Полиномы Чебышева

Полиномы Чебышева. Уравнение регрессии, выраженное через полиномы Чебышева, имеет вид [c.139]

Полиномы Чебышева принадлежат классу ортогональных полиномов и определяются следующей формулой [c.325]

Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [—1, 1], т. е. [c.326]

И, наконец, построение выборочной плотности распределения в виде разложения по биортогональным полиномам может быть эффективно проведено для любых непрерывных плотностей распределения ошибок наблюдений, заданных как аналитически, так и численно. Причем необходимо отметить, что вследствие выбора весовой функции погрешность аппроксимации р (0) полиномами Чебышева—Эрмита будет наименьшей вблизи максимума по в функции р (0) и при стремлении 0 к бесконечности будет постепенно увеличиваться. Тем самым с наибольшей точностью аппроксимируется р (0) в окрестности оценок обобщенного максимального правдоподобия, что, конечно, в первую очередь и интересует исследователя [26J. [c.185]

Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [c.325]

Для функции / (х) можно записать соответствующее разложение но полиномам Чебышева, так что [c.326]

Сумма в правой части является разложением плотности распределения р V, t). Подобные представления плотностей распределений известны давно. В качестве базисных функций фДУ) используют ряды Фурье, полиномы Эрмита , полиномы Чебышева, полиномы Лагерра и т. д. [118, 119]. [c.101]

Обычно оказывается достаточным вычислить от 1000 до 3000 случайных векторов 0 , чтобы аппроксимировать р (9) полиномами Чебышева—Эрмита с необходимой для практики точностью. [c.186]

Полученные значения 2 , и полиномов Чебышева, посчитанных по формулам (IV.63), (IV.65) и (IV.66), в которые вместо х подставлены значения =1, 2,. ... .., II, приведены в таблице. [c.142]

Экономизация зависимости с помощью полиномов Чебышева основана на том, что аппроксимация полиномами Чебышева по сравнению с другими полиномами такой же степени обеспечивает наименьшее отклонение функции. Более того, при заданной точности такие полиномы позволяют уменьшить число членов разложения. Последнее особенно важно при использовании вычислительных машин для расчетов, так как соответственно уменьшаются ошибки округления и затраты машинного времени. Уменьшение числа членов аппроксимирующего многочлена с помощью полиномов Чебышева носит название процесса экономизации. [c.325]

Таким образом, для того чтобы осуществить экономизацию степенного ряда, необходимо располагать формулами для перевода степеней в полиномы Чебышева, и наоборот. [c.327]

Общая формула перехода от к полиномам Чебышева имеет вид [33] [c.327]

Вместо полиномов Лежандра для описания зависимости g (х ) могут быть использованы и любые другие полиномы, в частности, полиномы Чебышева. Строго говоря, наибольшим преимуществом обладают полиномы, ортогональные в точках отрезка, так как для них коэффициенты полиномов независимы. Одна иа причин, почему предпочтение было отдано полиномам Лежандра,, состоит в том, что первые их члены по своей форме практически совпадают с первыми членами корреляционного уравнения Редлиха—Кистера, которое традиционно используют для описания зависимости коэффициентов активности от состава. Для полиномов Редлиха—Кистера имеем [c.138]

Основным свойством полиномов Чебышева является то, что они обеспечивают равномерное приближение функции на интервале [—1, 1] и дают в этом интервале наименьшее отклонение от нуля по сравнению с другими полиномами такой же степени со старшим коэффициентом, равным единице [40]. [c.326]

Исключим с помощью полиномов Чебышева, для чего х заменим выражением [c.328]

Из изложенного видно, что близость минимальной частичной реализации объекту в значительной мере определяется точностью экспериментального нахождения моментов весовой функции и связанных с ними марковских параметров. Эффективными методами обработки экспериментальных данных для этих целей могут служить вычисление моментов по результатам частотного анализа динамической системы [46], определение марковских параметров путем аппроксимации экспериментальной весовой функции с применением ортогональных полиномов Чебышева [47 ] и ряд других методов, которые будут рассмотрены ниже (см. гл. 6). [c.116]

Полином Чебышева позволяет с достаточной точностью описать почти любой динамический ряд прогноза. Большим преимуществом полинома Чебышева для аппроксимации является возможность построения алгоритма вычислений. [c.158]

Полиномы Чебышева—Эрмита удовлетворяют рекуррентному соотношению [c.32]

Второй метод дискриминации моделей основан на усовершенствовании наиболее часто применяемых в физико-химических исследованиях процедур — энтропийной Бокса—Хилла и обобщенного отношения вероятностей. Оно достигается за счет того, что с использованием ранее развитого способа построения выборочной плотности распределения параметров оказывается возможным построить также выборочную плотность распределения наблюдений, аппроксимируемую с необходимой точностью системой полиномов Чебышева—Эрмита. Последняя позволяет вычислить не приближенные, а точные значения дискриминирующих критериев, которые устанавливают как меру различия между конкурирующими моделями, так и условия проведения дискриминирующих опытов. Тем самым существенно повышается надежность используемых процедур дискриминации, направленных на поиск истинной физико-химической модели процесса, а также значительно сокращается длительность самой процедуры поиска, что приводит к заметному сокращению времени экспериментирования. [c.199]

Пусть ординаты корреляционной функции обозначены через Ь-т,, Ьо,. .., Ьт. Коэффициенты разложения спектральной плотности по полиномам Чебышева вычисляются непосредственно через эти ординаты по формулам [c.178]

Значения полиномов Чебышева [c.179]

Предлагается новый метод определения р (0), свободный от указанных недостатков и не использующий в процессе принятия решения о численных значениях 0 процедуру линеаризации исходной кинетической модели. Суть метода состоит в построении выборочной плотности распределения параметров нелинейной модели в виде разложения по биортогональной системе полиномов Чебышева—Эрмита. Причем необходимые для расчетов коэффициентов разложения выборочные реализации случайного вектора наблюдений генерируются с использованием метода статистиче ского моделирования [24, 25]. [c.184]

Разновидностями полиномов Якоби являются полиномы Лежандра (а = р = 0) и полиномы Чебышева (а = Р = -1/2). [c.115]

При помощи полинома Чебышева определяются зависимости свойств веществ (плотности, вязкости и др.) от температуры и давления по справочным данным. Данные зависимости обеспечивают расчет свойств веществ при любой температуре и давлении. [c.150]

В качестве ортогональных многочленов часто используют полиномы Чебышева, вычисляемые для равноотстоящих значений х/ ( = 1, 2,. ... ., п) по уравнениям [161, с. 100] [c.181]

В качестве производных полиномов широкую известность получили производные полиномы Чебышева. Ниже приведены такие полиномы для наиболее важного на практике случая — 5 аналитических длин волн [25] [c.511]

Не останавливаясь подробно на методах решения указанной задачи, отметим, что значительных успехов на пути ее решения можно достигнуть, используя ортогональные полиномы Чебышева ф,- (х), [c.214]

Метод построения коэффициентов регрессии с применением полиномов Чебышева [331 дает возможность при уточнении уравнения регрессии вычислять коэффициент лишь для вновь присоединяемого члена полинома, в то время как остальные коэффициенты уравнения остаются прежними. [c.214]

Решение. Применим метод ортогональных полиномов Чебышева для получения уравнения регрессии степени диссоциации от температуры. Сделаем замену переменных по формуле [c.138]

Предлагаемый метод определения динамических ха рактеристик базируется на записанных (например, с помощью самопишущих потенциометров, которыми оборудованы практически все аппараты в промышленных условиях) в процессе нормальной эксплуатации температуре реакционной массы i(r) и температуре стенки реактора t (t). Чаще всего полученные результаты сводят в таблицу, причем значения температур зано-i сятся через равные интервалы времени Дт, т. е. полу чается таблица (гг) и t (ti). Тогда полученные экспериментальные данные наиболее удобно аппрокси мировать ортогональными полиномами Чебышева (см. приложение к работе [26]). При этом /(т) и I (t) аппроксимируются многочленами вида [c.105]

Полученные значения г,-, У/ и полиномов Чебышева, посчитанных по формулам (ГУ.бЗ), (IV.65) и (1У.66), в которые вместо х подставлены значения / —1,2,...,11, приведены в таблице. [c.138]

Существуют веские причины выбора в качестве системы функций для аппроксимации неизвестной плотностп распределения параметров полиномов Чебышева—Эрмита. Во-первых, широкий класс плотностей распределения, встречающихся на практике, с произвольной точностью может быть аппроксимирован этой [c.184]

Изучение объектов, характеризуемых наличием иеоднород-ностей. В общем случае источники неоднородностей м. б. непрерывного или дискретного типа. Источники непрерывного типа характеризуются изменением св-в объекта (его дрейфом) во времени или по к.-л. другой переменной (напр., неравномерное старение катализатора по длине аппарата). В случае невысоких (по сравнению с продолжительностью проведения всех опытов эксперимента) скоростей дрейфа можно использовать обычные методы П.э. При высоких скоростях дрейфа применяют спец. планы, построенные, напр., на основе т. наз. ортогональных полиномов Чебышева и т. п. [c.560]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология