Выборочная плотность

В заключение этого раздела необходимо особо подчеркнуть, что с помощью выборочной плотности распределения параметров р (6) оказывается возможным построить также плотность распределения р (т ) прогноза динамического и статического поведения реакционной химической системы для испытываемой конкурирующей кинетической модели. По р (т]) принимается решение о соответствии испытываемой модели реальному объекту. Так как при этом р (т]) получается с заданной точностью (без предварительной линеаризации модели) в виде гистограммы или ряда по ортогональным или биортогональным многочленам, то надежность принимаемых исследователем решений о практической пригодности модели резко возрастает. Отметим также, что использование р (т]) в процедурах дискриминации гипотез также дает возможность устранить большинство недостатков, им присущих. [c.187]

На основе полученной таким образом выборочной плотности распределения можно обоснованно принимать решения о численных значениях параметров, корректировать исходную модель, более эффективно применять методы планирования эксперимента для уточнения оценок. В частности, но выборочной плотности распределения вычисляются не только точечные оценки обобщенного максимального правдоподобия, но их доверительные интервалы и доверительные области. [c.184]

И, наконец, построение выборочной плотности распределения в виде разложения по биортогональным полиномам может быть эффективно проведено для любых непрерывных плотностей распределения ошибок наблюдений, заданных как аналитически, так и численно. Причем необходимо отметить, что вследствие выбора весовой функции погрешность аппроксимации р (0) полиномами Чебышева—Эрмита будет наименьшей вблизи максимума по в функции р (0) и при стремлении 0 к бесконечности будет постепенно увеличиваться. Тем самым с наибольшей точностью аппроксимируется р (0) в окрестности оценок обобщенного максимального правдоподобия, что, конечно, в первую очередь и интересует исследователя [26J. [c.185]

Назовем основные этапы построения выборочной плотности распределения параметров 0 кинетической модели. [c.186]

Построенная выборочная плотность распределения параметров р (0) содержит в себе всю необходимую информацию о параметрах нелинейной модели, которую можно извлечь из выборки ограниченного объема. По р (0) рассчитываются обычно оценки обобщенного максимального правдоподобия или оценки минимального общего риска. [c.186]

Предложенная процедура построения выборочной плотност и распределения позволяет принципиально по-иному подойти к решению проблемы оценивания параметров в нелинейных моделях, ибо позволяет осуществить поиск наилучшего в данной практической ситуации метода оценки параметров. [c.187]

Отметим также, что используемая для выбора стратегия проведения прецизионных экспериментов и для установления точности получаемых оценок кинетических констант матрица М (е) является информационной матрицей линеаризованной но константам кинетической модели. Конечно, если испытываемая модель существенно нелинейно параметризована, то М (е) следует рассматривать лишь как первое приближение к истинной информационной матрице плана эксперимента. В тех случаях, когда требуется получить оценки отдельных констант с особенно большой точностью, в качестве критериев оптимальности плана необходимо использовать максимум выборочной плотности распределения илп некоторые функционалы от истинной информационной матрицы. [c.192]

На рис. 4.3 изображены выборочные плотности распределения наблюдений для нелинейной и линеаризованной моделей для условий проведения дискриминирующих экспериментов. Хотя они существенно не различаются (что есть следствие того, что анализируемая модель истинная и линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров), но апостериорные вероятности принятия гипотез (рис. 4.5) для них различны и монотонно сходятся к единице, для нелинейной модели. Следовательно, данный пример показывает, что практическое применение не приближенных, а точных процедур дискриминации гипотез позволяет повысить надежность исследований, устанавливать с заданной точностью прогнозирующие возможности модели и сократить длительность экспериментирования. Тем самым перед исследователями открываются новые возможности в изучении более тонких деталей механизма физико-химических процессов. [c.200]

Выбор формы выборочной плотности вероятности Сначала делается предположение о разумной форме совместной плотности вероятности наблюдений Вид этой плотности будет зависеть от [c.118]

I медиану, которая является средним наблюдением в выборке. Например, медиана для приведенных ниже данных о транзисторах )авна 3,12 Можно показать [5], что для выборочной плотности [c.121]

Отсюда выборочная плотность вероятности для случайной выборки, состоящей из п ламп, будет иметь вид [c.126]

Выборочная плотность вероятности наблюдений предполагается полностью известной, за исключением нескольких неизвестных значений параметров [c.146]

В качестве простого примера применения метода правдоподобия рассмотрим несколько искусственную задачу оценки среднего значения р, нормальной плотности вероятности, дисперсия которой известна Выборочная плотность вероятности (4 2 1) выборки, до того как собраны данные, имеет вид [c.146]

Это сразу следует из того, что если два набора данных независимы, то полная выборочная плотность вероятности равна произведению отдельных выборочных плотностей вероятности [c.148]

Оценивание параметра показательного распределения. Рассмотрим обсуждавшуюся в разд 4 24 задачу оценивания среднего срока службы осветительных ламп Первый шаг в методе правдоподобия заключается в том, что нужно выписать выборочную плотность вероятности для наблюдений В нашей задаче соответствующей выборочной плотностью вероятности будет [c.149]

Наименьшие квадраты в случае, когда независимые переменные содержат ошибки. При рассмотрении наименьших квадратов в разд 4 3 предполагалось, что Хг не содержали ошибок Однако во многих случаях невозможно осуществить какой-либо контроль над независимыми переменными (например, в рассматриваемых ниже задачах с временными рядами) В таких случаях Хг можно рассматривать как реализации случайных величин Для однопараметрического случая совместную выборочную плотность вероятности наблюдений, до того как они произведены, можно записать в виде [c.153]

Плотность вероятности выборочной оценки называется обычно выборочной плотностью оценки и часто имеет очень сложный вид. Но если случайная ошибка не очень велика, скажем 8г<0,2, то приближенно можно считать, что выборочное распределение с приемлемой точностью аппроксимируется нормальным распределением, определенным формулой (2.30), со средним (Лф = (1- -Ей)ф и среднеквадратичным отклонением Оф =8гф, т. е. [c.50]

Метод оценки параметров в нелинейно параметризованных моделях. Определение точечных оценок максимального правдоподобия, байесовских, минимаксных и т. п., еще не гарантирует необходимой для исследователя точности. Причем вся информация, характеризующая статистические свойства 0, сосредоточена в апостериорной плотности р (0 1 у) или в выборочной р (0) плотности распределения параметров. Однако построение точной выборочной плотности распределения 0 возможно только для линейно параметризованных моделей, а подавляющее большинство кинетических моделей (как и моделей физико-химических систем) нелинейно параметризованы. Линеаризация по 0 нелинейных моделей не обеспечивает достаточно хорошей аппроксимации нелинейных (даже репараметризованных) линеаризованными. Отсюда, следует, что выборочная плотность распределения р (0), соответствующая линеаризованной модели, будет существенно отличаться от р (0), соответствующей нелинейной модели. Причем это расхождение (по крайней мере, для небольших выборок) может быть столь существенно, что приведет к получению абсурдных результатов. [c.184]

Предлагается новый метод определения р (0), свободный от указанных недостатков и не использующий в процессе принятия решения о численных значениях 0 процедуру линеаризации исходной кинетической модели. Суть метода состоит в построении выборочной плотности распределения параметров нелинейной модели в виде разложения по биортогональной системе полиномов Чебышева—Эрмита. Причем необходимые для расчетов коэффициентов разложения выборочные реализации случайного вектора наблюдений генерируются с использованием метода статистиче ского моделирования [24, 25]. [c.184]

Второй метод дискриминации моделей основан на усовершенствовании наиболее часто применяемых в физико-химических исследованиях процедур — энтропийной Бокса—Хилла и обобщенного отношения вероятностей. Оно достигается за счет того, что с использованием ранее развитого способа построения выборочной плотности распределения параметров оказывается возможным построить также выборочную плотность распределения наблюдений, аппроксимируемую с необходимой точностью системой полиномов Чебышева—Эрмита. Последняя позволяет вычислить не приближенные, а точные значения дискриминирующих критериев, которые устанавливают как меру различия между конкурирующими моделями, так и условия проведения дискриминирующих опытов. Тем самым существенно повышается надежность используемых процедур дискриминации, направленных на поиск истинной физико-химической модели процесса, а также значительно сокращается длительность самой процедуры поиска, что приводит к заметному сокращению времени экспериментирования. [c.199]

Проиллюстрируем второй метод дискриминации конкурирующих моделей на простом числовом примере, рассмотренном ранее (рис. 4.2—4.4). Дополнительно полагаем следующее. Заданы две конкурирующие модели для системы двух необратимых мономолекул ярных реакций. В качестве первой выбрали нелинейную кинетическую алгебраическую модель этих реакций, в качестве второй — полученную в результате линеаризации по параметрам первой модели. Причем линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров. Следовательно, при проведении дискриминации этих конкурирующих моделей будет выявляться влияние линеаризации уравнений на вид выборочной плотности распределения отклика (что характеризует пригодность модели для целей последующего моделирования и управления изучаемого [c.199]

Выборочная плотность вероятности наблюдений предпол гается П0v н0 тью известной, за исключением нескольких нензвес ных значений параметров. [c.146]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология