение вырождено, то собственные функции автоматически не будут по существу вещественными, но всегда можно выбрать их набор, обладающий этим свойством иначе говоря, произвольная вырожденная собственная функция является некоторой линейной комбинацией [c.102]

Построение анализа функций бесконечного числа переменных, как и в конечномерном случае, требует использования различных функциональных пространств, в том числе пространств гладких функций. Эти пространства должны как обладать хорошими топологическими свойствами, так и удовлетворять ряду дополнительных требований, зависяш,их от класса рассматриваемых задач. Так, при изучении дифференциальных операторов нужны пространства функций с определенными свойствами производных, обладаюш,ие достаточно большим запасом мультипликаторов. Оказывается, что большинство пространств гладких функций при переходе к бесконечномерному случаю либо теряет присуш,ие им хорошие топологические свойства, либо вообш,е не допускает такого перехода. Суш,ественный бесконечномерный эффект состоит также в том, что на свойствах функциональных пространств сказывается принадлежность аргументов тому или иному классу линейных топологических пространств. Ниже рассмотрены некоторые пространства дифференцируемых функций, заданных на пространствах, сопряженных к ядерным,— именно в этом случае удается построить достаточно широкий набор пространств гладких функций с требуемыми свойствами. [c.141]